高中函數(shù)性質(zhì)總結(jié)

1、函數(shù)的基本性質(zhì)一、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢，高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式，求最值。定義：（略）定理1：那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).定理2：（導數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間） 若，那么上是增函數(shù)； 上是減函數(shù).1.函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法) (2)作商法 (3)導數(shù)法2.復合函數(shù)的單調(diào)性的判定對于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，當時，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性。3.由單調(diào)函數(shù)的四則運算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對于兩個單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當和具有相同的增減性時，的增減性與相同，、的增減性

2、不能確定；(2)當和具有相異的增減性時，我們假設為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：的增減性不能確定；、為增函數(shù)，為減函數(shù)。4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。二、函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì), 對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中,而且利用對稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決,對稱關(guān)系同時還充分體現(xiàn)數(shù)學之美。1.函數(shù)的圖象的對稱性（自身）:定理1: 函數(shù)的圖象關(guān)于直對稱特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱（奇函數(shù)）。函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對稱。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱特殊的有： 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。

3、 函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）。 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點 對稱。定理3：（性質(zhì)）若函數(shù)y=f (x)的圖像有兩條鉛直對稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個周期。若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個周期。若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對稱。2.兩個函數(shù)圖象的對稱性:函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(

4、即軸)對稱.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的解析式為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的解析式為函數(shù)y = f (x)與ax = f (ay)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x)與xa = f (y + a)的圖像關(guān)于直線xy = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。3奇偶函數(shù)性質(zhì)對于兩個具有奇偶性的函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：（1）滿足定義式子（偶）（奇）（2）在原點有定義的奇函數(shù)有(3)當和具有相同的奇偶性時，假設為奇函數(shù)，那么：函數(shù)、也為奇函數(shù)；、為偶函

5、數(shù)；兩個偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)簡單地說：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)， 偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)， 偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù). (4)當和具有相異的奇偶性時，那么：、的奇偶性不能確定；、為奇函數(shù)。（6）任意函數(shù)均可表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。（7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)（8）圖形的對稱性 關(guān)于軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）關(guān)于原點對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）（9）若是偶函數(shù)，則必有 若是奇函數(shù)，則必有（10）若為偶函數(shù)，則必有 若是奇函數(shù)，則必有（11）常見的奇偶函數(shù)三

6、、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負值化正，求值。1.周期性的定義對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù)是函數(shù)的周期，那么、（）也是函數(shù)的周期。2. 函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論2：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對稱軸、對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱

7、，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點、（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點（）成中心對稱，且關(guān)于直線（）成軸對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個周期例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二

8、屆希望杯高二 第二試題）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。故選(A)例6.求證:若為奇函數(shù)，則方程=0若有根一定為奇數(shù)個。證: 為奇函數(shù) -=2=0即=0是方程=0的根若是=0的根，即=0由奇數(shù)定義得=0也是方程的根即方程的根除=0外成對出現(xiàn)。方程根為奇數(shù)個。例2：設定義域為R的函

9、數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x1)和g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，y = g-1(x2) 反函數(shù)是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,應選（C）例3.設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x

10、)= f(1x),當1x0時，f (x) = x，則f (8.6 ) = _ （第八屆希望杯高二 第一試題）解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x = 0是y = f(x)對稱軸；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4. 設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x),當0x1時，f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定

11、義在R上的奇函數(shù)，點（0，0）是其對稱中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故選(B)一、 反函數(shù)的性質(zhì)和應用（1）定義域值域相反 （2）圖象關(guān)于對稱 （3）具有相同的單調(diào)性、奇偶性（4）單調(diào)函數(shù)一定具有反函數(shù)，具有反函數(shù)的函數(shù)不一定單調(diào)，偶函數(shù)和周期函數(shù)一定不具有反函數(shù) （5）原函數(shù)過則反函數(shù)過反之亦然（6），但僅當才成立（二）奇偶函數(shù)性質(zhì)（1）滿足定

