加權(quán)模糊邏輯

1、第七章 加權(quán)模糊邏輯1 引 言對復(fù)合證據(jù)的不確定性，在大多數(shù)專家系統(tǒng)的不確定性處理模型中，都采用“與”、“或”、“非”等邏輯復(fù)合運算來處理。例如，在專家系統(tǒng)MYCIN1和PROSPECTOR2中就采用“與”、“或”、“非”等模糊邏輯復(fù)合運算來處理復(fù)合證據(jù)的不確定性。由于實際領(lǐng)域的復(fù)雜性，規(guī)則前提（或曰前件）中諸證據(jù)（或曰斷言）對于結(jié)論（或曰后件）的重要程度通常不盡相同，完全相同僅僅是特殊情形。由于規(guī)則前提中諸證據(jù)對于結(jié)論的重要程度不盡相同，所以規(guī)則前提中諸證據(jù)之間的關(guān)系往往不能用通常的“模糊邏輯與”、“模糊邏輯或”等來描述，文獻45等開展了這方面的研究工作。2 加權(quán)模糊邏輯和加權(quán)模糊邏輯命題演

2、算為了表示能區(qū)分規(guī)則前提中諸證據(jù)（或曰斷言）對于結(jié)論有不同重要性的邏輯關(guān)系，我們研究了加權(quán)模糊邏輯。實際應(yīng)用領(lǐng)域中，除了有很多需要用“加權(quán)邏輯與”和“加權(quán)邏輯或”來描述的事物之外，還常常存在這樣一種情況，其描述為： 當規(guī)則前提包含的所有證據(jù)中只要有一部分存在時，就有對應(yīng)的結(jié)論存在；當存在的前提證據(jù)越多時，則對應(yīng)結(jié)論為真的程度就越大；在存在的前提證據(jù)中，對結(jié)論為真影響大的證據(jù)越多，則結(jié)論為真的程度也越大。那么，這樣一種情況，顯然既非“加權(quán)邏輯與”，也非“加權(quán)邏輯或”。為了刻畫這樣一種情況，我們引入了“加權(quán)邏輯綜合”概念。我們認為加權(quán)模糊邏輯公式的真值不僅與各子式的真值有關(guān)，而且與各子式的權(quán)數(shù)有關(guān)

3、。 為了描述加權(quán)模糊邏輯命題演算，我們引入一些約定。我們用X 表示一加權(quán)命題公式，用T(X) 表示X 的真值，用W(X) 表示 X 的權(quán)數(shù). W(X) 刻畫了X（的斷言部分）的存在對與X相關(guān)的事物之存在的重要程度。定義1 設(shè)是原子命題，是 的權(quán)數(shù)， 是一個加權(quán)原子命題。 與的真值相同，即，且 . 定義2 1. 每個加權(quán)原子命題是一個加權(quán)命題公式，其真值和權(quán)數(shù)分別為和 . 設(shè) 是一個加權(quán)命題公式，則也是一個加權(quán)命題公式，稱之為 的否定，其真值為，其權(quán)數(shù)為 .2. 設(shè) 為個加權(quán)命題公式，符號“”代表加權(quán)合取運算，則 也是一個加權(quán)命題公式，并稱其為的加權(quán)合取式。說某一加權(quán)命題公式存在，是說該加權(quán)命題

4、公式的真值（或曰真度、可信度）大于等于規(guī)定的門檻值。假定集合 中所有的加權(quán)命題公式都已存在，且集合 中有h個最小元素：，其中 a 為一待定常數(shù)，用以調(diào)整權(quán)數(shù)在加權(quán)合取運算中的作用。令，那么的真值與權(quán)數(shù)分別是： . 3. 設(shè) 為個加權(quán)命題公式，符號“”代表加權(quán)析取運算，那么， ，也是一個加權(quán)命題公式，并稱其為的加權(quán)析取式。假定集合 是 中已存在的所有加權(quán)命題公式（或加權(quán)析取式；說一加權(quán)命題公式存在系指其真值大于等于規(guī)定的門檻值（或閾值），且集合 中有h個最大元素：，其中 a 為一待定常數(shù)，用以調(diào)整權(quán)數(shù)在加權(quán)析取運算中所起作用的大小。令，則 的真值和權(quán)數(shù)分別為： .4. 設(shè) 為個加權(quán)命題公式，且這

