高中數(shù)學(xué)知識拓展

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 高中數(shù)學(xué)知識拓展高斯函數(shù)，又稱為取整函數(shù)，常用的性質(zhì)有：x-1<xx<x+1x+n=n+xn+x=x(nZ)x+yx+yx+y+1等與函數(shù)有關(guān)的幾個重要結(jié)論結(jié)論1 設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)（1）若f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，則|f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1|<|x2|（2）若f(x)在R上為增函數(shù)，則|f(x1)|<f(x2)<=>|x1|<x2（3）若f(x)在R上為減函數(shù)，則|f(x1)|<f(x2)<=>|x1|<-x2 結(jié)論2 設(shè)函

2、數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù) （1）若f(x)在0,+)上為增函數(shù)，則f(x1)<f(x2)<=>|x1|<|x2|（2）若f(x)在0,+)上為減函數(shù)，則f(x1)<f(x2)<=>|x1|>|x2| 奇、偶函數(shù)的概念可以推廣：定義1 對于函數(shù)f(x)(xR)，若存在常數(shù)a，使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)則稱f(x)為廣義（1）型偶函數(shù)。顯然，當(dāng)a=0時，f(x)為一般的偶函數(shù)。對于函數(shù)f(x)(xR)，若存在常數(shù)a，使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(a-x)=-f(a+x)或f

3、(2a-x)=-f(x)則稱f(x)為廣義（1）型奇函數(shù)。顯然，當(dāng)a=0時，f(x)為一般的奇函數(shù)。定義2 對于函數(shù)f(x)(xR)，若存在常數(shù)a,b，使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(a-x)=f(b+x)則稱f(x)為廣義（2）型偶函數(shù)。顯然，當(dāng)a=b時，f(x)為廣義（1）型偶函數(shù)；當(dāng)a=b=0時，f(x)為一般的偶函數(shù)。對于函數(shù)f(x)(xR)，若存在常數(shù)a,b，使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(a-x)=-f(b+x)則稱f(x)為廣義（2）型奇函數(shù)。顯然，當(dāng)a=b時，f(x)為廣義（1）型奇函數(shù)；當(dāng)a=b=0時，f(x)為一般的奇函數(shù) 。定義3 對于函數(shù)f(x)(xR)，若

4、存在常數(shù)a,b,m,n(m>0,n>0)，使得其定義域內(nèi)任意一個x，都有f(a-mx)=f(b+nx)則稱f(x)為廣義（3）型偶函數(shù)。顯然，當(dāng)m=n=1時，f(x)為廣義（2）型偶函數(shù)；當(dāng)a=b=0,且m=n時，f(x)為一般的偶函數(shù)。對于函數(shù)f(x)(xR)，若存在常數(shù)a,b,m,n(m>0,n>0)，使得其定義域內(nèi)任意一個x，都有f(a-mx)=-f(b+nx)則稱f(x)為廣義（3）型奇函數(shù)。顯然，當(dāng)m=n=1時，f(x)為廣義（2）型奇函數(shù)；當(dāng)a=b=0,且m=n時，f(x)為一般的奇函數(shù)。結(jié)論3 設(shè)f(x)為定義在R上的廣義（2）型偶函數(shù)（1）若f(x)在(

5、a+b)/2,+)上為增函數(shù)，則f(x1)<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2|（2）若f(x)在(a+b)/2,+)上為減函數(shù)，則 f(x1)<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|>|x2-(a+b)/2| 結(jié)論4 設(shè)f(x)為定義在R上的廣義（2）型奇函數(shù)（1）若f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，則|f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2|（2）若f(x)在R上為增函數(shù)，則 |f(x1)|<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|&

6、lt;x2-(a+b)/2（3）若f(x)在R上為減函數(shù)，則 |f(x1)|<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|<(a+b)/2-x2結(jié)論5 設(shè)a,b是兩個相異的實(shí)數(shù)，則（1）當(dāng)f(x)關(guān)于a,b均為廣義（1）型偶函數(shù)時，f(x)為周期函數(shù)，且2|b-a|為其一個正周期（2）當(dāng)f(x)關(guān)于a,b均為廣義（1）型奇函數(shù)時，f(x)為周期函數(shù)，且2|b-a|為其一個正周期 （1）當(dāng)f(x)關(guān)于a,b，一個為廣義（1）型奇函數(shù)，一個為廣義（1）型偶函數(shù)時，f(x)為周期函數(shù)，且4|b-a|為其一個正周期 結(jié)論6 設(shè)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對任意xR，恒有（1）f(a