12、義式子（2）在原點有定義的奇函數(shù)有（3）兩個偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)；（4）兩個奇函數(shù)之和、差為奇函數(shù)；積（商）為偶函數(shù)；（5）一個奇函數(shù)和偶函數(shù)之積、商為奇函數(shù)（6）任意函數(shù)均可表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)（8）圖形的對稱性（三） 周期性：定義、判斷常見具有周期性的函數(shù) 或（四） 對稱性：判斷、性質(zhì)（1）一個函數(shù)的對稱性：1、函數(shù)關(guān)于對稱或 或 顯然： 特殊的有偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，則有關(guān)系式 ；一般的有，函數(shù)關(guān)于直線 對稱2、函數(shù)關(guān)于點對稱或顯然特殊的有奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式一般的有，函數(shù)

13、關(guān)于點 對稱3、函數(shù)自身不可能關(guān)于對稱，曲線則可能（2）兩個函數(shù)的對稱性：1、 與關(guān)于X軸對稱。2、 與關(guān)于Y軸對稱。3、 與關(guān)于直線對稱。4、 與關(guān)于直線對稱。5、 關(guān)于點(a,b)對稱。6、與關(guān)于直線對稱。7、關(guān)于直線對稱（四）三性的綜合應用（08湖北卷6）已知在R上是奇函數(shù)，且A A.-2 B.2 C.-98 D.98（08四川卷）函數(shù)滿足，若，則( C )（） （） （） （）（2010安徽理數(shù)）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2則的值為（ ）A、 B、1 C、 D、2（09江西卷）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當時，則的值為 ( C )A B

14、C D (09東興十月)定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且滿足，則_2009廣東三校一模）定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)又是以為周期的周期函數(shù),則等于( B )A.-1 B.0 C.1 D.4 （2009全國卷理）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c

15、（*）又函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*），用2（ab）x代x得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個周期。例2.是定義在R上滿足的函數(shù)且滿足若時則時,解：如圖函數(shù)在-6-3O361YX知識點及方法對稱性、函數(shù)的奇偶性；二次函數(shù)的對稱性；對稱性與函數(shù)的解析式；化歸思想二次函數(shù)的對稱性1 已知是二次函數(shù)，圖象開口向上, 比較大小。若二次函數(shù)的圖象開口向下，且f(x)=

16、f(4-x),2 比較的大小。3 二次函數(shù)滿足,求的頂點的坐標。4 已知,且.（1）寫出的關(guān)系式 （2）指出的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的對稱性求解析式1 已知是偶函數(shù)，當時，,求的解析式.2 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱, 求的解析式。3 設函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若當x£1時，y=x21，求當x>1時, ,f(x)的解析式. 4 設 , 求 關(guān)于直線對稱的曲線的解析式. 5 已知函數(shù)是偶函數(shù)，且x(0,+)時有f(x)=, 求當x(,2)時, 求 的解析式. 6 已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，又的圖象關(guān)于直線對稱，求在的解析式.7 已知函數(shù)）是奇函數(shù)，則下列

17、坐標表示的點一定在函數(shù)圖象上A B C D8 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，那么不等式的解集是（ ）9 設定義域為R的函數(shù)滿足以下條件； 對任意； 對任意，當時，有則以下不等式不一定成立的是（ ） AB5、 已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則的值為（ ） A B C0 D17、已知函數(shù)，給出下列命題， 不可能為偶函數(shù)； 當時，的圖象必關(guān)于直線對稱； 若0，則在區(qū)間上是增函數(shù)； 有最小值，其中正確命題的序號是_（將你認為正確的命題的序號都填上）9已知函數(shù)f(x)=x+x3+x5，xl，x2，x3R，且xI+x20，x1+x3<0，x2+x3<0，則f(x1)+f(x2)+f

18、(x3)的值(B ) A大于0 B小于0 C等于0 D不確定10函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上一定（ D）A有最小值 B有最大值 C是減函數(shù) D是增函數(shù)12函數(shù)，若f（0）=3，且f（2x）=f（x），則有（B）A. B.C. D.與的大小不確定14函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，那么實數(shù)a的取值范圍是（ A）ABCD 熱點1 （圖象與性質(zhì)）函數(shù)的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域為-1，0）（0，1，則不等式-1的解集是A B. C. D.函數(shù)的定義域為D：且滿足對于任意，有（）求的值；（）判斷的奇偶性并證明；（）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的“滯點”.已知