12年2月張守惠24平面向量數(shù)量積導學案(3課時)

1、課題 24.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導學案（1）學習目標：1、利用物理中功的概念了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解向量的數(shù)量積概念及幾何 意義；能夠運用這一概念求兩個向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求向量的夾角；2、掌握由定義得到的數(shù)量積的5條重要性質(zhì)，并能運用性質(zhì)進行相關(guān)的判斷和運算；3、了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識. 學習過程 一、課前準備復(fù)習：1、向量加法和減法運算的兩個法則是 和 . 2、向量數(shù)乘運算的定義是 .思考：通過前面的學習我們知道向量的運算有向量的加法、減法、數(shù)乘，那么向量與向量 能否“相乘”呢？二、新課導學探究1：

2、如下圖，如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功= ，其中是 .思考:這個公式的有什么特點？請完成下列填空：F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量；結(jié)論：功是一個標量，功是力與位移兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積啟示：能否把“功”看成是力與位移這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？新知1：向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）的定義 已知兩個非零向量和，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.其中是和的夾角（）說明：記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 兩個非零向量夾角的概念：非零向量與，作， 則（）叫與的夾角（兩向量必須是同起點的） 特別地：當

3、時，與同向；當時，與反向； 當時，與垂直，記； “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零，即。探究2：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小因素有哪些？期望學生回答：線性運算的結(jié)果是向量；數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。這個數(shù)的符號由cosq的符號所決定學生討論，完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號新知2：向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）幾何意義（1）向量投影的概念：如圖，我們把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. 說明：如圖，. 向量投

4、影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當當q = 0°時投影為 |；當q°時投影為0；當q = 180°時投影為 -|作圖： （2）向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影cos 的乘積。新知3：由定義得到的數(shù)量積的結(jié)論 設(shè)和都是非零向量，是與的夾角，則當與垂直時，即 ；當與同向時，= ； 當與反向時，= ；當，即= ，或 ；cosq =因為，所以 .三、典型例題例1 已知，和的夾角為，求？變式1：若，求.變式2：若，求.變式3：已知，=-10，求與的夾角.變式4：已知，=-10，求向量在向量的方向上的

5、投影.例2. 判斷下列命題的真假，并說明理由.在中，若，則是銳角三角形；為直角三角形，則.特別注意：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的，范圍是四、總結(jié)提升1. 向量數(shù)量積的定義及幾何意義；2. 由定義推出的數(shù)量積的相應(yīng)結(jié)論. 3在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的，范圍是學習自我評價 ：你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差五 當堂檢測：1.在平行四邊形中，則為（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 設(shè)，則與的夾角為（ ） A. B. C. D. 3. 已知，當時，為（ ） A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等

6、腰三角形 4. 已知平面內(nèi)三個點，則向量與的夾角為（ ） A. B. C. D.5. 已知，且，則向量在向量的方向上的投影為 .6. 已知，在方向上的投影為，則= ； 7. 已知向量滿足，則 .六、課后作業(yè) 1. 已知，與的夾角為， 求：；.2、已知，=，求與的夾角.3、已知為單位向量，當之間夾角分別為時，畫圖表示在方向上的投影，并求其值. 4.若四邊形滿足，且，則四邊形是（ ）. A.平行四邊形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 5、在中，若，則是 三角形；若，則是 三角形；若，則是 三角形6、在中，求課題 24.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導學案（2）學習目標：1、掌握向量數(shù)量積的

7、運算律,并能熟練運用向量數(shù)量積的運算律進行相關(guān)的判斷和運算； 2、體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。學習過程 :一、課前準備復(fù)習：1、設(shè)兩向量的夾角為，則 ；且當 時，； 當 時，.2、已知兩個非零向量和，把數(shù)量 叫做向量與的數(shù)量積， 記 作 ,即 ; 3、向量在方向上的投影是 ；的幾何意義為：數(shù)量積等于的長度 與在方向上的投影 的乘積. 4、設(shè)和都是非零向量， 是與的夾角，則 當與垂直時，即 ； 當與同向時，= ； 當與反向時，= ； 當，即= ，或 ； cosq = 因為，所以 .二、新課導學探究1：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？學習了向量數(shù)量積后，這些運

8、算律對向量是否也適用？（學生猜想并給出解釋說明，錯誤的說明理由）探究2：你能推導向量數(shù)量積運算律嗎？ （師生共同完成）新知1：已知向量和實數(shù)，則證明：交換律 設(shè)a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a（2）數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|