7、-x)=f(b-x)(或f(a+x)=f(b+x)(ab)成立，則f(x)為周期函數(shù)，且|b-a|為其一正周期（2）f(a+x)=-f(b+x)(或f(a-x)=-f(b-x)(ab)成立，則f(x)為周期函數(shù)，且2|b-a|為其一正周期 （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x)(a0)成立，則f(x)為周期函數(shù)，且6|a|為其一正周期 結(jié)論7 對于實(shí)數(shù)ai,bi,mi,ni(n=1,2)，且m1m2=n1n2,m1(a2-b1)n1(a1-b2),若對于定義在R上的函數(shù)f(x)，且對于任意xR，有(1)f(ai-mix)=f(bi+nxi)(i=1,2),則f(x)為周期函數(shù)，且|(a2-

8、b1)+m2(b2-a1)/n2|為其一正周期(2)f(ai-mix)=-f(bi+nxi)(i=1,2),則f(x)為周期函數(shù)，且|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|為其一正周期 (3)f(a1-m1x)=f(b1+n1x),f(a2-m2x)=-f(b2+n2x),則f(x)為周期函數(shù)，且2|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|為其一正周期 結(jié)論8 設(shè)T為非零常數(shù)，若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，恒有f(x+T)=Mf(x)，其中M(x)滿足MM(x)=x，且M(x)x,則f(x)為周期函數(shù)，且2T為其一個周期。以上結(jié)論38均由周期函數(shù)的定義即可推證我們知道，對于奇函數(shù)，其圖像關(guān)

9、于原點(diǎn)（0，0）成中心對稱；對于偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸（x=0）成軸對稱。一般地，我們有結(jié)論9 函數(shù)f(x)定義在R上，對于定義域內(nèi)任意一實(shí)數(shù)x，都有f(a+x)+f(b-x)=c成立的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a+b)/2,c/2)成中心對稱。結(jié)論10 函數(shù)f(x)定義在R上，對于定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)x，都有f(a+x)-f(b-x)=0成立的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=(a+b)/2成軸對稱。第一講 函數(shù) 練習(xí) 1.求函數(shù)y=x+(x2-3x+2）的值域。1,3/2)2,+)2.f(x)和g(x)的定義域都是R，f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=1

10、/(x-x+1)，那么f(x)/g(x)的取值范圍為？x>0時，f(x)/g(x)2；x<0時，f(x)/g(x)-23.（1）已知定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)f(x)始終滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)0x1時，f(x)=x，求f(15/2)的值。-1/2（2）函數(shù)f(x)=(9x-1)/3(x+1)-(1-x2)/(|x+2|-2)+1，已知f(a)=3，求f(-a)的值（|a|<1)。2-34.f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，都有f(x+3)f(x)+3,f(x+2)f(x)+2，若f(998)=1002，求f(2000)的值。20045.已知二次函數(shù)f(x)=a

11、x2+bx+c(a,b,cR,a0)。（1）f(-1)=0,(2)對任意xR,xf(x)(x2+1)/2，那么a=？b=？c=？1/4,1/2,1/46.若函數(shù)f(x)=-x2/2+13/2在區(qū)間a,b上的最小值為2a，最大值為2b，求a,b。1,3或-2-17,13/47.已知1/3a1，若f(x)=ax2-2x+1在1,3上最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。（1）求g(a)的函數(shù)表達(dá)式 g(a)=a+1/a-2,a1/3,1/2或g(a)=9a+1/a-6,a(1/2,1（2）判斷函數(shù)g(a)的單調(diào)性，并求出g(a)的最小值 1/3,1/2上單減，1/2,

12、1上單增，g(a)min=1/28.對于函數(shù)f(x)，若存在x0R，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0)。（1）當(dāng)a=1,b=-2時，求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)（2）若對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍（3）在（2）的條件下，若y=f(x)的圖像上A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+1/(2a2+1)對稱，求b的最小值9.函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)域上，且滿足下列條件：對任何實(shí)數(shù)x，有f(2+x)=f(2-x)，且f(7+x)=f(7-x)。若x=0是方程f(x)

13、=0的一個根，問方程f(x)=0在區(qū)間-1000x1000中至少應(yīng)有幾個根？10.設(shè)函數(shù)f(x)對所有x>0有定義，且滿足：（1）函數(shù)f(x)在(0,+)上嚴(yán)格遞增；(2)對所有x>0均有f(x)>-1/x；（3）對所有x>0均有f(x)ff(x)+1/x=1，求函數(shù)值f(1)。11.已知實(shí)數(shù)x不是整數(shù)，且x+99/x=x+99/x，求x的值12.求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意實(shí)數(shù)x與任意的a0,/2恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)21/813.求函數(shù)f(x)=x(1-x)/(x+1)(x+2)(2x+1),x(0,1的最大值。14.已知f(

