第七節(jié) 方向?qū)?shù)及梯度

1、1方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式梯度概念與計(jì)算梯度概念與計(jì)算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)directional derivative and gradient第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的概念數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的概念2 x y 1. 方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義 設(shè)有二元函數(shù)設(shè)有二元函數(shù)),(yxfz l P 沿任何方向的變化率沿任何方向的變化率 考慮函數(shù)在某點(diǎn)考慮函數(shù)在某點(diǎn)射線(xiàn)是指有方向的半直線(xiàn)射線(xiàn)是指有方向的半直線(xiàn), lP發(fā)發(fā)出出的的一一條條射射線(xiàn)線(xiàn)由由點(diǎn)點(diǎn)方方向向上上取取附附近近于于在在點(diǎn)點(diǎn)lyxP),(),(yyxxP 一一點(diǎn)點(diǎn).| PP記記即

2、即,)()(22yx 一、方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式一、方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 xyOP3定義定義 如果極限如果極限 )()(limPfPfPP ),(),(lim0yxfyyxxf 存在存在,則將這個(gè)極限值稱(chēng)為函數(shù)則將這個(gè)極限值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn),的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向lP記為記為,lf 即即 ),(),(lim0yxfyyxxflf 注注方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線(xiàn)方向的變化率方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線(xiàn)方向的變化率.方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 y l P x xyOP4xyzO2. 方向?qū)?shù)的幾何意義方向?qū)?shù)的幾何意義),(yxfz 設(shè)設(shè)的幾何意義為曲面的幾何意義為

3、曲面,當(dāng)限制當(dāng)限制自變量沿方向自變量沿方向l變化時(shí)變化時(shí),對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)),(zyx形成過(guò)形成過(guò)l的鉛垂平面與曲面的交線(xiàn)的鉛垂平面與曲面的交線(xiàn),這條交線(xiàn)在點(diǎn)這條交線(xiàn)在點(diǎn)M有一條有一條記此半切線(xiàn)與方向記此半切線(xiàn)與方向l的夾角為的夾角為, 則由方向?qū)?shù)的則由方向?qū)?shù)的.tan lf半切線(xiàn)半切線(xiàn),定義得定義得MlP 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度5 ),(),(lim0yxfyyxxflf 一定為正一定為正!xyxfyxxfxfx ),(),(lim0是函數(shù)在某點(diǎn)沿是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向任何方向的變化率的變化率.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yyxfyyxfyfy ),(),(lim0 分別是

4、函數(shù)在某點(diǎn)沿分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿平行于坐標(biāo)軸平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)的直線(xiàn)x、y可正可負(fù)！可正可負(fù)！的變化率的變化率.注注方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度6事實(shí)上事實(shí)上,xyxfyxxfifx ),(),(lim0 ),(yxfx 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在,事實(shí)上事實(shí)上,yyxfyyxfjfy ),(),(lim0 ),(yxfy ),(yxf當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)( , )( , )f x yP x yx函數(shù)在點(diǎn)沿 軸正向)0 , 1( 1e.xf且且值值為為同理同理,軸正向軸正向沿沿在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)yyxPyxf),(),(2e)1 , 0( 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在,.yf且且值值為為yxffyxP,

5、),(的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度存在時(shí)存在時(shí),7 if jfxyxfyxxfx ),(),(lim0yyxfyyxfy ),(),(lim0),(yxfx )1, 0( ).,(yxfy 軸負(fù)向軸負(fù)向沿沿在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xyxPyxf),(),()0 , 1( 軸負(fù)向軸負(fù)向沿沿在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)yyxPyxf),(),(方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度問(wèn):反之反之,ifif 或或當(dāng)當(dāng)存在時(shí)存在時(shí),xf 是否是否一定存在一定存在 jfjf或或 yf8方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度例如例如, 函數(shù)函數(shù)處處在點(diǎn)在點(diǎn))0, 0(22yxz 沿方向沿方向il 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ),

6、(),(lim0yxfyyxxflf iflf, 1lim0 xxx 但但 xf,|lim0 xxx 不存在不存在.即即z在在(0, 0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在.|00)(lim220|xxx xxx 00)(lim220 xyxfyxxfxfx ),(),(lim0 xzxx 0lim9證證 由于函數(shù)由于函數(shù)可微可微, ),(),(yxfyyxxf得到得到3. 關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式 充分條件充分條件定理定理.coscos yfxflf 處處在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)),(),(yxPyxfz ,導(dǎo)數(shù)都存在導(dǎo)數(shù)都存在的方向的方向在該點(diǎn)沿任意指定方向在該點(diǎn)沿任意指

