橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、想一想v在我們實(shí)際生活中，同學(xué)們見(jiàn)過(guò)橢圓嗎？能舉出一些實(shí)例嗎？生活中的橢圓仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓我們一起來(lái)看看我們一起來(lái)看看實(shí)驗(yàn)操作實(shí)驗(yàn)操作(1)在畫圖的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端點(diǎn)的位置是固定的還是在畫圖的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端點(diǎn)的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？運(yùn)動(dòng)的？(2)在畫圖的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？在畫圖的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？(3)在畫圖的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣在畫圖的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？的關(guān)系？ 思考思考v結(jié)合結(jié)合“探究探究1”1”以及以及“圓的定義圓的定義”, ,思思考討論一下應(yīng)該如何定義橢圓？考討論一下應(yīng)該

2、如何定義橢圓？f1f2m注意注意:橢圓定義中需要注意的四處地方橢圓定義中需要注意的四處地方：（1） 必須在必須在平面內(nèi)平面內(nèi);（2）兩個(gè)定點(diǎn)）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間距離確定確定;（3）定長(zhǎng)）定長(zhǎng)-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)的軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和距離和確定確定.(4) 常數(shù)|f1f2|mf2f1 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個(gè)與兩個(gè)定點(diǎn)定點(diǎn) 的距離的和等于的距離的和等于常數(shù)常數(shù)（大于大于 ）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)，這兩個(gè)定點(diǎn) 叫做叫做橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距. . 2 21 1f f, ,f f12ff2 21 1f

3、f, ,f f 在橢圓的定義中，如果這個(gè)定長(zhǎng)小于在橢圓的定義中，如果這個(gè)定長(zhǎng)小于或等于或等于 ，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)m m的軌跡又如何呢？的軌跡又如何呢？ 12f f當(dāng)常數(shù)當(dāng)常數(shù)= = 時(shí)時(shí), ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)m m軌跡為線段軌跡為線段f f1 1f f2 2；21ff當(dāng)常數(shù)當(dāng)常數(shù)2c221|=+pfxcy222|=-+pfx cy則：則：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac設(shè)設(shè)222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyab

4、abo方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是是焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上軸上橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程焦點(diǎn)坐標(biāo)為：焦點(diǎn)坐標(biāo)為： f1( -c , 0 )、f2( c , 0 )注注：橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦：橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦 點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).你能類比焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，建立焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？思考思考3xof2f1y)0(12222babxay它表示它表示: 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在y軸軸 焦點(diǎn)是焦點(diǎn)是f1（0，-c）、）、 f2（0，c） c2= a2 - b2 （2 2）在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有）在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程

5、中，總有ab0ab0；（4 4）a a、b b、c c都有特定的意義，都有特定的意義，a a橢圓上任意一點(diǎn)橢圓上任意一點(diǎn)p p到到f f1 1、f f2 2距離和的一半；距離和的一半；c c半焦距半焦距. .有關(guān)系式有關(guān)系式 成立。成立。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程of1f2yx(3) 哪個(gè)變量下的分母大哪個(gè)變量下的分母大, ,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上（1）方程的左邊是兩項(xiàng)）方程的左邊是兩項(xiàng)平方和平方和的形式，等號(hào)的右邊是的形式，等號(hào)的右邊是1；222cba xof2f1y(1)因?yàn)橐驗(yàn)閤項(xiàng)的分母大，故橢圓的焦點(diǎn)在項(xiàng)的分母大，故橢圓的焦點(diǎn)在x軸上。其中軸上。其中a=5,b=4,c=3

6、11625122yx 164100222xy1、判斷下列各橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸并指出、判斷下列各橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸并指出a、b、c的值的值(2)因?yàn)橐驗(yàn)閥項(xiàng)的分母大，故橢圓的焦點(diǎn)在項(xiàng)的分母大，故橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。其中軸上。其中a=10,b=8,c=6互動(dòng)演練（學(xué)生講解，教師點(diǎn)評(píng)）（學(xué)生講解，教師點(diǎn)評(píng)）14922yx(1)11271622 yx(2)0 ,5(),0 ,5( )3 , 0(),3, 0( 116722yx在橢圓在橢圓 中中, a=_,b=_, 焦點(diǎn)位于焦點(diǎn)位于_軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是_. 32x在橢圓在橢圓 中，中，a=_, b=_, 焦點(diǎn)位于焦點(diǎn)位于_軸上，焦

7、點(diǎn)坐標(biāo)是軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是_. y472、填空：、填空：3、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2)a=4,c=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在y軸上；軸上； 1)a=4,b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x軸上；軸上； 1151622 xy11622 yx192522yx192522xy5.已知已知f1、f2是橢圓是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)過(guò)f1的直線交橢圓于的直線交橢圓于m、n兩點(diǎn)，則三角形兩點(diǎn)，則三角形mnf2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 . 192522yx20例例1 1 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0), 并且經(jīng)過(guò)并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) .求它的

8、標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .53(,)22 解解: :因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上, ,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221 (0).xyabab由橢圓的定義知由橢圓的定義知222253532(2)()(2)()2 102222a 典例剖析所以所以10.a 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?, ,所以所以2c 2221046.bac因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為221 .106xy思考：能用其他方法求它的方程嗎？思考：能用其他方法求它的方程嗎？解法二解法二: :因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上, ,所以設(shè)它所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :222

9、21 (0).xyabab2c224ab22532222( )()1ab 又又由由已已知知聯(lián)立聯(lián)立,22106ab解解得得，因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :221 .106xy( 2,0),(2,0) 又又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為焦點(diǎn)的坐標(biāo)為例例 題題 演演 練練教師總結(jié)：橢圓方程的求解步驟教師總結(jié)：橢圓方程的求解步驟一定定焦點(diǎn)位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個(gè)定點(diǎn)個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的的距離的和和等等于于常數(shù)常數(shù)（大于大于f1

10、f2）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖 形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系1、根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成下表、根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成下表xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2poa2-c2=b2本課小結(jié)本課小結(jié)2、橢圓方程求法：、橢圓方程求法：一定定焦點(diǎn)位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.方程221axby什么時(shí)候表示橢圓？什么時(shí)候表示什么時(shí)候表示橢圓？什么時(shí)候表示焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的橢圓？什么時(shí)候表示軸上的橢圓？什么時(shí)候表示焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的橢圓？軸上的橢圓？習(xí)題習(xí)題2.2 a2.2 a組組 1 1，2 2yxo),(yxpr設(shè)圓上任意一點(diǎn)設(shè)圓上任意一點(diǎn)p(x，y) 以圓心以圓心o為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)，建