數(shù)學(xué)分析(2)期末試題

1、數(shù)學(xué)分析(2)期末試題65課程名稱數(shù)學(xué)分析(n)試卷類別1適用專業(yè)、年級(jí)、班 應(yīng)用、信息專業(yè)、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，3X6= 18分)1、下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是().0A. £ (-1)nn 1B.J (-1)nn4 n二(-1)n c. z MAnW n1 nD. Z (1 + -)nm n2、若f是(,收)內(nèi)以2n為周期的按段光滑的函數(shù)，則f的傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)在它的間斷點(diǎn)*處().A.收斂于f(x)C.發(fā)散3、函數(shù)f(x)在a,b上可積的必要條件是(A .有界B .連續(xù)1B.收斂于一(f(x 0)+f(x + 0)2D,可能收斂也可能發(fā)散C.單調(diào)D.存在原函數(shù)4、設(shè)

2、f(x)的一個(gè)原函數(shù)為lnx,則f'(x)=()A 11A.B. xlnxC.-xx5、已知反常積分f-dxy (k>0)收斂于1,則k=() 0 1 kx2_ _ 2 _ 二A.B. C.6、ln x(ln x)2+(ln x)3-川+ (1)n(ln x)n+1。收斂，則(D.exD.2 TlD. e，< x c eA.x<eB. x >eC.x為任意實(shí)數(shù):、填空題(每小題3分，3X6= 18分)qQ1、已知幕級(jí)數(shù)工anxn在x=2處條件收斂，則它的收斂半徑為 n 12、若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z Un的第n個(gè)部分和Sn =，則其通項(xiàng)Un =，和S =nmn 1一 1 ,

3、3、曲線y=與直線x=1, x= 2及x軸所圍成的曲邊梯形面積為 .1 vvb4、已知由止積分的換兀積分法可得，(e f (e )dx= ( f (x)dx ,則2=, b =5、數(shù)集(-1)nn =1, 2 , 3, II的聚點(diǎn)為.n 126、函數(shù) f(x)=ex 的麥克勞林(Maclaurin) 展開(kāi)式為、計(jì)算題（每小題6分，6X5 = 30分）1、3、5、四、1、f dx . x (1 x)fo Va2 -x2 dx (a >0).冗一2小-sin2x dx . o2、2 ,fx In x dx .4、 limx )0x 20 8s t dtsin x解答題（第1小題6分，第2、3

4、小題各8分，共22分） 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 克嗎竺在區(qū)間（口,收）上的一致收斂性.n 4 n： n2、求幕級(jí)數(shù)£彳的收斂域以及收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).3、設(shè)f（x） = x,將f在（-冗,江）上展為傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù).五、證明題（每小題6分，6X2=12分）qQqQ1、已知級(jí)數(shù)£ an與0都收斂，且n 1n 1qQ證明：級(jí)數(shù)£ bn也收斂.n 1TL三2、證明： 2 sinn x dx = 2 cosn x dx .- 0- 066試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程幺稱數(shù)學(xué)分析（U ） 適 用 時(shí) 間試卷類別1 適用專業(yè)、年級(jí)、班 應(yīng)用、信息專業(yè)單項(xiàng)選擇題（每小題3分，

5、3X6= 18分）1. B2. B3. A4. C 5. D填空題（每小題3分,3X6= 18分）2_ 一1.22. un =, S=2n（n 1）4. a =1, b = e 5.±16. D3. In 2二 12n6.一X , X -（7, .二）nH n!計(jì)算題（每小題6分,6X5 = 30 分）1.解1 dx x（1 x）一（3 分）=ln x ln 1 + X +C.（3分）2.解由分部積分公式得一 lnxx3d ln x（3分）3.解x3lnxx3 C（3分）令x -asint, t 0,一2由定積分的換元積分公式，得a a2 2 cos2 tdt-0（3分）67（3分）

6、4.（4分）由洛必達(dá)（L / Hospital）法則得2cos x二 lim x 0 cosx ""二169（2分）5.=- 02 （sin x -cosx）2dx（2分）JT二 J4 （cosx sinx）dx- i2 （sin x cosx）dx4（2分）四、1.= 2,2-2.解答題（第1小題6分，第2、3小題各8分，共22分） 解 /xw（-i, +«）, Vn （正整數(shù)）（2分）sin nx2n.（3 分）一，一二 1 而級(jí)數(shù)Z g收斂，故由M判別法知，n z1 n£ 嗎x在區(qū)間（*,"）上一致收斂.n 4 n（3分）八 一，一二 x

7、n，一一，12.解騫級(jí)數(shù)工。的收斂半徑R=1limn ：； = 1 , n：n收斂區(qū)間為(-1,1).n易知工土在x = -1處收斂，而在x=1發(fā)散,(2分)nJ n- n故g- x_的收斂域?yàn)?1,1)-(2分)n4 A11 - xQO - n二 x ,n=0x (-1, 1).一.(2 分)(2分)逐項(xiàng)求積分可得x 1二-x0丁=1 otndt,I - t n 0二 xn 1即ln(1 -x) = x n n 1xw (-1,1).二 xn='' 一,x (-1,1). n 1 n3.解函數(shù)f及其周期延拓后的圖形如下函數(shù)f顯然是按段光滑的，故由收斂性定理知它可以展開(kāi)為Fou

8、rier級(jí)數(shù)。由于f(x)在(兀，兀)為奇函數(shù)，(2分)an =0, n =0, 1, 2,，(-1)n 12(4分)n所以在區(qū)間(-n,n)±,n 1 sin nxf (x) =x = 2% (-1).(2 分)69=jcosnxdx（1分）（2分）（2分）（1分）（2分）（2分）五、證明題（每小題5分,5X2 = 10分）qQqQ1 .證明 由an與f cn都收斂知， n 4n 4qQ級(jí)數(shù)（c （cn -an）也收斂。 n 1又由an <bn <cn, n =1, 2, 3, m可知， 0 _bn _an _ cn _an, n = 1,2,3, |（從而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知9（bn vn）收斂，n =4于