14、x)是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對于任意的a,bR，滿足f(ab)=af(b)+bf(a)。（1）求f(0),f(1)的值；（2）判斷f(x)奇偶性，并證明；（3）f(2)=2,an=f2(-n)/n (nN*)，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn。15.設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對稱，對任意x1,x20,1/2都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。（1）求f(1/2),f(1/4)；（2）求證f(x)是周期函數(shù)；（3）記an=f(2n+1/2n)，求lim(n)(lnan)。16.實(shí)數(shù)a,b,c和正數(shù)使得f(x)=x3+ax2+bx

15、+c有三個實(shí)數(shù)根x1,x2,x3，且滿足（1）x2-x1=；（2）x3>(x1+x2)/2。求(2a3+27c-9ab)/3的最大值。第一講 函數(shù) 結(jié)束 第二講 方程（組）在處理方程（組）問題中，常常應(yīng)用到如下結(jié)論：結(jié)論1 （韋達(dá)定理）若復(fù)系數(shù)一元n次方程anxn+a(n-1)x(n-1)+.+a1x+a0=0(an0)的n個復(fù)數(shù)根是x1,x2,.,xn，則x1+x2+.+xn=-a(n-1)/anx1x2+.+x1xn+x2x3+.+x2xn+.+x(n-1)xn=(-1)2a(n-2)/an.x1x2.xn=(-1)na0/an結(jié)論2 設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程為ax2+bx+c=0(a0

16、).若=b2-4ac<0，則方程無實(shí)根；若=b2-4ac=0，則方程有相同兩實(shí)根；若=b2-4ac>0，則方程有兩相異實(shí)根。結(jié)論3 設(shè)函數(shù)f(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，（1）且xR,a,b為實(shí)常數(shù)，則方程f(x)=f(ax+b)與ax+b=x(a0)同解；（2）且xR,a,b,c為實(shí)常數(shù)，則方程f(x)=f(ax2+bx+c)與ax2+(b-1)x+c=0(a0)同解；（3）且xR,g(x)和h(x)是實(shí)值函數(shù)，則方程fg(x)=fh(x)與g(x)=h(x)同解；（4）且xR,g(x)是實(shí)值函數(shù)，則方程fg(x)=f(x)與g(x)=x同解. 第二講 方程（組） 結(jié)束第三講 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸

17、納法特殊數(shù)列求和主要應(yīng)掌握以下幾種方法：（1）直接求和法：直接運(yùn)用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來求和（2）轉(zhuǎn)化求和法：對于既非等差，又非等比數(shù)列的求和，經(jīng)常通過拆、并、減、倒序相加、錯位相減等方法，將非等差（比）數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列來求前n項(xiàng)的和（3）拆項(xiàng)求和法：如果一個數(shù)列的每一項(xiàng)都可化為幾項(xiàng)的差，而前一項(xiàng)的減數(shù)與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，或前一項(xiàng)的被減數(shù)與后一項(xiàng)的減數(shù)相同，則相加時，中間項(xiàng)全部抵消為零，即可求出前n項(xiàng)的和（4）遞推求和法：利用二項(xiàng)式定理及前n個正整數(shù)的較低次冪的和的公式來求數(shù)列前n項(xiàng)的和在求數(shù)列的前n項(xiàng)和的時候，應(yīng)熟記以下公式：i=n(n+1)/2i2=n(n+1)(2

18、n+1)/6i3=n(n+1)/22C(n,0)+C(n,1)+.+C(n,n)=2nC(m,m)+C(m+1,m)+.+C(n,m)=C(n+1,m+1) (nm,n,mN*)遞歸數(shù)列的基礎(chǔ)知識（1）數(shù)列an的相鄰若干項(xiàng)的關(guān)系成為遞推關(guān)系，由遞推關(guān)系和初始值所確定的數(shù)列叫做遞歸數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列可以看作特殊的遞推數(shù)列：an=a(n-1)+d(n2),an=a(n-1)q(n2)對于一個遞歸數(shù)列，如果我們知道了它的通項(xiàng)，那么就可以從整體上認(rèn)識和把握該數(shù)列，因此，求遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式是遞歸數(shù)列的基本問題。（2）由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式由于遞歸數(shù)列的種類繁多，多數(shù)情況下沒有求解通項(xiàng)公式的現(xiàn)成方法。

