2012高考數(shù)學(xué) 百大經(jīng)典例題——空間直線

1、典型例題一空間直線例1 若，則，的位置關(guān)系是（ ）A異面直線 B相交直線C平行直線 D相交直線或異面直線分析：判斷兩條直線的位置關(guān)系，可以通過觀察滿足已知條件的模型或圖形而得出正確結(jié)論解：如圖所示，在正方體中，設(shè)，則若設(shè)，則與相交若設(shè)，則與異面故選D說明：利用具體模型或圖形解決問題的方法既直觀又易于理解一般以正方體、四面體等為具體模型例如，相交，相交，則，的位置關(guān)系是相交、平行或異面類似地；，異面，異面，則，的位置關(guān)系是平行、相交或異面這些都可以用正方體模型來判斷典型例題二例2 已知直線和點，求證：過點有且只有一條直線和平行分析：“有且只有”的含義表明既有又惟一，因而這里要證明的有兩個方面，即

2、存在性和惟一性存在性，即證明滿足條件的對象是存在的，它常用構(gòu)造法（即找到滿足條件的對象來證明）；惟一性，即證明滿足條件的對象只有一個，換句話說，說是不存在第二個滿足條件的對象因此，這是否定性命題，常用反證法證明：（1）存在性 ， 和可確定一個平面，由平面幾何知識知，在內(nèi)存在著過點和平行的直線（2）惟一性假設(shè)在空間過點有兩條直線和滿足和根據(jù)公理4，必有與矛盾， 過點有一條且只有一條直線和平行說明：對于證明“有且只有”這類問題，一定要注意證明它的存在性和惟一性典型例題三例3 如圖所示，設(shè)，分別是空間四邊形的邊，上的點，且，求證：（1）當(dāng)時，四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時，四邊形是梯形分析：只需利用

3、空間等角定理證明即可證明：連結(jié)，在中， ，且在中， ，且 ， 頂點，在由和確定的平面內(nèi)（1）當(dāng)時，故四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)時，故四邊形是梯形說明：顯然，課本第11頁的例題就是本題（2）的特殊情況特別地，當(dāng)時，是空間四邊形各邊中點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形是平行四邊形如果再加上條件，這時，平行四邊形是菱形典型例題四例4 已知是兩條異面直線，直線上的兩點的距離為6，直線上的兩點的距離為8，的中點分別為且，求異面直線所成的角分析：解題的關(guān)鍵在于依據(jù)異面直線所成角的定義構(gòu)造成和異面直線平行的兩條相交直線，然后把它們歸納到某一三角形中求解解：如圖，連結(jié)，并取的中點，連結(jié)，分別是和的中位線，即 ， 所成

4、的銳角或直角是異面直線所成的角又 ，在中，又，故異面直線所成的角是說明：在求兩條異面直線所成的角時，一般要依據(jù)已知條件，找出與兩條異面直線分別平行并且相交于一點的兩條直線但是，異面直線所成角的定義中的點一般是在圖形中存在著的，需要認真觀察分析圖形的性質(zhì)，從而找出這一點和過這一點與兩異面直線平行的直線，以得到兩條異面直線所成的角，在求這個角的大小時，一般是根據(jù)平面圖形中解三角形的知識求解的典型例題五例5 已知四面體的所有棱長均為求：（1）異面直線的公垂線段及的長；（2）異面直線和所成的角分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂線段，進而求出其距離；對于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解

5、解：（1）如圖，分別取的中點，連結(jié)由已知，得，是的中點，同理可證是的公垂線段在中， （2）取的中點，連結(jié)，則和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角連結(jié)，在中，由余弦定理，得故異面直線和所成的角為說明：對于立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，同時要將轉(zhuǎn)化過程簡要地寫出來，然后再求值典型例題六例6如圖所示，兩個三角形和的對應(yīng)頂點的連線、交于同一點，且(1)證明：，；(2)求的值分析：證兩線平等當(dāng)然可用平面幾何的方法而求面積之比則需證兩個三角形相似，由于三角形是平面圖形，故也可用平面幾何的方法證明證明：(1)當(dāng)和在點兩側(cè)時，如圖甲與相交于點，且，（因為、共面）同理，(2)，且，和，和的方向相反