7、定方向 l可微可微,則函數(shù)則函數(shù)且且.的的夾夾角角軸軸正正向向軸軸、與與分分別別為為方方向向、其其中中yxl 則增量可表示為則增量可表示為)( oyyfxxf 兩邊同除以?xún)蛇呁? 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度10 cos cos ),(),(yxfyyxxf故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .coscos yfxf lf ),(),(yxfyyxxf)( oyyfxxf )(oyyfxxf 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 y l P x xyOP11注注 coscosyfxflf ,cos,cos方向的方向余弦方向的方向余弦為為其中其中l(wèi) ,的的單單位位向向量量

8、l即為即為(1)(2)計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道l 的方向及函數(shù)的的方向及函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度在定點(diǎn)在定點(diǎn)),(000yxP的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為(3).coscos000 PPPyfxflf (4) 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微可微.0的方向角的方向角是是，、lp p 12例例 考慮函數(shù)考慮函數(shù) 定點(diǎn)定點(diǎn)P0(3,1), P1(2,3).求求函數(shù)在函數(shù)在 P0沿沿 方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù). 解解 54203 Pyx,23yxz 10PP 0Pxz,273022 Pyx 0Pyz5|10 PP,51cos 52cos

9、 0Plz5815254)51(27 coscos000PPPyfxflf ),2 , 1( 10PP方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度13解解 )1 , 1(lf由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1(xyyx (1) 最大值最大值;(2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有沿沿與與在在點(diǎn)點(diǎn)求求函函數(shù)數(shù))1 , 1(),(22yxyxyxf 例例.的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)的方向射線(xiàn)的方向射線(xiàn)軸方向夾角為軸方向夾角為與與lx sin)1 , 1(cos)1 , 1(yxff sinc

10、os )4sin(2p p 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 coscos000PPPyfxflf cos)1 , 1(cos)1 , 1(yxff 14故故 sincos )4sin(2p p )1 , 1(lf)1(方向?qū)?shù)達(dá)到最大值方向?qū)?shù)達(dá)到最大值;2)2(方向?qū)?shù)達(dá)到最小值方向?qū)?shù)達(dá)到最小值;2 43p p 當(dāng)當(dāng),47時(shí)時(shí)p p 方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于. 0,4時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)p p ,45時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)p p )3(和和(1) 最大值最大值; (2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度15方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)

11、與梯度求求函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P( 2, 3 )沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn)223yyxz 12 xy朝朝x增大方向的方向?qū)?shù)增大方向的方向?qū)?shù). .用參數(shù)方程表示為用參數(shù)方程表示為2)2,1( xx )3,2(Plz它在點(diǎn)它在點(diǎn)P 的的切向量為切向量為 )3,2(6Pxy)3, 2(2)23(Pyx )4,1( 174cos 1 解解xx 12 xy171 174 coscos000PPPyfxflf 2)3 , 2(P 3將已知曲線(xiàn)將已知曲線(xiàn)xyO,171cos 1760 16lf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu 它在空間一點(diǎn)它在空間一點(diǎn)

12、),(zyxPl沿著方向沿著方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), 可定義為可定義為 ),(),(lim0zyxfzzyyxxf )()()(222zyx 其其中中方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度,cos x,cos y,cos z ,的的方方向向角角為為設(shè)設(shè)方方向向l同理同理,當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微可微時(shí)時(shí),那末函數(shù)在該點(diǎn)那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在的方向?qū)?shù)都存在,且有且有 coscoscoszfyfxflf )cos,cos,(cos 其其中中是是l的方向向量的方向向量.17解解 令令632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF22 PPzzF

13、故故),(zyxFFFn ),2, 6, 4( ,142264222 n其方向余弦為其方向余弦為1991年研究生考題年研究生考題, 計(jì)算計(jì)算,5分分zyxu2286 求求函函數(shù)數(shù)例例.的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿方方向向在在nP方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度,142cos ,143cos .141cos )1 , 1 , 1(632222Pzyxn在點(diǎn)在點(diǎn)是曲面是曲面設(shè)設(shè) ,處指向外側(cè)的法向量處指向外側(cè)的法向量18,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)