5、個加權(quán)命題公式是獨立差錯的，則 的加權(quán)邏輯綜合公式為：，其中 為加權(quán)邏輯綜合運算符，k m n，k一般大于1， 是 中所有存在的加權(quán)命題公式（真值大于等于規(guī)定的閾值） 。 的真值和權(quán)數(shù)分別定義為： 首先有 ， ， ，k m n .5. 設(shè)X 是一個加權(quán)命題公式，則 也是一個加權(quán)命題公式，它等價于X ，其真值和權(quán)數(shù)分別為： . 6. 所有加權(quán)命題公式都是有限次地使用上述規(guī)則形成的。對于加權(quán)模糊邏輯中的任一個加權(quán)命題公式X ，都有 . 由定義2可知，加權(quán)命題公式的真值不僅與其各子式的真值有關(guān)，而且與其各子式的權(quán)數(shù)有關(guān)。加權(quán)邏輯綜合公式的真值為存在的所有子式的真值的加權(quán)累加和。定義2. 給出了一種區(qū)

6、別規(guī)則前提中諸證據(jù)對規(guī)則結(jié)論的有不同重要性的邏輯關(guān)系。前面已指出 a 0 是一個可調(diào)整的實數(shù)，用來調(diào)整權(quán)數(shù)對加權(quán)邏輯公式真值的影響程度. a 越大權(quán)數(shù)所起的作用也越大。顯然，加權(quán)合取運算和加權(quán)析取運算都滿足交換律和結(jié)合律。3 加權(quán)模糊邏輯在專家系統(tǒng)中的應(yīng)用及加權(quán)模糊邏輯推理規(guī)則 在 2中，我們僅僅討論了加權(quán)模糊邏輯公式的形成規(guī)則。本節(jié)結(jié)合加權(quán)模糊邏輯在專家系統(tǒng)中的應(yīng)用討論加權(quán)模糊邏輯用于推理規(guī)則。通常，在區(qū)別產(chǎn)生式規(guī)則（或規(guī)則）前提（或前件）中諸斷言（或曰證據(jù)、知識元等）對產(chǎn)生式規(guī)則結(jié)論具有不同重要性的專家系統(tǒng)中，其產(chǎn)生式規(guī)則可用加權(quán)模糊邏輯運算做如下刻畫：IF斷言1，權(quán)數(shù)1斷言2，權(quán)數(shù)2 斷

7、言k，權(quán)數(shù)kTHEN結(jié)論，權(quán)數(shù)k+1規(guī)則強度 （3.1） 規(guī)則（3.1）的觸發(fā)條件：斷言1，斷言2，斷言k都必須存在 （說某斷言存在，是說該斷言的真值（或不確定性值，或可信度）大于或等于規(guī)定的閾值），并且規(guī)則前件的真值（或不確定性值）大于或等于規(guī)則觸發(fā)閾值。前件真值規(guī)則強度=結(jié)論真值。IF斷言1 ，權(quán)數(shù)1斷言2 ，權(quán)數(shù)2 斷言n ，權(quán)數(shù)nTHEN結(jié)論，權(quán)數(shù)n +1規(guī)則強度 （3.2） 規(guī)則（3.2）的觸發(fā)條件：在斷言1，斷言2，斷言n中至少有一個存在 ，并且規(guī)則前件的真值（或不確定性值）大于或等于規(guī)則觸發(fā)閾值。前件真值規(guī)則強度=結(jié)論真值。IF斷言1 ，權(quán)數(shù)1 斷言2 ，權(quán)數(shù)2 斷言m ，權(quán)數(shù)m