6、，同理因此，又，當(dāng)和在點的同側(cè)時，如圖乙所示，同理可得(1)(2)說明：此題與是否共面并不重要，因為等角定理對各種位置已作說明典型例題七例7是矩形所在平面外一點，與成角，與成角，求：(1)直線與的距離；(2)求直線與的距離分析：要求出與、與的距離，必須找到它們的公垂線段，公垂線段的長度即為異面直線間的距離解：如圖所示，在矩形中，又，是異面直線、的公垂線段，其長度為異面直線、的距離在中，是與所成的角，又，(2)在矩形中，又，是直線、的公垂線段，其長度為異面直線、的距離在中，是異面直線與所成的角，又，直線與的距離為說明：(1)求異面直線之間距離的步驟是：找（作）線段；證線段是公垂線段；求公垂線段的

7、長度(2)求異面直線間的距離的問題，高考中一般會給出公垂線段典型例題八例8、是三條直線，若與異面，與異面，判斷與的位置關(guān)系，并畫圖說明分析：這是一道考查異面直線概念及空間直線位置關(guān)系的問題，同時也考查了圖形語言的表達能力解：直線與的位置關(guān)系有以下三種情形如圖：直線與的位置關(guān)系可能平行（圖中的(1)）；可能相交（如圖中的(2)）；可能異面（圖中的(3)）說明：本題也考查了空間想象能力和邏輯劃分、分類討論的能力典型例題九例9如果兩條異面直線稱作“一對”，那么在正方體的十二條棱中，共有幾對異面直線（）A12對B24對C36對D48對分析：一般地，立體幾何中的計數(shù)問題，是由所數(shù)的量的性質(zhì)，確定一規(guī)律，

8、然后按此規(guī)律進行計數(shù)正方體的各棱具有相同的位置關(guān)系所以以一條棱為基量，考察與其異面的幾對，問題可解解：如圖，正方體中與異面有，各棱具有相同的位置關(guān)系，且正方體有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計算成本，異面直線共有對說明：分析清楚幾何體特點是避免重復(fù)計數(shù)的關(guān)鍵計數(shù)問題必須避免盲目亂數(shù)，做到“不重不漏”典型例題十例10如圖，已知不共面的直線，相交于點，、是直線上兩點，、分別是，上一點求證：和是異面直線證法1：假設(shè)和不是異面直線，則與在同一平面內(nèi)，設(shè)為，又，且，同理：，共面于，與已知，不共面相矛盾，、是異面直線證法2：，直線，確定一平面設(shè)為，且，又，不共面，與為異面直線說明：證明兩條直線異面的方法有兩種(

9、1)用定義證明（即定義法）：此時需借反證法，假設(shè)兩條直線不異面，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即這兩條直線可能相交也可能平行，然后，推導(dǎo)出矛盾即可(2)用定理證明（即定理法）：用該法證明時，必須闡述出定理滿足的條件：，然后可以推導(dǎo)出直線與是異面直線典型例題十一例11已知平面與平面相交于直線，為直線上的兩點在內(nèi)作直線，在內(nèi)作直線求證和是異面直線已知：平面平面=，如圖求證：、是異面直線證明：假設(shè)，不是異面直線，則它們必共面、在同一平面內(nèi)即、所確定的平面與、確定的平面重合這與平面平面=矛盾、是異面直線說明：證明兩條直線為異面直線，用反證法往往比較簡單典型例題十二例12已知空間四邊形