19、求一般遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式，基本思想仍是通過變形、代換等手段把問題轉(zhuǎn)化為求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，或者通過試驗(yàn)猜想出一個通項(xiàng)公式，然后證明其正確性。由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法有：累加法，迭代法，代換法，代入法，不動點(diǎn)法，特征方程法等。數(shù)學(xué)歸納法（1）數(shù)學(xué)歸納法的基本形式第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n=n0(n0N*)時，P(n)成立；假設(shè)n=k(kn0,kN*)成立，由此推得n=k+1時，P(n)也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)nn0時，P(n)成立。第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n=n0(n0N*)時，P(n)成立；假設(shè)nk(k

20、n0,kN*)成立，由此推得n=k+1時，P(n)也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)nn0時，P(n)成立。跳躍數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1,2,3,.,l時，P(1),P(2),.,P(l)成立。假設(shè)n=k時，P(n)成立，由此推得n=k+l時，P(n)也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)n1時，P(n)成立。反向數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果P(n)對無限多個正整數(shù)n成立；假設(shè)n=k時，命題P(n)成立，則當(dāng)n=k-l時，命題P(n)也成立，那么根據(jù)對一切正整數(shù)n1時，P(n)成立。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧起點(diǎn)前移：有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)n都成立，但命題本身對n=0也成立

21、，而且驗(yàn)證起來比驗(yàn)證n=1時容易，因此用驗(yàn)證n=0成立代替驗(yàn)證n=1；同理，其他起點(diǎn)也可以前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以。因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn)。起點(diǎn)增多：有些命題在由n=k向n=k+1跨進(jìn)時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn)。加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多。選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)不一定要拘泥于“假設(shè)n=k時命題成立”，而需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用。變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，需要引進(jìn)一個輔助命題幫助證明，或者需

22、要改變命題（即將命題一般化或加強(qiáng)），才能滿足歸納的需要，才能順利進(jìn)行證明。（3）歸納-猜想-證明在數(shù)學(xué)中，通過特例或根據(jù)一部分對象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種由個別事實(shí)得出一般性結(jié)論的不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法。不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的極好方法。但不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進(jìn)一步檢驗(yàn)或證明。我們經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明這種猜想。第三講 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法結(jié)束第四講 不等式常見不等式的解法（1）高次不等式設(shè)f(x)=(x-a1)(x-a2).(x-an),其中a1<a2<.<an當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x)>0的解為(

23、an,+)(a(n-2),a(n-1)(a(n-4),a(n-3).(a2,a3)(-,a1),而f(x)<0的解為(a(n-1),an)(a(n-3),a(n-2).(a1,a2)當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x)>0的解為(an,+)(a(n-2),a(n-1)(a(n-4),a(n-3).(a2,a1),而f(x)<0的解為(a(n-1),an)(a(n-3),a(n-2).(-,a1)（2）分式不等式f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0f(x)/g(x)0<=>f(x)g(x)0,g(x)0（3）無理不等式f(x)g(x)=f(x)

24、0,g(x)0,f(x)g(x)2或f(x)0,g(x)0f(x)<g(x)<=>f(x)0,g(x)>0,f(x)<g(x)2（4）絕對值不等式|f(x)|g(x)<=>-g(x)f(x)g(x)|f(x)|>g(x)<=>f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)（5）指數(shù)、對數(shù)不等式a>1時，af(x)>ag(x)<=>f(x)>g(x)0<a<1時，af(x)>ag(x)<=>f(x)<g(x)a>1時，logaf(x)>logag(x)&

25、lt;=>f(x)>g(x)>00<a<1時，logaf(x)>logag(x)<=>0<f(x)<g(x) 幾個重要的著名不等式（1）平均值不等式設(shè)a1,a2,.,an是n個正實(shí)數(shù)，記A=(a1+a2+.+an)/n,G=(a1a2.an)(1/n),H=n/(1/a1+1/a2+.+1/an),Dr=(a1r+a2r+.+anr)/n(1/r) (r0),(a1a2.an)(1/n) (r=0)它們分別稱為這n個正數(shù)的算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均及r次冪平均，則有下列平均值不等式成立：(i)HGA，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=.=

26、an(ii)當(dāng)s<r時，DsDr，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=.=an注意不等式(i)僅是(ii)的特殊情形：D(-1)D0D1（2）柯西(Cauchy)不等式設(shè)a1,a2,.,an及b1,b2,.,bn為實(shí)數(shù)，則(aibi)2ai2bi2，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，（不全為零）使ai=bi(i=1,2,.,n)。當(dāng)ai,bi都不為零時，等號成立的充要條件可寫為a1/b1=a2/b2=.=an/bn（3）赫爾德(Holder)不等式設(shè)a1,a2,.,an,b1,b2,.,bn為正實(shí)數(shù)，p,q為正實(shí)數(shù)且1/p+1/q=1，則得aibi(aip)(1/p)(biq)(1/q) ，等號成立當(dāng)且

