4．21　直線與圓的位置關系

1、4.2直線、圓的位置關系4.2.1直線與圓的位置關系基礎達標1在平面直角坐標系 xOy 中，直線 3x4y50 與圓 x2y24 相交于 A、B兩點，則弦 AB 的長等于()A3 3B2 3C. 3D1解析圓 x2y24 的圓心為(0，0)，半徑為 2，則圓心到直線 3x4y50的距離為 d532421.|AB|2 r2d22 412 3.答案B2點 M(x0，y0)是圓 x2y2a2(a0)內不為圓心的一點，則直線 x0 xy0ya2與該圓的位置關系是()A相切B相交C相離D相切或相交解析M 在圓內，且不為圓心，則 0 x20y20a2，則圓心到直線 x0 xy0ya2的距離為 da2x20

2、y20a2a2a，所以相離答案C3圓 x2y22x4y30 上到直線 l：xy10 的距離為 2的點有 ()A1 個B2 個C3 個D4 個解析圓的方程化為標準方程為：(x1)2(y2)28.圓心為(1，2)，圓半徑為 2 2，圓心到直線 l 的距離為|121|121222 2.因此和 l 平行的圓的直徑的兩端點及與 l 平行的圓的切線的切點到 l 的距離都為 2.答案C4直線 l 與圓 x2y22x4ya0(a3)相交于 A，B 兩點，若弦 AB 的中點為C(2，3)，則直線 l 的方程為_解析由圓的一般方程可得圓心 O(1，2)由圓的性質易知 O，C 兩點的連線與弦 AB 垂直，故有 kA

3、BkOC1kAB1，故直線 AB 的方程為 y3x2，整理得 xy50.答案xy505由直線 yx1 上的點向圓 C：x2y26x80 引切線，則切線長的最小值為_解析直線 yx1 上點 P(x0，y0)到圓心 C 的距離|PC|與切線長 d 滿足 d|PC|21 （x03）2y201 2x204x09 2（x01）27 7.答案76直線 l：yxb 與曲線 C：y 1x2有兩個公共點，則 b 的取值范圍是_解析如圖所示，y 1x2是一個以原點為圓心，長度 1 為半徑的半圓，yxb 是一個斜率為 1 的直線，要使兩圖有兩個交點，連接 A(1，0)和 B(0，1)，直線 l 必在 AB 以上的半

4、圓內平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線 l 的 b 值，當直線 l 與 AB 重合時，b1；當直線 l 與半圓相切時，b 2.所以 b 的取值范圍是1， 2)答案1， 2)7(1)圓 C 與直線 2xy50 切于點(2，1)，且與直線 2xy150 也相切，求圓 C 的方程(2)已知圓 C 和 y 軸相切，圓心 C 在直線 x3y0 上，且被直線 yx 截得的弦長為 2 7，求圓 C 的方程解(1)設圓 C 的方程為(xa)2(yb)2r2.兩切線 2xy50 與 2xy150 平行，2r|15（5）|22124 5，r2 5，|2ab15|221r2 5，即|2ab15|10

5、|2ab5|221r2 5，即|2ab5|10又過圓心和切點的直線與過切點的切線垂直，b1a212由解得a2，b1.所求圓 C 的方程為(x2)2(y1)220.(2)設圓心坐標為(3m，m)圓 C 和 y 軸相切，得圓的半徑為 3|m|，圓心到直線 yx 的距離為|2m|2 2|m|.由半徑、 弦心距、 半弦長的關系得 9m272m2，m1，所求圓 C 的方程為(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29.能力提升8過點 P(1，1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()Axy20By10Cxy0Dx3y40解析當圓心與 P

6、的連線和過點 P 的直線垂直時，符合條件圓心 O 與 P 點連線的斜率 k1，直線 OP 垂直于 xy20，故選 A.答案A9若點 P(x，y)滿足 x2y225，則 xy 的最大值為_解析設 xyt，即 yxt，如圖當 yxt 與圓相切時，在 y 軸的截距取得最大值和最小值，此時|t|25，即 t5 2，故(yx)max5 2.答案5 210自原點 O 作圓(x1)2y21 的不重合兩弦 OA，OB，若|OA|OB|k(定值)，那么不論 A， B 兩點位置怎樣， 直線 AB 恒切于一個定圓， 并求出定圓的方程解設 A，B 兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則|OA|OB| x21y21 x22y22 x211（x11）2 x221（x21）2 4x1x2k.x1x2k24.設直線 AB 的方程為 ymxb，代入已知圓的方程并整理，得(1m2)x22(mb1)xb20，