指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系

1、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系一、目標認知 學習目標理解反函數(shù)的概念、互為反函數(shù)的圖象間的關系； 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關系 .重點反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)圖象間的關系 .難點反函數(shù)概念 .二、知識要點梳理 知識點一、反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)兩函數(shù)間的關系1. 反函數(shù)概念：當一個函數(shù)是一一映射時， 可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量， 而把 這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量， 我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù) . 函數(shù)的反函數(shù)通 常用表示 .要點詮釋：(1) 對于任意一個函數(shù)， 不一定總有反函數(shù)， 只有當確定一個函數(shù)的映射是一一映射時， 這個函數(shù)才存在反函數(shù)；(2) 反函數(shù)也是函數(shù)

2、，因為它符合函數(shù)的定義 .2. 互為反函數(shù)的圖象關系：關于直線對稱；3. 互為反函數(shù)的定義域和值域關系： 反函數(shù)的定義域與值域是原函數(shù)的值域和定義域 .4. 求反函數(shù)的方法步驟：(1) 由原函數(shù) y=f(x) 求出它的值域；(2) 由原函數(shù) y=f(x) 反解出 x=f -1(y) ；(3) 交換 x, y 改寫成 y=f -1 (x) ；(4) 用 f(x) 的值域確定 f -1(x) 的定義域 .知識點二、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) 定義定義域值域圖象性質指數(shù) 函 數(shù)y=axa>0 且 a工1叫指數(shù) 函數(shù)(-oo, +o )(0 , +o)(1) 圖象過點(

3、0, 1)(2) a>1，當 x>0, y>1 ; 當 x=0, y=1 ;當 x<0 時 0<y<1。0<a<1，當 x>0 , 0<y<1;當 x=0, y=1 ;當 x<0, y>1。(3) a>1 , y=ax為增函數(shù)；0<a<1, y=a為減函數(shù)。對 數(shù) 函 數(shù)y=log aXa>0且a豐1叫對數(shù)函數(shù)(0 , +o)(-oo, +o)(1) 圖象過點(1 , 0)(2) a>1 時，當 x>1, y>0; 當 x=1, y=0 ;當 0<x<1, y&l

4、t;0.0<a<1 時，當 0<x<1, y>0;當 x=1, y=0 ;當 x>1, y<0.(3) a>1 , y=log ax 為增函數(shù)；0<a<1, y=log ax 是減函數(shù).注意：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖象分布規(guī)律y=ax y=bx y=cx y=dx 貝U： 0<b<a<1<d<c 又即：x (0 , +g)時，bx<ax<dx<cx(底大幕大)x (- oo, 0)時，bx>ax>dx>cx y=log ax y=log bx y=log cx y

5、=log dx那么有：0<b<a<1<d<c又即：x (1 , +o)時，log ax<log bX<0<log cX<log dx(底大對數(shù)小) x (0 , 1)時，log ax>log bx>0>log cx>log dx三、規(guī)律方法指導互為反函數(shù)與的圖象關于直線y=x對稱.可知：1 函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱；2. 點A(m, n)在函數(shù)的反函數(shù)的圖象上A(m, n)關于直線y=x的對稱點B(n , m)在的圖象上.經(jīng)典例題透析 類型一、求函數(shù)的反函數(shù)1 .f(x)= (0 < xw 4),求f(x)

6、的反函數(shù).思路點撥：這里要先求f(x)的圍(值域).解： 0< x< 4,.0w x2w 16,9w 25-x2w 25, a 3w y w 5,t y= , y2=25-x2, a x2=25-y2.T 0w xw 4, a x= (3 w y w 5) 將 x, y 互換，A f(x)的反函數(shù) f-1(x)= (3 w xw 5).2. f(x)=，求 f-1(x).思路點撥：求分段函數(shù)的反函數(shù)問題，應逐段求其反函數(shù)，再合并解：當 x>0 時，y=x+1 > 1,A y 1 , + g),A f-1(x)=X-1 (x > 1)；當 x<0 時，y=1-

7、x2<1, A y (-g, 1),反解 x2=1-y, x=- (y<1),A f-1(x)=- (x<1)；A 綜上 f-1(x)=.類型二、利用反函數(shù)概念解題3. f(x)=(x > 3),求 f-1(5).思路點撥：這里應充分理解和運用反函數(shù)的自變量就是原函數(shù)的函數(shù)值，所求的反函數(shù)的函數(shù)值就是原函數(shù)的自變量這一事實，轉化成方程問題解：設 f-1(5)=x o,貝 V f(xo)=5，即 =5 (xo> 3) a xo2+ 仁5xo-5, xo2-5xo+6=O. 解得 xo=3 或 xo=2(舍)，a f-1(5)=3.舉一反三：【變式1】記函數(shù)y=1+3