10、，求證它的對角線和是異面直線證法一：（反證法）如圖假設(shè)和不是異面直線，則和在同一平面內(nèi)、在同一平面內(nèi)，即四邊形是平面四邊形，這與已知條件矛盾，所以假設(shè)不成立因此和是異面直線證法二：（定理法）過和作一平面，則對角線在平面內(nèi)對角線與平面交于外的一點，即點不在直線上，且點在平面外根據(jù)異面直線判定定理知：和是異面直線說明：判定兩條直線是異面直線的證明問題常用這兩種方法，即(1)反證法，(2)用判定定理典型例題十三例13已知空間四邊形，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線證法一：（定理法）如圖由題設(shè)條件可知點、不重合，設(shè)所在平面和是異面直線證法二：（反證法）若和不是異面直線，則和共面，設(shè)過、

11、的平面為(1)若、重合，則是的中點，這與題設(shè)相矛盾(2)若、不重合，、四點共面，這與題設(shè)是空間四邊形相矛盾綜上，假設(shè)不成立故和是異面直線說明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用首先看一個有趣的實際問題：“三十六口缸，九條船來裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝雙，你說怎么裝？”對于這個問題，同學(xué)們可試驗做一做也許你在試驗幾次后卻無法成功時，覺得這種裝法的可能性是不存在的那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？用反證法可以輕易地解決這個問題假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個單數(shù)之和仍為單數(shù)，與36這個雙數(shù)矛盾只須兩句話就解決了這個問題典型例題十四例14已知、分

12、別是正方體的棱、的中點求證：分析：欲證兩個角相等，可通過等角定理或其推論來實現(xiàn)證明：如圖，連結(jié)，分別為，中點，為平行四邊形又，四邊形是平行四邊形同理又與方向相同說明：有關(guān)證明角相等問題，一般采用下面三種途徑：(1)利用等角定理及其推論；(2)利用證三角形相似；(3)利用證三角形全等本例是通過第一種途徑來實現(xiàn)請同學(xué)們再利用第三種途徑給予證明典型例題十五例15由四個全等的等邊三角形的封面幾何體稱為正四面體，如圖，正四面體中，、分別是棱、的中點，與是一對異面直線，在圖形中適當(dāng)?shù)倪x取一點作出異面直線、的平行線，找出異面直線與成的角分析1：選取平面，該平面有以下兩個特點，(1)該平面包含直線，(2)該平

13、面與相交于點，伸展平面，在該平面中，過點作交的延長線于，連結(jié)可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角如圖分析2：選取平面，該平面有以下兩個特點：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點在平面中，過點作的平行線交于點，連結(jié)，可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角如圖分析3：選取平面，該平面有如下兩個特點：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點在平面中，過點作，與相交于點，連結(jié)，可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角分析4：選取平面，該平面有如下特點：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點，伸展平面，在該平面內(nèi)過點作與的延長線交于點，且，連結(jié)，則與所成的角，即為異面

14、直線與所成的角如圖說明：(1)兩條異面直線所成的角是非常重要的知識點，是每年高考的必考內(nèi)容，要求牢固掌握兩條異面直線所成的角的定義和兩條異面直線互相垂直的概念，兩條異面直線所成的角是刻劃兩條異面直線相對位置的一個量，是通過轉(zhuǎn)化為相交直線成角來解決的，這里我們要注意：兩條異面直線所成的角的范圍是，當(dāng)時，這兩條異面直線互相垂直求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出這兩條異面直線所成的角，作兩條異面直線所成的角的方法是：將其中一條平移到某個位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交，然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時要求選擇恰

15、當(dāng)位置一般提倡像思考2，那樣作角，因為此角在幾何體內(nèi)部，易求(2)本例題多方位、多角度思考問題，思路開闊、運用知識靈活，對我們解決異面直線所成角問題大有裨益，要認真理解典型例題十六例16如圖，等腰直角三角形中，若，且為的中點求異面直線與所成角的余弦值分析：根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當(dāng)?shù)狞c，分別引與的平行線，換句話說，平移（或）設(shè)想平移，沿著的方向，使移向，則移向的中點，這樣與所成的角即為或其補角，解即可獲解解：取的中點，連結(jié)，在中，、分別是、的中點，即為所求的異面直線與所成的角或其補角在中，在中，在中，在等腰三角形中，異面直線與所成角的余弦值為說明：求角或求角的三角函數(shù)值的一般步