14、coscoscos( .711 故故zyxu2286 函數(shù)函數(shù))1 , 1 , 1(P方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度19練習(xí)練習(xí)求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處沿沿222zyxxu 解解切線(xiàn)方向的方向向量切線(xiàn)方向的方向向量,91cos ,94cos ,98cos ,278 Mxu.24316 422,2,tztytx )2, 2 , 1( M)8, 4 , 1( ,272 Myu272 Mzu Mlu coscoscoszfyfxflf 在此在此點(diǎn)的切線(xiàn)方向上點(diǎn)的切線(xiàn)方向上方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度曲線(xiàn)曲線(xiàn)的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).201996年研究生考題年研究生考題, 填空填空,3分分指指向向點(diǎn)點(diǎn)沿

15、沿點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù))1 , 0 , 1()ln(22Azyxu ).()2 , 2, 3(方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為 B21解解 此此方向的方向向量為方向的方向向量為).1 , 2, 2( ,32cos ,32cos ,31cos ,21 Axu, 0 Ayu,21 Azu Alu.coscoscos zfyfxflf 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度.2121310)32(2132 21問(wèn)題問(wèn)題方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度二、梯度概念二、梯度概念與計(jì)算與計(jì)算已知方向?qū)?shù)公式已知方向?qū)?shù)公式 coscosyfxflf yfxfG,lf :G方向：方向：模：模： )1| (0 l),cos(|0l

16、GG 方向一致時(shí)方向一致時(shí), ,Gl與與當(dāng)當(dāng)0方向?qū)?shù)取最大值方向?qū)?shù)取最大值0lG |G maxf 變化率最大的方向變化率最大的方向f的最大變化率之值的最大變化率之值函數(shù)函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)為最大沿什么方向的方向?qū)?shù)為最大),(yxfz (gradient)一個(gè)二元函數(shù)在給定的點(diǎn)處沿不同方向一個(gè)二元函數(shù)在給定的點(diǎn)處沿不同方向的方向?qū)?shù)是不一樣的的方向?qū)?shù)是不一樣的.)cos,(cos0 l22方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度定義定義記作記作jyfixf 讀作讀作nable.).,(adrgyxf即即為函數(shù)為函數(shù)G稱(chēng)向量稱(chēng)向量 yfxfG,梯度梯度(gradient), ),(adrgyxf

17、yfxf,稱(chēng)為稱(chēng)為或或算子算子, ,或或向量微分算子向量微分算子. .f , jyix 引入算符引入算符哈米爾頓算子哈米爾頓算子, ,),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxP在在點(diǎn)點(diǎn)可偏導(dǎo)可偏導(dǎo),),(yxfz 處處的的在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP利用梯度的概念利用梯度的概念, ,可將方向?qū)?shù)計(jì)算公式寫(xiě)成可將方向?qū)?shù)計(jì)算公式寫(xiě)成 coscosyfxflf )cos,(cos),(grad yxf23方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式,0grad1. C0 CuCuC )()()()(vuvu ,gradgrad)(grad4.uvvuvu uufuf )()(,grad)

18、(grad2.uCuC ,gradgrad)(grad3.vuvu vuuvvu )(,grad)()(grad5.uufuf 24結(jié)論結(jié)論22| ),(grad| yfxfyxfxfyf tan,不為零時(shí)不為零時(shí)當(dāng)當(dāng)xf x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度梯度是這樣一個(gè)是這樣一個(gè)向量向量,方向方向與取得與取得最大方向?qū)?shù)最大方向?qū)?shù)的方向一致的方向一致,它的它的而它的模而它的模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的模為梯度的模為方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度25),(yxfz 在幾何上在幾何上曲面被平面曲面被平面cz ,),( czyxfz所得曲線(xiàn)

19、在所得曲線(xiàn)在xOy面上投影是一條平面曲線(xiàn)面上投影是一條平面曲線(xiàn)等值線(xiàn)等值線(xiàn)),(gradyxf梯度為等值線(xiàn)上的法向量梯度為等值線(xiàn)上的法向量表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面,所截得所截得方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度如圖如圖:, Lcyxf ),(xyO1),(cyxf 2),(cyxf L P26 法線(xiàn)的斜率法線(xiàn)的斜率為為: xydd1 yxff1,xyff yfxf,為等值線(xiàn)上點(diǎn)為等值線(xiàn)上點(diǎn)P處的處的法向量法向量.所以所以梯度梯度事實(shí)上事實(shí)上,由于等值線(xiàn)由于等值線(xiàn)cyxf ),(上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)處處的的),(yxP方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度cyxf ),(等值線(xiàn)等值線(xiàn)xyO1),(cyxf 2),(

