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文檔簡介
1、中考數(shù)學(xué)常用公式及性質(zhì)1 乘法與因式分解(ab)(ab)a2b2;(a±b)2a2±2abb2;(ab)(a2abb2)a3b3;(ab)(a2abb2)a3b3;a2b2(ab)22ab;(ab)2(ab)24ab。2 冪的運(yùn)算性質(zhì)am×anam+n;am÷anam-n;(am)namn;(ab)nanbn;()n;a-n,特別:()-n()n;a01(a0)。3 二次根式()2a(a0);丨a丨;×;(a0,b0)。 4.一元二次方程對(duì)于方程:ax2bxc0:求根公式是x,其中b24ac叫做根的判別式。當(dāng)0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0
2、時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根注意:當(dāng)0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根。若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2,則二次三項(xiàng)式ax2bxc可分解為a(xx1)(xx2)。以a和b為根的一元二次方程是x2(ab)xab0。韋達(dá)定理:x1+ x2= x1 x2=5.一次函數(shù)一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo),稱為截距)。當(dāng)k0時(shí),y隨x的增大而增大(直線從左向右上升);當(dāng)k0時(shí),y隨x的增大而減小(直線從左向右下降);特別地:當(dāng)b0時(shí),ykx(k0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例),圖象必過原點(diǎn)。6.反比例函數(shù)反比例函數(shù)y(k0)的圖象叫做雙曲線。當(dāng)k0時(shí),雙曲線在
3、一、三象限(在每一象限內(nèi),從左向右降);當(dāng)k0時(shí),雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi),從左向右上升)。7.二次函數(shù)(1).定義:一般地,如果是常數(shù),那么叫做的二次函數(shù)。(2).拋物線的三要素:開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。 的符號(hào)決定拋物線的開口方向:當(dāng)時(shí),開口向上;當(dāng)時(shí),開口向下;相等,拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于軸(或重合)的直線記作.特別地,軸記作直線。(3).幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()(4).求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 公式法:,頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線。 配方法:運(yùn)用配方的
4、方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點(diǎn)為(,),對(duì)稱軸是直線。 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋物線上兩點(diǎn)(及y值相同),則對(duì)稱軸方程可以表示為:(5).拋物線中,的作用 決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣。 和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線。,故:時(shí),對(duì)稱軸為軸;(即、同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸左側(cè);(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸右側(cè)。 的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。 當(dāng)時(shí),拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,): ,拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸;,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成
5、立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè),則 。(6).用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式:.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值,通常選擇一般式. 頂點(diǎn)式:.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式。 交點(diǎn)式:已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式:。(7).直線與拋物線的交點(diǎn) 軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, )。 拋物線與軸的交點(diǎn)。 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定: a有兩個(gè)交點(diǎn)()拋物線與軸相交; b有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)()拋物線與軸相切; c沒有交點(diǎn)()拋物線與軸相離。 平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同一
6、樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn),由方程組 的解的數(shù)目來確定:a方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);b方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn);c方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn)。 拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線與軸兩交點(diǎn)為,則 8.統(tǒng)計(jì)初步(1)概念:所要考察的對(duì)象的全體叫做總體,其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本,樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè)),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個(gè)數(shù)(
7、或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(2)公式:設(shè)有n個(gè)數(shù)x1,x2,xn,那么:平均數(shù)為:;極差:用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍,用這種方法得到的差稱為極差,即:極差=最大值-最小值;方差:數(shù)據(jù)、, 的方差為,則=標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根。數(shù)據(jù)、, 的標(biāo)準(zhǔn)差,則=一組數(shù)據(jù)的方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定。9.頻率與概率(1)頻率頻率=,各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù),各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各個(gè)小長方形的面積為各組頻率。(2)概率如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率,則0P(A)1;P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0;在具體情境中了解概率的
8、意義,運(yùn)用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率。大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值;10.銳角三角形設(shè)A是ABC的任一銳角,則A的正弦:sinA,A的余弦:cosA,A的正切:tanA并且sin2Acos2A1。0sinA1,0cosA1,tanA0A越大,A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小。余角公式:sin(90ºA)cosA,cos(90ºA)sinA。特殊角的三角函數(shù)值:sin30ºcos60º,sin45ºcos45º,sin60ºcos30º, tan30º,tan4
9、5º1,tan60º。hl斜坡的坡度:i設(shè)坡角為,則itan。11.平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)(1)對(duì)稱性:若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b),則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1(a,b),P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2(a,b),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3(a,b)。(2)坐標(biāo)平移:若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(ah,b),向右平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(ah,b);向上平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(a,bh),向下平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(a,bh).如:點(diǎn)A(2,1)向上平移2個(gè)單位,再向右平移5個(gè)單位,則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,1)。12.多邊形內(nèi)角和公式多邊形內(nèi)角和公式
10、:n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180º(n3,n是正整數(shù)),外角和等于360º13.平行線段成比例定理(1)平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖:abc,直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)A、B、C和D、E、F,則有。(2)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖:ABC中,DEBC,DE與AB、AC相交與點(diǎn)D、E,則有:14.直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理:如圖:RtABC中,ACB90o,CDAB于D,則有:(1)(2)(3)15.圓的有關(guān)性質(zhì)(1)垂徑定理:如果一條直線
11、具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì):經(jīng)過圓心;垂直弦;平分弦;平分弦所對(duì)的劣弧;平分弦所對(duì)的優(yōu)弧,那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)注:具備,時(shí),弦不能是直徑。(2)兩條平行弦所夾的弧相等。(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。(4)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。(5)圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。(6)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。(7)在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等。(8)90º的圓周角所對(duì)的弦是直徑,反之,直徑所對(duì)的圓周角是90º,直徑是最長的弦。、(9)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。16.三角形的內(nèi)心、外心、重心(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的