8、THEN結(jié)論，權(quán)數(shù)m +1規(guī)則強度 （3.3） 規(guī)則（3.3）的觸發(fā)條件：前件中存在斷言，斷言， ，斷言，其中t k m（t 通常大于1），且存在斷言的權(quán)數(shù)和大于等于規(guī)定的閾值，并且規(guī)則前件的真值 大于或等于規(guī)則觸發(fā)閾值。前件真值規(guī)則強度=結(jié)論真值（前件真值T(X) 的計算已經(jīng)使用了權(quán)值，故結(jié)論真值的計算不能再重復(fù)使用權(quán)值）。以上，我們從形式系統(tǒng)的角度出發(fā)，討論了加權(quán)模糊邏輯的公式形成及推理規(guī)則，我們只需給出命題原子的真值和權(quán)數(shù)，就可以計算出任意復(fù)合公式和推理公式的真值與權(quán)數(shù)，也就是說公式的權(quán)數(shù)和真值是在形式系統(tǒng)內(nèi)部計算并傳遞的。但在實際應(yīng)用中，為了能客觀和靈活地反映事物，有時不僅要給出原子命

9、題的權(quán)值，而且往往還要給出某些復(fù)合命題的權(quán)數(shù)，特別是（反映專家啟發(fā)式知識的）：推理規(guī)則前件中各個斷言的權(quán)數(shù)，常常局限于推理規(guī)則自身。由此，我們約定：在實際應(yīng)用中采用人為（或?qū)＜遥┙o出的命題權(quán)數(shù)優(yōu)先的原則。實際上，上述公式（3.1）（3.2）（3.3） 中結(jié)論所對應(yīng)的權(quán)數(shù)是無意義的。這里要特別強調(diào)的是：已經(jīng)給出的大多數(shù)不精確推理模型（如MYCIN，PROSPECTOR等），常常是實際問題的近似。由此，為解決實際應(yīng)用中的問題，一方面要限定不精確推理模型的適用范圍，另一方面要常常對某一形式系統(tǒng)（即某一不精確推理模型）作出修正。例如：在專家系統(tǒng)PROSPECTOR3中，不精確推理主要依據(jù)貝葉斯理論，但

10、在由若干個證據(jù)的“邏輯與”或“邏輯或”組成的規(guī)則前件的真值（不確定性值）計算中，卻采用了取最小、最大運算的模糊集理論，在處理規(guī)則強度LS ， LN之間的關(guān)系時，不總是按著“若LS 1（LS 1），則必有 LN 1）” 來構(gòu)造規(guī)則，而有時是按著“LS 1（LS 1）且LN=1（LN=1）”來處理的，等等。例1. 假定有一條產(chǎn)生式規(guī)則（其中A表示某求職者，一個條件是一個二元組，其中第一元和第二元分別是斷言和權(quán)數(shù)）：IF THEN （3.4） 若經(jīng)理重視經(jīng)濟效益，那么經(jīng)理可能會很重視第一個斷言，第三斷言和第五個斷言，于是乎經(jīng)理給出的一組權(quán)數(shù)很可能是：權(quán)數(shù)1 = 0.35，權(quán)數(shù)2 = 0.1，權(quán)數(shù)3

11、= 0.2，權(quán)數(shù)4 = 0.1，權(quán)數(shù)5 = 0.25 .例2. 某大學某學科通過考試錄取研究生，考試科目有：政治、外語、離散數(shù)學、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、C語言程序設(shè)計、計算機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和操作系統(tǒng)，一條用于評價被錄取的研究生的產(chǎn)生式規(guī)則（如果某考生的入學考試成績和思想品德滿足錄取條件，那么導(dǎo)師或管理干部可根據(jù)考生的成績對他或她做出不同的評價）如下：IF THEN （3.5） 其中，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（諸Ak 都是數(shù)值區(qū)間，對于k = 1，2，L ，8 ），由相應(yīng)科目的具體成績（指當年該科目合格考生的平均成績）和對各科成績的不同認識來決定，A的值為“優(yōu)”（B的值為“良”，C的值為“中