20、cyxf L P),(gradyxf27.),(gradkzfjyfixfzyxf 類(lèi)似于二元函數(shù)類(lèi)似于二元函數(shù),此梯度也是一個(gè)向量此梯度也是一個(gè)向量,其其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 其模為其模為方向?qū)?shù)的最大值方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域G內(nèi)內(nèi)則對(duì)于每一點(diǎn)則對(duì)于每一點(diǎn),),(GzyxP 都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度28類(lèi)似地類(lèi)似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)

21、,),(的的等等量量面面zyxfu 此函數(shù)在點(diǎn)此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線(xiàn)的一個(gè)方向相同在這點(diǎn)的法線(xiàn)的一個(gè)方向相同,的等量面指向數(shù)值較高的等量面的等量面指向數(shù)值較高的等量面,等于函數(shù)在這個(gè)法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在這個(gè)法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù).且從數(shù)值較低且從數(shù)值較低而梯度的模而梯度的模方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度29解解),(gradzyxuz6故故)12, 2 , 5()2 , 1 , 1(grad u. 0例例)2 , 1 , 1(2332222在在點(diǎn)點(diǎn)求求函函數(shù)數(shù)yxzyxu 并問(wèn)在哪些點(diǎn)處梯度為零并問(wèn)在哪些點(diǎn)

22、處梯度為零? zfyfxfzyxf,),(grad)( , 32 x, 24 y處處梯梯度度為為在在 0 ,21,230P=0=0=0方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度處的梯度處的梯度,30方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度設(shè)設(shè) 可導(dǎo)可導(dǎo), ,其中其中)(rf222zyxr ),(zyxP處向徑處向徑.)()(radg0rrfrf xrf )()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf)( rzrfzrf)()( 0)(rrf jyrf )(kzrf )(的模的模, ,r)(rf rP,)(ryrf ixrf )(試證試證證證例例為點(diǎn)為點(diǎn)222zyxx rxxr xyzO

23、31方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度例例 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) (1) 求出求出.),(yxeyxfz 沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率, 2 ,21)0 , 2(QPPf到到處處沿沿從從在在點(diǎn)點(diǎn)方向的變化率方向的變化率. (2) )0 , 2(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)最大增長(zhǎng)率為多少最大增長(zhǎng)率為多少?解解 (1) ).2,23( ,53cos ,54cos PQ方向的方向向量為方向的方向向量為 Pfgrad )0,2(lf. 154,53)2 , 1( ).2 , 1(),( Pyyxee)cos,(cos)0 , 2(grad f32方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率沿什么

24、方向具有最大的增長(zhǎng)率,(2) )0 , 2(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)最大增長(zhǎng)率為多少最大增長(zhǎng)率為多少?解解 ),(yxf處處沿沿在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 2(P)2 , 1()0 , 2(grad f方向具有最大的增長(zhǎng)率方向具有最大的增長(zhǎng)率,最大的增長(zhǎng)率為最大的增長(zhǎng)率為:. 5| )0 , 2(grad| f即為即為梯度方向梯度方向. PlfmaxPf |grad|331992年研究生考題年研究生考題, 填空填空,3分分處處在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù))2, 2 , 1()ln(222 Mzyxu).(dgra Mu的的梯梯度度)2, 2 , 1(92 解解MMzuyuxuu ,dgraMzyxzzyxyzyxx 22222

25、22222,2,2).2, 2 , 1(92 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度34方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度函數(shù)函數(shù)數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng) ( (數(shù)性函數(shù)數(shù)性函數(shù)) )場(chǎng)場(chǎng)向量場(chǎng)向量場(chǎng)( (矢性函數(shù)矢性函數(shù)) )可微函數(shù)可微函數(shù)梯度場(chǎng)梯度場(chǎng)( (勢(shì)勢(shì)) )( ( 勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng) ) )如如: : 溫度場(chǎng)溫度場(chǎng), ,電位場(chǎng)電位場(chǎng), ,密度場(chǎng)密度場(chǎng)等等如如: : 力場(chǎng)力場(chǎng), ,速度場(chǎng)等速度場(chǎng)等三、數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的概念三、數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的概念)(Pu( (物理量的分布物理量的分布) )(gradPu35例例,),(222222czbyaxzyxu 已已知知數(shù)數(shù)量量場(chǎng)場(chǎng).),(的梯度方向的方向?qū)?shù)的梯度方向的方向?qū)?shù)求沿求沿zyxu解解 zfyfxfu,grad 2222,2,2czbyax其方向余弦為其方向余弦為4242422cosczbyaxax 4242422cosczbyaxby 4242422cosczbyaxcz 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與