9、a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.三、典型例題例1、 我們知道，對任意，恒有， 對任意向量，是否也有下面類似的結(jié)論？； .例2、 已知，與的夾角為，求：；.例3、 已知，且與不共線，為何值時，向量與互相垂直？課堂練習 判斷正誤，并簡要說明理由·；0·；·；若，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為；對任意向量，都有（·）（·）；與

10、是兩個單位向量，則；若×= ×則 = 解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有·；對于：應(yīng)有·；對于：由數(shù)量積定義有···cos， 這里是與的夾角，只有或時，才有··；對于：若非零向量、垂直，有·；對于：由·可知可以都非零；對于：若與共線，記則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）這是因為左端是與共線的向量，而右端是

11、與共線的向量，而一般與不共線對于：已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c但是× = × = 如右圖：× = |cosb = |OA|，×= |cosa = |OA|Þ × = × 但 ¹ 評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律四、總結(jié)提升1、向量數(shù)量積的運算律及其應(yīng)用：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：即一般的（·）（·）； （2）消去律不成立：即一般的 × = × = （3）

12、·，則與中至少有一個為是錯誤結(jié)論2、課本中的結(jié)論： 可直接應(yīng)用.學習自我評價：你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差五、當堂檢測：1. 若為任意向量，則下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D.2. 已知與的夾角為，且，則為（ ） A. B. C. D.3. 已知，且與垂直，則與的夾角為（ ） A. B. C. D.4. ，且與的夾角為，則= . 5. 已知，則= ， = .六、課后作業(yè) 1、已知，且與的夾角，求：；（5）2、已知，=-3，求，；3、已知，求與的夾角及值4. 設(shè)是兩個單位向量，其夾角為，求向量與的夾角.5已知，求.6

13、. 已知,是非零向量，且滿足，求與的夾角 課題 24.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角導學案學習目標 1. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示方法及其變式（夾角公式）；2、熟練掌握向量垂直的兩種形式的等價條件；3. 理解模長公式與解析幾何中兩點之間距離公式的一致性.學習過程 一、課前準備復(fù)習：1、設(shè)兩向量的夾角為，則 ；且當 時，； 當 時，.2、已知兩個非零向量和，把數(shù)量 叫做向量與的數(shù)量積， 記 作 ,即 ; 3、向量在方向上的投影是 ；的幾何意義為：數(shù)量積等于的長度 與在方向上的投影 的乘積. 4、設(shè)和都是非零向量， 是與的夾角，則 當與垂直時，即 ； 當與同向時，= ； 當與反向時，=

14、； 當，即= ，或 ； cosq = 因為，所以 .5、向量數(shù)量積的運算率：向量數(shù)量積的交換律：.向量的數(shù)量積的分配律： . .二、新課導學探究1：平面向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，怎樣用與的坐標表示呢？思考1：設(shè)、是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若兩個非零向量(), ()，則向量與用、分別如何表示？思考2：對于上述向量、，則 2 = ， 2 = ， · = 根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)， = 新知1：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和，即.探究1：由平面向量數(shù)量積的坐標表示可以得到哪些結(jié)論呢？思考1：設(shè)向量()，利用數(shù)量積的坐標表示，= 思考2：如果表示向量的有向線段

15、的起點和終點的坐標分別為(), ()，那么向量的坐標如何表示？= 思考3：設(shè)向量(), ()，若，則，之間的關(guān)系如何？ 反之成立嗎？ 思考4：設(shè)、是兩個非零向量，其夾角為，若(), ()，那么cos如何用坐標表示？ 新知2：若，則，或.若，則，則.若，則.兩個非零向量是與的夾角， 則三、典型例題例1、（1）已知，求，及之間夾角余弦值. （2）已知，求，例2、已知，試判斷的形狀，并給出證明。 變式：在ABC中，=(1, 1)，=(2, k)，且ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值。小結(jié)：向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段或直線是否垂直的重要方法之一.例3、 已知，若，試求的值.四、總結(jié)提升1用坐標表示向量的數(shù)量積，模，夾角等. （1）若，則（2）若，則，或.（3）若，則，則. 兩個非零向量是與的夾角， 則2兩向量垂直的兩種表示：若，則0學習自我評價： 你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差五、當堂檢測1. 已知，則等于（ ） A. B. C. D.2. 若，則與夾角的余弦為（ ） A. B. C. D.3. 若，則等于（ ） A. B. C. D.4. ，則= .5. 已知向量，若，則