16、驟是：找（或作出）角，適合題意，求角或求角的三角函數(shù)值，往往是化歸成一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形求得典型例題十七例17在正四面體中，已知是棱的中點，求異面直線和所成角的余弦值分析：可在平面內(nèi)過作平行線，可在中求得所成角的余弦值解：如圖，取的中點，連結(jié)，為的中點，為的中位線，與所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角設(shè)正四面體的棱長為，由正三角形的性質(zhì)知，在中，即異面直線和所成角的余弦值為說明：本題是利用三角形中位線達到平移的目的這種作異面直線所成角的方法稱為中位線平移法典型例題十八例18在正方體中，求正方體對角線和面對角線所成角的大小解：如圖取上中點，則有：，連結(jié)令，則，連結(jié)，分別為，的中點，

17、(或)是異面直線和所成的角在及中，為等腰三角形又為中點，異面直線和所成角為說明：(1)由于異面直線所成角最大為直角，所以，在把異面直線平移得到的兩個夾角中，必須選取其中較小的角為異面直線的所成角(2)實際上，正方體的體對角線與任意一條面對角線所成角均為直角典型例題十九例19在正方體中，、分別為、的中點，求、所成角的余弦值分析1：可平移至，可得到角，再解三角形即可但要注意到為鈍角解法1：如圖，連結(jié)，則，由與所成的銳角或直角，就是與所成的角，連，令正方體的棱長為，有，在中，的補角為異面直線與所成角、所成角的余弦值是分析2：連結(jié)、，可得即為異面直線和所成的角進而求其余弦值解法2：連結(jié)、，可證得()(

18、或其補角)即為異面直線、所成的角，由余弦定理，有，、所成角的余弦值是說明：異面直線所成角的范圍是，當(dāng)求得某角的余弦值為負值時，則此角的補角是異面直線所成角典型例題二十例20在空間四邊形中：，分別是，的中點求證：線段是異面直線，的公垂線證明：如圖連結(jié)、在和中，公用又是中點，在中，是的中點，同理，是異面直線、的公垂線說明：證明某一條直線是兩條異面直線的公垂線，須證明以下兩點：(1)與兩條異面直線都垂直；(2)與兩條異面直線都相交典型例題二十一例21如圖，空間四邊形中，四邊、和對角線、都等于，、分別為、的中點(1)求證：是異面直線、的公垂線(2)求異面直線和的距離分析：要證明是異面直線與的公垂線，必

19、須說明兩個方面的問題，一個方面與、都相交，另一個方面、與都垂直(1)證明：連結(jié)、，由已知和均為正三角形，、分別為、的中點，同理，又與、都相交，為異面直線、的公垂線(2)解：空間四邊形各邊及對角線、的長均為，而，在中，異面直線和之間的距離為說明：(1)求線段的長度一般地要把該線段放到一個三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等(2)滿足條件的該空間四邊形其實質(zhì)是空間正四面體，該問題實質(zhì)上是求正四面體對棱之間的距離典型例題二十二例22已知、是異面直線，直線直線，那么與（）A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線解：由已知、是異面直線，直線直線，所以直線直線，否則若，則有與已知矛盾所以應(yīng)選C說明：本題考察兩直線位置關(guān)系和公理4的應(yīng)用及異面直線定義典型例題二十三例23兩條異面直線指的是（）A在空間內(nèi)不相交的兩條直線B分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線C某平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線D不在同一平面內(nèi)的兩條直線解：對于A,在空間內(nèi)不相交的兩條直線也可能是平行，應(yīng)排除A對于B，分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能是異面直線，也可能是相交直線或平行直線，應(yīng)排除B對于C，某平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線可能是異面直線，也可能是平行直線，應(yīng)排除C應(yīng)選