初中幾何中線段和與差最值問題

1、初中幾何中線段和（差）的最值問題一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析：一）、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側(cè)： （2）點A、B在直線同側(cè)： 2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)： （2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二）、一個動點，一個定點：（

2、一）動點在直線上運動：點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）1、兩點在直線兩側(cè)： 2、兩點在直線同側(cè)：（二）動點在圓上運動點B在O上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）1、點與圓在直線兩側(cè)：2、點與圓在直線同側(cè)：三）、已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側(cè)：作法：過A點作ACm,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）

3、點A、B在直線m同側(cè)：基礎(chǔ)題 1如圖1，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值為             2、如圖2，在銳角三角形ABC中，AB=4,BAC=45°，BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為           

4、  3、如圖3，在銳角三角形ABC中 ，AB=，BAC=45，BAC的平分線交BC于D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 。4、如圖4所示，等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,EM+CM的最小值為       .5、如圖5，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，點P是AB上一個動點，當PCPD的和最小時，PB的長為_6、如圖6，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60

5、76;，P是上底，下底中點EF直線上的一點，則PA+PB的最小值為              7、如圖7菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為            8、如圖8，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是

6、邊AB、BC的中點，則PM+PN的最小值是            9、如圖9，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_cm10、如圖10所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為         11、

7、如圖11，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PAPB的最小值為(    )(A)2    (B)     (C)1    (D)2壓軸題1、如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標為1，在x軸上求

8、一點P，使PA+PB最小.2、如圖，一元二次方程的二根，（）是拋物線與x軸的兩個交點B，C的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)此拋物線的頂點為P，對稱軸與AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；（3）在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標 3、如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，） ，AOB的面積是.（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使AOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的 坐標；若不存在，請說明理由.4如圖，拋物線yx2x3和y軸的交點為A，M為OA的中

9、點，若有一動點P，自M點處出發(fā)，沿直線運動到x軸上的某點（設(shè)為點E），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設(shè)為點F），最后又沿直線運動到點A，求使點P運動的總路程最短的點E，點F的坐標，并求出這個最短路程的長5如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BDBC，交OA于點D將DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）當BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方

10、），且PQ1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點的坐標6如圖，已知平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為A(2，3），B(4，1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x軸上的兩個動點，則當a 為何值時，四邊形ABDC的周長最短7、如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.（1）若E為邊OA上的一個動點，當CDE的周長最小時，求點E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.二、求兩線段差的最大值問題 (運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析

11、：1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側(cè)：解析：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，PAPBAB，而PAPB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側(cè)：解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點B,連接AB交點直線m于P,此時PB=PB，PA-PB最大值為AB練習題1. 如圖，拋物線yx 2x2的頂點為A，與y 軸交于點B(1)求點A、點B的坐標；(2)若點P是x軸上任意一點，求證：PAPBAB；(3)當PAPB最大時，求點P的坐標.yxCBADOEy2. 如圖，已知直線yx1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線yx 2bxc

12、與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標3、在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（4，1）和（2，5）；點P是y軸上的一個動點：點P在何處時，PAPB的和為最??？并求最小值.點P在何處時，PAPB最大？并求最大值.4. 如圖，直線yx2與x軸交于點C，與y軸交于點B，點A為y軸正半軸上的一點，A經(jīng)過點B和點O，直線BC交A于點D（1）求點D的坐標；（2）過O，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P

13、的坐標若不存在，請說明理由5、拋物線的解析式為，交x軸與A與B,交y軸于C.在其對稱軸上是否存在一點P，使APC周長最小，若存在，求其坐標；xCyxBA在其對稱軸上是否存在一點Q，使QBQC的值最大，若存在求其坐標.6、已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到DAO（1）試直接寫出點D的坐標；（2）已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQx軸于點Q，連接OP若以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與DAO相似，試求出點P的坐標；試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|

14、TO-TB|的值最大？7、如圖，已知拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+8，圖象與y軸交于D點，并且頂點A在雙曲線上（1）求過頂點A的雙曲線解析式；（2）若開口向上的拋物線C2與C1的形狀、大小完全相同，并且C2的頂點P始終在C1上，證明：拋物線C2一定經(jīng)過A點；（3）設(shè)（2）中的拋物線C2的對稱軸PF與x軸交于F點，且與雙曲線交于E點，當D、O、E、F四點組成的四邊形的面積為16.5時，先求出P點坐標，并在直線y=x上求一點M，使|MD-MP|的值最大8、如圖,已知拋物線 經(jīng)過A(3，0)，B(0，4) .（1）求此拋物線解析式；（2）若拋物線與x軸的另一交點為C，求點C關(guān)于直線AB的對稱

15、點C的坐標；（3） 若點D是第二象限內(nèi)點，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點E、F、H，問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點P，使得|PHPA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由。ABCOxyABCOxyDEFH三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點，根據(jù)兩點之間線段最短以及點到線的距離垂

16、線段最短的基本依據(jù)解決。1、如圖12，在ABC中，C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（ ）A BC。 D 62、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問題:（1）如圖13，當點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3，且ACB=60°，則CD= ；（2）如圖14，當點D與點C位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6，且ACB=90°，則CD= ；（3）如圖15，當ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求 CD的最大值及相

17、應(yīng)的ACB的度數(shù). 3、在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 點D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點.（1）若過點D作DEAB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1 設(shè)，則k = ；（2）若將圖1中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；（1） 若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值EA DB CNM4、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最小；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.5、如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸交于點B和點A（-1，0），與y軸交于點C，與一次函數(shù)y=x+a交于點A和點D（1）求出a、b、c的值；（2）若直線AD上方的拋物線存在點E，可使得EAD面積最大，求點E的坐標；（3）點F為線段AD上的一個動點，點F到（2）中