27、僅當(dāng)a1p/b1q=a2p/b2q=.=anp/bnq在中令xi=abi,yi=biq(i=1,2,.,n),p=+1(0)，即=p-1=p/q，則可等價地寫為：當(dāng)0時，有xi(+1)/yi(xi)(+1)/(yi) 并且中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1/y1=x2/y2=.=xn/yn不等式叫做赫爾德不等式，它的等價形式我們稱為權(quán)方和不等式（4）排序不等式給定實(shí)數(shù)a1a2.an和b1b2.bn，設(shè)i1,i2,.,in是1,2,.,n的任意排列，則a1bn+a2b(n-1)+.+anb1a1bi1+a2bi2+.+anbina1b2+a2b2+.+anbn,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=.=an或b1=b

28、2=.=bn（5）切比雪夫不等式若a1a2.an,b1b2.bn，則aibi1/n(ai)(bi)；若a1a2.an,b1b2.bn，則aibi1/n(ai)(bi)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=.=an或b1=b2=.=bn（6）伯努力(Bernoulli)不等式設(shè)x>-1,則當(dāng)0<<1時,有(1+x)1+x；當(dāng)<0或>1時，有(1+x)1+x；等號稱里當(dāng)且僅當(dāng)x=0（7）凸函數(shù)不等式(i)定義：設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，故對任意x1,x2I(x1x2)及任意實(shí)數(shù)(0<<1)，有f(x1+(1-)x2)<(>)1f(x1)+2f(

29、x2)，則成f(x)為區(qū)間I上的嚴(yán)格下（上）凸函數(shù)(ii)凸函數(shù)的判定：如果對任意的xI，有f''(x)>0(<0)，則f(x)是區(qū)間I上的下（上）凸函數(shù)(iii)琴生(Jensen)不等式：設(shè)f(x)為區(qū)間I上的嚴(yán)格下（上）凸函數(shù)，則對任意x1,x2,.,xnI以及任意正實(shí)數(shù)1,2,.,n(1+2+.+n=1)有f(aixi)()aif(xi)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=.=xn第四講 不等式結(jié)束 第五講 三角函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性對任意角，都有|sin|1,|cos|1，這一性質(zhì)稱為正、余弦函數(shù)的有界性。競賽解題中還常常用到1±sin0,|A

30、sin+Bcos|(A2+B2)等式子（2）奇偶性與對稱性正弦函數(shù)、正切函數(shù)和余切函數(shù)都是奇函數(shù)，從而它們的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且y=sinx的圖像還關(guān)于x=k+/2,kZ對稱（3）單調(diào)性利用三角函數(shù)的圖像可以寫出三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例如，y=sinx在區(qū)間2k-/2,2k+/2上單調(diào)遞增，而在區(qū)間2k+/2,2k+3/2(kZ)上單調(diào)遞減；y=cosx在2k+,2k+2上單調(diào)遞增，而在區(qū)間2k,2k+(kZ)上單調(diào)遞減 三角函數(shù)的單調(diào)性是解決三角不等式、求三角函數(shù)最值的重要依據(jù)（4）周期性三角函數(shù)都是周期函數(shù)，并且都有最小正周期。對于一般表達(dá)式，y=Asin(x+)，y=Acos(x+)的最

31、小正周期為2/|；y=Atan(x+),y=Acot(x+)的最小正周期為/| （5）其他性質(zhì)若0<x</2，則sinx<x<tanx；這個性質(zhì)揭示了銳角x的弧度數(shù)與sinx,tanx之間的關(guān)系，利用它可以解決一些混合不等式問題y=sinx/x在(0,/2)上是減函數(shù)；y=tanx/x在(0,/2)上是增函數(shù)； 三角函數(shù)在其定義域內(nèi)的不同的區(qū)間上呈現(xiàn)上凸或下凸的性質(zhì)三角變換三角變換（或三角恒等變形）是重要的代表式變形，變形過程中，不僅需要熟練地掌握各種三角公式的應(yīng)用條件和把握應(yīng)用時機(jī)，還需要有一種駕駛和處理復(fù)雜三角式的化歸意識與能力。常見的三角變換包括：角變換、函數(shù)名稱

32、變換、常數(shù)變換、公式變換及冪變換等等。反三角函數(shù)與三角方程（1）反三角函數(shù)式的三角運(yùn)算（2）三角函數(shù)式的反三角運(yùn)算（3）反三角函數(shù)式間的恒等式（4）三角方程與三角不等式的解法解三角方程與不等式，應(yīng)始終抓住“將方程或不等式轉(zhuǎn)化為最基本的三角方程或不等式”這一想法，即轉(zhuǎn)化為sinx=或sinx,cosx=或cosx的形式。在處理三角方程及反三角方程問題時，需要檢驗(yàn)。三角函數(shù)具有一系列優(yōu)美的性質(zhì)：有界性、奇偶性、周期性以及在一些區(qū)間上的單調(diào)性。因而，三角內(nèi)容有其特有的作用，它與其他相關(guān)知識有著密切的內(nèi)在了解，它體現(xiàn)數(shù)學(xué)重要思想方法的重要內(nèi)容，也是解決相關(guān)問題或?qū)嶋H問題的重要工具（三角代換或三角法）。