8、-x的反函數(shù)為，貝U g(10)=()A . 2B . -2C. 3D. -1(法一)依題意，函數(shù)的反函數(shù)y=-log 3(x-1)，因此g(10)=-2.(法二)依題意，由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系，得方程1+3-x=10,解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.4. 設點(4, 1)既在f(x)=ax 2+b (a<0 , x>0)的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求f(x)解 析式.思路點撥：由前面總結的性質我們知道，點(4 , 1)在反函數(shù)的圖象上，那么點(1, 4)必在原函數(shù)的圖象上.這樣就有了兩個用來確定a, b的點，也就有了兩個求解a, b的方程.解：解得.a=-,

9、b=, a f(x)=-x+.另：這個題告訴我們，函數(shù)的圖象假設與其反函數(shù)的圖象相交，交點不一定都在直線y=x上.5. f(x)=的反函數(shù)為f-1(x)=，求a, b, c的值.思路點撥：注意二者互為反函數(shù)，也就是說函數(shù)f-1(x)=的反函數(shù)就是函數(shù)f(x).解：求 f-1(x)=的反函數(shù)，令 f-1(x)=y 有 yx-3y=2x+5. a (y-2)x=3y+5A x=(y 豐 2), f-1(x)的反函數(shù)為 y=.即=,a a=3, b=5,c=-2.類型三、互為反函數(shù)圖象間關系6. 將y=2x的圖象先 ，再作關于直線 y=x對稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2(x + 1)的圖象()A

10、.先向上平行移動一個單位B.先向右平行移動一個單位C.先向左平行移動一個單位D.先向下平行移動一個單位解析：此題是關于圖象的平移變換和對稱變換，可求出解析式或利用幾何直觀推斷.答案：D總結升華：此題主要考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象的對稱關系與函數(shù)圖象的平移變 換等根本知識，以及根本計算技能和幾何直觀思維能力.舉一反三：【變式1】函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象()A.關于直線y=x對稱B.關于直線y=x+1對稱C.關于直線y=x-1對稱D.關于直線y=-x對稱解：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x) , y=f-1(x)的圖象向左平移一個單位所得

11、， y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，y=x向左平移一個單位而得 y=x+1.應選B.【變式2】函數(shù)y=log 2x的反函數(shù)是y=f奴)，那么函數(shù)y= f1(1-x)的圖象是()yIyi . (111卩r丿/*1丿'J0io(A)(B)(C)(»)【答案】由 y=log 2x 得 f1(x) = 2x，所以 y=f 1(1-x) = 21-x,選擇 C.【變式3】(2021理7)假設是上的奇函數(shù)，且當時，那么的反函數(shù)的圖象大致是()解：當時，函數(shù)單調遞減，值域為，此時， 其反函數(shù)單調遞減且圖象在與之間，應選類型四、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的綜合問題7. 函數(shù).

12、(1) 求函數(shù)的單調增區(qū)間；(2) 求其單調增區(qū)間的反函數(shù).解：復合函數(shù)y=fg(x)的單調性與y=f(t) , t=g(x)的單調性的關系：同增異減.(1) 函數(shù)的定義域x|x<0 或 x>2，又 t=x2-2x=(x-1) 2-1 . x(-0), t是x的減函數(shù).而是減函數(shù)， 函數(shù)f(x)在(4, 0)為增函數(shù).(2) 函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-R, 0),令，那么.,./ x<0 ,.總結升華：研究函數(shù)單調性首先要確定定義域；在函數(shù)的每個單調區(qū)間存在反函數(shù)，因此要注意反函數(shù)存在的條件.學習成果測評、選擇題1. ( 2021全國理2)函數(shù)的反函數(shù)為()A.B.C.D.2

13、函數(shù)的反函數(shù)是()A.B .C.D.3函數(shù)的定義域是，那么值域是()A. RB.C.D .4函數(shù)，那么的定義域是()A . RB .C .D.5設函數(shù)的圖象過點，其反函數(shù)的圖象過點，那么等 于()A . 3B . 4C . 5 D . 6再將所得圖象關于直線對稱后所得圖象的函數(shù)解析6將函數(shù)的圖象向左平移兩個單位，式為()A.B.C.D.7函數(shù)的定義域是，那么函數(shù)的定義域是()A.B.C.D.10. 方程的實根的個數(shù)為()A . 0B . 1C. 2D. 3二、填空題11求函數(shù)的反函數(shù)=，反函數(shù)的定義域是 ，值域是.12假設函數(shù)，且)的反函數(shù)的圖像過點，貝U .13函數(shù)，假設此函數(shù)的最大值比最小值大1,那么.14. 函數(shù)在上的最大值比最小值大1，那么.15函數(shù)的圖象過，那么函數(shù)的反函數(shù)過點 .三、解答題16. 假設函數(shù)的定義域為 R,數(shù)的取值圍.17. 求函數(shù)的反函數(shù).18. 函數(shù)(1) 求函數(shù)的定義域和值域；(2) 求出與的圖象關于 x軸、y軸及y=x對稱的圖象對應的函數(shù).答案與解析一、選擇題1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C-1 <- <2K <2r -<loa 2f:. 75<7. D(提示：)8. A 9.A10. C(提示：數(shù)形結合)二、填空題11. 12.13.2 或14.15. (提示：令x=4那么過)三、解答題A 二(口應亡