12、內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn)常見結(jié)論:RtABC的三條邊分別為:a、b、c(c為斜邊),則它的內(nèi)切圓的半徑;ABC的周長為,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則(3)三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心分中線成2:1.17.弦切角定理及其推論(1)弦切角:頂點(diǎn)在圓上,并且一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖:PAC為弦切角。OPBCA(2)弦切角定理:弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果AC是O的弦,PA是O的切線,A為切點(diǎn),則推論:弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角(作用證明角相等)如果AC
13、是O的弦,PA是O的切線,A為切點(diǎn),則18.面積公式10第 10 頁 共 10 頁S正×(邊長)2 S平行四邊形底×高S菱形底×高×(對(duì)角線的積),S圓R2 l圓周長2R弧長L S圓柱側(cè)底面周長×高2rh,S全面積S側(cè)S底2rh2r2S圓錐側(cè)×底面周長×母線rb, S全面積S側(cè)S底rbr2幾何定理1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線
14、段中,垂線段最短 7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行 9 同位角相等,兩直線平行 10 內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行 11 同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行 12兩直線平行,同位角相等 13 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等 14 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ) 15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊 17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180° 18 推論1 直角三
15、角形的兩個(gè)銳角互余 19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 20 推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 21 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等 22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三
16、角形全等 27 定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 28 定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合 30 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對(duì)等角) 31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論3 等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)
17、角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊) 35 推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 42 定理1 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖
18、形是全等形 43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 44定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上 45逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱 46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方,即a2+b2=c2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形 48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360° 49四邊形的外角和等于
19、360° 50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180° 51推論 任意多邊的外角和等于360° 52平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對(duì)角相等 53平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對(duì)邊相等 54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 55平行四邊形性質(zhì)定理3 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 56平行四邊形判定定理1 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 57平行四邊形判定定理2 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58平行四邊形判定定理3 對(duì)角線互相
20、平分的四邊形是平行四邊形 59平行四邊形判定定理4 一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角 61矩形性質(zhì)定理2 矩形的對(duì)角線相等 62矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 63矩形判定定理2 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 64菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等 65菱形性質(zhì)定理2 菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 66菱形面積=對(duì)角線乘積的一半,即S=(a×b)÷2 67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
21、;68菱形判定定理2 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 69正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等 70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 71定理1 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的 72定理2 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心,并且被對(duì)稱中心平分 73逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn),并且被這一 點(diǎn)平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱 74等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等 75等腰梯形的兩條對(duì)角線相等
22、;76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 77對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形 78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段 相等,那么在其他直線上截得的線段也相等 79 推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線,必平分另一腰 80 推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線,必平分第 三邊 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它 的一半 82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的 一半 L=(a+b)÷2
23、 ; S=L×h 83 (1)比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性質(zhì) 如果ab=cd,那么(a±b)b=(c±d)d 85 (3)等比性質(zhì) 如果ab=cd=mn(b+d+n0),那么 (a+c+m)(b+d+n)=ab 86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng) 線段成比例 87 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 88 定理 如果一條直線截
24、三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊 89 平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例 90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS) 94 判定定理3 三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS)
25、160;95 定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三 角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似 96 性質(zhì)定理1 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平 分線的比都等于相似比 97 性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比 98 性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方 99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意銳角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等 于它的余角的正切值 101圓是定
26、點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合 102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合 103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合 104同圓或等圓的半徑相等 105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為圓心,定長為半 徑的圓 106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是著條線段的垂直 平分線 107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這個(gè)角的平分線 108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡,是和這兩條平行線平行且距 離相等的一條直線 109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧 111推論1 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧 112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形 114定理 在同圓或
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