拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較

1、拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較摘 要在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多樣的。對(duì)于一些函數(shù)很難找出其解析表達(dá)式。即使在某些情況下，可以寫出函數(shù)的解析表達(dá)式，但由于解析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起來很不方便。插值法即是解決此類問題的一種古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)。拉格朗日插值法和牛頓插值法則是二種常用的簡(jiǎn)便的插值法。本文即是討論拉格朗日插值法和牛頓插值法的理論及二者的比較。關(guān)鍵詞 拉格朗日插值 牛頓插值 插值多項(xiàng)式 比較一、 背景在工程和科學(xué)研究中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常常會(huì)遇到這樣的情況：在某個(gè)實(shí)際問題中，雖然可

2、以斷定所考慮的函數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通過實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù)的性態(tài)，甚至直接求出其他一些點(diǎn)上的函數(shù)值可能是非常困難的。面對(duì)這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)作為的近似。這樣就有了插值法，插值法是解決此類問題目前常用的方法。如設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且在個(gè)不同的點(diǎn)上分別取值。插值的目的就是要在一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)類中，求一簡(jiǎn)單函數(shù)，使 而在其他點(diǎn)上，作為的近似。通常，稱區(qū)間為插值區(qū)間，稱點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，稱式為插值條件，稱函數(shù)類為插值函數(shù)類，稱為函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的

3、插值函數(shù)。求插值函數(shù)的方法稱為插值法。插值函數(shù)類的取法不同，所求得的插值函數(shù)逼近的效果就不同。它的選擇取決于使用上的需要，常用的有代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式和有理函數(shù)等。當(dāng)選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值問題就稱為多項(xiàng)式插值。本文討論的拉格朗日插值法與牛頓插值法就是這類插值問題。在多項(xiàng)式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數(shù)不超過的代數(shù)多項(xiàng)式 使，其中，為實(shí)數(shù)。拉格朗日插值法即是尋求函數(shù)（拉格朗日插值多項(xiàng)式）近似的代替函數(shù)。相似的，牛頓插值法則是通過（牛頓插值多項(xiàng)式）近似的求得函數(shù)的值。二、 理論基礎(chǔ)（一）拉格朗日插值法在求滿足插值條件次插值多項(xiàng)式之前，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的插值問題：對(duì)節(jié)點(diǎn)中

4、任一點(diǎn)，作一n次多項(xiàng)式，使它在該點(diǎn)上取值為1，而在其余點(diǎn)上取值為零，即上式表明個(gè)點(diǎn)都是次多項(xiàng)式的零點(diǎn)，故可設(shè)其中，為待定系數(shù)。由條件立即可得故 由上式可以寫出個(gè)次插值多項(xiàng)式。我們稱它們?yōu)樵趥€(gè)節(jié)點(diǎn)上的次基本插值多項(xiàng)式或次插值基函數(shù)。利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件的次插值多項(xiàng)式 根據(jù)條件，容易驗(yàn)證上面多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處的值為，因此，它就是待求的次插值多項(xiàng)式。形如的插值多項(xiàng)式就是拉格朗日插值多項(xiàng)式，記為，即作為常用的特例，令，由上式即得兩點(diǎn)插值公式 ，這是一個(gè)線性函數(shù)，故又名線性插值。若令，則又可得到常用的三點(diǎn)插值公式這是一個(gè)二次函數(shù)，故又名二次插值或拋物插值。（二）牛頓插值法由線性代數(shù)知，任何

5、一個(gè)不高于次多項(xiàng)式，都可以表示成函數(shù)的線性組合。既可以吧滿足插值條件的次插值多項(xiàng)式寫成如下形式其中，為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓插值多項(xiàng)式，記為，即 因此，牛頓插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式的另一種表示形式。設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為已知，其中是正常數(shù)，稱步長(zhǎng)。我們稱兩個(gè)相鄰點(diǎn)和處函數(shù)之差為函數(shù)在點(diǎn)處以為步長(zhǎng)的一階向前差分，記作，即于是，函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)在點(diǎn)處的階差分為。在等距節(jié)點(diǎn)情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)。事實(shí)上，由插值條件可得；再由插值條件可得；一般的，由插值條件可得。于是，滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為三、

6、二者的比較拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡(jiǎn)便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡(jiǎn)便，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作必須重新開始”（見下面例題）的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘、除法運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有著密切的關(guān)系。現(xiàn)用一實(shí)例比較拉格朗日插值法與牛頓插值法例 已知函數(shù)表如下：x0.10.20.30.40.50.6sinx0.099830.198670.295520.389420.479430.56464計(jì)算sin(0.12)的值。利用拉格朗日插值法計(jì)算過程如下：（計(jì)算程序代碼見附件） 因?yàn)?.12位于

7、0.1與0.2之間，故取節(jié)點(diǎn)利用線性插值所求的近似值為計(jì)算結(jié)果如下圖利用拋物插值所求的近似值為計(jì)算結(jié)果如下圖利用牛頓插值法計(jì)算過程如下：構(gòu)造差分表如下：xsinx0.10.20.30.40.099830.198670.295520.389420.098840.096850.09390-0.00199-0.00295-0.00096利用線性插值所求的近似值為利用拋物插值所求的近似值為從上面的計(jì)算過程可以看出，拉格朗日插值法的線性插值與拋物插值的計(jì)算過程沒有繼承性，即增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作必須重新開始。而牛頓插值則避免了這一問題，這樣大量的節(jié)省了乘、除法運(yùn)算次數(shù)，減少了計(jì)算的時(shí)間。因此，對(duì)于一

8、些結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)，牛頓插值法比拉格朗日插值法要占優(yōu)勢(shì)。參考文獻(xiàn)1易大義，沈云寶，李有法編.計(jì)算方法.杭州：浙江大學(xué)出版社，20022馮康等編.數(shù)值計(jì)算方法.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，19873李慶陽(yáng)，王能超，易大義編.數(shù)值分析（第四版）.北京：清華大學(xué)出版社，施普林格出版社，20014Burden R L，F(xiàn)aires J D，Reynolds A C. Numerical Analysis. Alpine Press,19815易大義，陳道琦編.數(shù)值分析引論.杭州：浙江大學(xué)出版社，1998 Comparison between Lagrange interpolation method an

9、d Newton interpolation methodAbstract In the production and scientific researches, there appears a variety of functions. For some function, it is difficult to find out its analytical expression. Though in some cases, the analytical expressions of the structure can be worked out, it is inconvenient t

10、o use them because of the complexity of structure. Interpolation method is a kind of old way to solve such problems, which is now commonly used. It is not only applied in the actual production or scientific researches directly and widely, but also become the foundation of further study of numerical

11、calculation method. Lagrange interpolation method and Newton interpolation law are two commonly used simple interpolation methods. This paper is a discussion of theory and the comparison between Lagrange interpolation method and Newton interpolation method. Key Words Lagrange interpolation ，Newton interpolation ，Interpolation polynomials，comparison 附件：#include <stdio.h>void main()float x6=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6;int n,k,j;float f6=0.09983,0.19867,0.29552,0.38942,0.47943,0.56464;float p,a,sum=0;printf("輸入插值次數(shù)n和所要求sina的a的值:")