33、求解三角問題一般是通過三角函數(shù)（或反三角函數(shù)）恒等變形來完成，這種方法是最基本的，也是很重要的。有些三角問題，除了常規(guī)方法外，還可根據(jù)題目所提供的信息，通過觀察、聯(lián)想，采用處理代數(shù)問題的各種技巧，如配湊、構(gòu)造、代換等。第五講 三角函數(shù)結(jié)束第六講 向量向量的基礎(chǔ)知識和有關(guān)性質(zhì)，可以用來處理函數(shù)、不等式、三角、平面幾何、立體幾何、解析幾何等各學(xué)科的問題，因而向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具。利用向量知識及性質(zhì)處理問題的特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合，運(yùn)算有法可循，因此，向量法既有綜合法的靈巧，又有坐標(biāo)法的方便，能把綜合法與坐標(biāo)法有機(jī)地結(jié)合在一起。為了便于應(yīng)用向量方法，掌握下述結(jié)論是必要的。結(jié)論1（平面向量的基本定理

34、）如果e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一組實(shí)數(shù)1，2，使得=1e1+2e2特別地，若記OA向量=e1，OB向量=e2，OC=，則有OC向量=1OA向量+2OB向量結(jié)論2 若OC向量=1OA向量+2OB向量（1,2R），則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是1+2=1特別地，若記OA向量=a，OB向量=b，OC向量=c，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：有不全為0的實(shí)數(shù)l,m,n，使得la+mb+nc=0，且l+m+n=0若A,B,C三點(diǎn)共線，且AC向量=CB向量，O為任意一點(diǎn)，則有OC向量=(OA+OB)/(1+)結(jié)論3 對于向量a=(x1,y1),b=(

35、x2,y2)，則（1）ab<=>a=b或a×b=0或x1y2-x2y1=0（2）ab<=>ab=0或|a×b|=|a|b|或x1x2+y1y2=0（3）ab=|a|b|cos(a,b),ab=|a|b|sin(a,b),其中(a,b)表示向量a和b之間正方向的夾角結(jié)論4 設(shè)a,b為兩向量，則ab|a|b|,|ab|a|b|結(jié)論5 （空間向量的基本定理）如果e1,e2,e3是空間中三個不共面的向量，那么對于空間中任一向量，有且只有一組實(shí)數(shù)1,2,3，使得=1e1+2e2+3e3 平面向量的結(jié)論2,3,4等均可以推廣到空間向量中去結(jié)論6 平面上點(diǎn)P到直線

36、l的距離d(P,l)=|PAn|/|n|，當(dāng)Al,nl時；|PA×v|/|v|，當(dāng)Al,vl時；|PA×PB|/|AB|，當(dāng)A,Bl時第六講 向量結(jié)束第七講 立體幾何數(shù)學(xué)競賽中的立體幾何問題，主要涉及角（包括異面直線所成的角、線面角、面面角即二面角）、求距離（點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、異面直線之間的距離、平行的線線距、平行的線面距、平行的面面距）、求面積（側(cè)面、截面、全面積）與體積，以及位置關(guān)系的判定等。高中聯(lián)賽中主要以選擇題、填空題以及求解角、距、積的形式出現(xiàn)。求解這些問題常常需要熟悉一些特殊幾何體（如正方體、四面體、平行六面體、球體、錐體、柱體，以及從正方體或四面體截割下

37、的某特殊幾何體或補(bǔ)形成特殊幾何體）的性質(zhì)以及下述的一些結(jié)論：結(jié)論1 （1）兩條異面直線分別與它們的公垂線所確定的兩個平面所成的二面角等于這兩條異面直線所成的角。（2）線段AB的兩端在直二面角M-CD-N內(nèi)，并且與兩個面所成的角為和，異面直線AB與CD所成角為，則(sin)2=(sin)2+(sin)2結(jié)論2 （1）若A,B是異面直線a,b上的兩點(diǎn)，EF是公垂線段，點(diǎn)E在a上，點(diǎn)F在b上，且AE=m,BF=n，則異面直線a和b所成的角滿足cos=|(EF2+m2+n2-AB2)/2mn|（2）若A,B是異面直線a,b上的兩點(diǎn)，EF是公垂線段，則異面直線AB和EF所成的角滿足cos=EF/AB結(jié)論

38、3 （1）長度為l的線段與其射影線段的長l0有如下關(guān)系：l0=lcos，其中為線段與其射影所成的夾角（2）長度為l的線段在其共面的兩相互垂直的直線上的射影長分別為l1,l2，則l2=l12+l22（3）長度為l的線段，與它在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1,l2,l3，則l2=l12+l22+l32結(jié)論4 （1）面積為S的多邊形與其射影面的面積S0有如下關(guān)系：S0=Scos，其中為多邊形所在平面與其射影面所成二面角的大小（2）面積為S的多邊形在三個兩兩互相垂直的平面上的射影面積分別為S1,S2,S3，則S2=S12+S22+S32(3)若臺體各側(cè)面與底面所成的二面角均為，則S下-S上

39、=S側(cè)cos。特別地，當(dāng)S上=0時為錐體情形結(jié)論5 在三棱錐V-ABC，VC底面ABC，設(shè)二面角V-AB-C的大小為，記VAC=1（此三棱錐可視為長方體中截得的幾何體）（1）若ACB=90°，記VBC=3，則(tan)2=(tan1)2+(tan3)2（2）若AVB=90°，記VBC=3，則(sin)2=(sin1)2+(sin3)2（3）記VAB=，則sin=sin1/sin（4）記VAB=，BAC=2，則cos=tan2/tan，且有cos=cos1cos2,tan=tan1/sin2，還有cos=(cos1-coscos2)/sinsin2結(jié)論6 在三棱錐V-ABC中

40、，二面角V-AB-C的大小為，VAC=1,BAC=2,VAB=，則cos=(cos1-coscos2)/sinsin2 第七講 立體幾何 結(jié)束第八講 直線與圓的方程1.兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，則|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)22.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，點(diǎn)P(x,y)分P1P2的比為P1P/PP2=，則x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+) (1)3.直線方程的各種形式（1）點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)（2）斜截式：y=kx+b（3）兩點(diǎn)式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1

41、)/(x2-x1)（4）截距式：x/a+y/b=1(a0,b0)（5）參數(shù)方程：x=x0+tcos,y=y0+tsin(t為參數(shù)，為傾斜角，|t|表示點(diǎn)(x,y)與(x0,y0)之間的距離)（6）一般式：Ax+By+C=0(A,B不同時為0)4.兩直線的位置關(guān)系設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0（或l1:y=k1x+b,l2:y=k2x+b)，則（1）l1l2<=>A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10,B1C2-B2C10(k1=k2且b1b2)（2）l1l2<=>A1B2+A2B1=0(k1k2=-1)5.兩直線的夾角設(shè)兩直線

42、的斜率為k1,k2，夾角為，則tan=(k2-k1)/(1+k1k2)6.點(diǎn)P(x0,y0)到直線l的距離點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=|Ax0+By0+C|/(A2+B2)7.過兩直線交點(diǎn)的直線系方程設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0相交，那么過l1與l2的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0（其中不包括直線l2）8.圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=R2，其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，R為圓半徑（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，圓心

43、為(-D/2,-E/2)，半徑為(D2+E2-4F)/29.圓的切線方程過圓x2+y2=R2(x2+y2+Dx+Ey+F=0)上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=R2(x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2+F=0)10.圓系方程（1）兩圓的根軸設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0)，則直線(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0稱為圓C1與C2的根軸。根軸與兩圓的連心線垂直，且根軸上任意一點(diǎn)向兩圓所引切線長相等。當(dāng)兩圓相交

44、（切）時，根軸必過兩圓的交點(diǎn)（切點(diǎn)）。（2）與圓C1和C2同根軸的圓系方程x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，記為C1+C2=0,為待定系數(shù)（不包括圓C2)11.圓的參數(shù)方程圓心為(a,b)，半徑為R的圓的參數(shù)方程為x=a+Rcos,y=b+Rsin（為參數(shù)）12.切點(diǎn)弦方程從圓C:(x-a)2+(y-b)2=R2外一點(diǎn)P(m,n)向圓C引兩條切線PM1,PM2(M1,M2為切點(diǎn))，則過切點(diǎn)的弦M1M2的直線方程為(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=R2.事實(shí)上設(shè)Mi(xi,yi)(i=1,2)，則過Mi(xi,yi)的切線方程為(xi-a)(x

45、-a)+(yi-b)(y-b)=R2(i=1,2)而P(m,n)在切線上，故(xi-a)(m-a)+(yi-b)(n-b)=R2(i=1,2),即點(diǎn)M1(x1,y1),M2(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=R2。這就是過M1,M2的切點(diǎn)弦方程。第八講 直線與圓的方程 結(jié)束第九講 圓錐曲線1.橢圓（1）橢圓的定義第一定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和為常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中F1,F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，|F1F2|為焦距。第二定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線L的距離之比為常數(shù)e(0<e<1)的動點(diǎn)軌跡

46、叫做橢圓。其中定點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，定直線L為相應(yīng)準(zhǔn)線。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以清楚地了解橢圓的一系列數(shù)據(jù)及信息：對稱軸、對稱中心、長軸、短軸、焦距、離心率、準(zhǔn)線、方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及取值范圍等。（3）橢圓的參數(shù)方程橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的參數(shù)方程為x=acos,y=bsin(為參數(shù))2.雙曲線（1）雙曲線的定義第一定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中F1,F2為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，|F1F2|為焦距。第

47、二定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線L的距離之比為常數(shù)e(e>1)的動點(diǎn)軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線L為相應(yīng)準(zhǔn)線。（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以清楚地了解雙曲線的各種數(shù)據(jù)及信息：對稱軸、虛軸、焦距、離心率、準(zhǔn)線方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、取值范圍等。 （3）雙曲線的參數(shù)方程雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為x=asec,y=btan(為參數(shù)) 3.拋物線（1）拋物線的定義平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的動點(diǎn)軌跡叫做拋物線。其中定點(diǎn)F是

48、拋物線的焦點(diǎn)，定直線L為準(zhǔn)線（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程:y2=2px(p>0)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以清楚地了解拋物線的各種數(shù)據(jù)及信息：對稱軸、離心率、準(zhǔn)線方程、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、取值范圍等。（3）拋物線的參數(shù)方程拋物線y2=2px(p>0)的參數(shù)方程為x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù))4.圓錐曲線（1）橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一定義及極坐標(biāo)方程平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離到定直線距離之比為常數(shù)e的動點(diǎn)軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)e>1時，軌跡表示雙曲線；當(dāng)e=1時，軌跡表示拋物線；當(dāng)e<1時，軌跡表示橢圓。定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是一條準(zhǔn)線，圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為=ep/(1-ecos)，

49、e為離心率，p為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，極點(diǎn)是焦點(diǎn)，以焦點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系。（2）共交點(diǎn)的二次曲線系過兩條已知二次曲線Ci:Aix2+Biy2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)的交點(diǎn)的二次曲線系方程是C1+C2=0（不包括曲線C2）第九講 圓錐曲線結(jié)束 第十講 導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在x0處的增量y與自變量的增量x的比值y/x，當(dāng)x0時的極限lim(x0)y/x=lim(x0)f(x0+x)-f(x0)/x存在，則稱f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f'(x0)或y'|x=x02.導(dǎo)函數(shù)函數(shù)y

50、=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都存在，就說f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是(a,b)內(nèi)的函數(shù)，又叫f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f'(x)或y'函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在x=x0時的函數(shù)值f'(x0)，就是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)。3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點(diǎn)M(x0,y0)處切線的斜率（2）設(shè)s=s(t)是位移函數(shù)，則s'(t0)表示物體在t=t0時刻的瞬時速度（3）設(shè)v=v(t)是速度函數(shù)，則v'(t0)表示物體在t=t0時刻的加速度4.幾種常用的函數(shù)的

51、導(dǎo)數(shù)(1)c'=0(c為常數(shù))(2)(xm)'=mx(m-1)(mQ)(3)(sinx)'=cosx(4)(cosx)'=-sinx(5)(ex)'=ex(6)(ax)'=axlna(7)(lnx)'=1/x(8)(logax)'=1/xlna5.兩個函數(shù)的四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)若u(x),v(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，則（1）和（差）的導(dǎo)數(shù)(u±v)'=u'±v'（2）積的導(dǎo)數(shù)(uv)'=u'v+uv'（3）商的導(dǎo)數(shù)(u/v)'=(u'v-uv')/v2(v0)第十講 導(dǎo)數(shù)結(jié)束第十一講 排列與組合1.加法原理和乘法原理如果完成一件事情的方法可分為n個互不相交的類，且第一類中有m1種方法，第二類中有m2種方法,.,第n類中有mn中方法，那么完成這件事一共有m1+m2+.+mn種方法。這就是加法原理，簡稱分類相加。如果完成一件事情要分n步，且第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，.,第n步有mn種方法，那么完成這件事一共有m1m2.mn種方法。這就是乘法原理，簡稱分步相乘。2.無重復(fù)的排列與組合從n個不同元素中任取m(n)個不同元素排成一列，其排列數(shù)為A(n,m)=n(n-