12、”） ，規(guī)則強度已被指定。一般說來，導(dǎo)師更看重權(quán)數(shù)2直至權(quán)數(shù)7，同時不同的導(dǎo)師在更看重權(quán)數(shù)2直至權(quán)數(shù)7的基礎(chǔ)上，可能對權(quán)數(shù)2直至權(quán)數(shù)7再予以重要性的區(qū)分。 產(chǎn)生式（3.5）的觸發(fā)條件：該規(guī)則之前件中的八個條件（條件是由斷言和權(quán)數(shù)組成的二元組）中的斷言都必須得以滿足（即都必須存在）。 例3. 高中學生有如下幾種途徑可成為大學本科生，譬如，重點中學的保送生，體育加試生，文藝或體育特招生，高考入學考試成績大于或等于本科錄取線的高中生（簡稱考試生）等等。一條某大學用于錄取非考試生的產(chǎn)生式規(guī)則（規(guī)則中的A代表某高中生）如下：IF THEN （3.6） 在產(chǎn)生式（3.6）中，只要有一個斷言被滿足，且其真值

13、大于該產(chǎn)生式的觸發(fā)閾值，則該產(chǎn)生式就可以被觸發(fā)。 該產(chǎn)生式可以同時有多個斷言被滿足。例1，某高中生既是一個體育加試生，又是一個體育特招生，這可解釋如下：某高中生一開始，他的A徑賽成績首先通過了體育加試線，緊接著他又以更優(yōu)異的A徑賽成績通過了體育特招線。例2，某高中生既是一個考試生，又是一個體育加試生。例3. 如果要達到玉米優(yōu)質(zhì)高產(chǎn)那么在選地方面要做到：土壤的PH值應(yīng)在6.57.0，耕層深度應(yīng)大于20厘米，土壤的保水、保肥和排水條件較好，土地肥力屬中上等肥力地塊，等等。一條用于判斷選地工作的產(chǎn)生式如下：IF THEN （3.7） 產(chǎn)生式（3.7）中的斷言i（i =1，2，5）的斷言值例子。譬如，

14、土壤的排水條件，土壤的保水、保肥條件 ；再如，土地肥力 ，等等。 產(chǎn)生式（3.7）中的權(quán)數(shù)i（i =1，2，5），第一、與五個斷言的相互比較中，斷言i所占據(jù)的位置（或位次）有關(guān)；第二、與給出該產(chǎn)生式的農(nóng)業(yè)專家們對選地的認識水平和實際經(jīng)驗有關(guān)。 產(chǎn)生式（3.7）后件中結(jié)論“所選地塊能較好滿足玉米優(yōu)質(zhì)高產(chǎn)目標” 的值（目標產(chǎn)量值）與前件中諸證據(jù)（或斷言，或事實等等）的取值（某屬性的取值）有關(guān)（本文用三元組刻畫一個證據(jù)，）。實際上，該產(chǎn)生式可細分為多條產(chǎn)生式，按照該產(chǎn)生式前件中斷言3、4和5的取值可分成8條產(chǎn)生式：（假定對應(yīng)目標產(chǎn)量值為650公斤/每畝）；， 和 （假定對應(yīng)目標產(chǎn)量值為700公斤/每

15、畝）； ， 和 （假定對應(yīng)目標產(chǎn)量值為750公斤/每畝）；（假定對應(yīng)目標產(chǎn)量值為800公斤/每畝）。其中，下標表示斷言序號，如中4表示土壤的排水條件是中等的。 產(chǎn)生式（3.7）的觸發(fā)條件：規(guī)則前件中的5個斷言都必須存在，且規(guī)則前件的真值大于或等于規(guī)則觸發(fā)閾值。 例5. 玉米播種前需要對種子進行防治地下蟲害和苗期病害的處理。一條通過對種子進行播前處理以預(yù)防病蟲害的產(chǎn)生式規(guī)則如下：IF THEN （3.8） 產(chǎn)生式規(guī)則（3.8）中的權(quán)數(shù)j（ j = 1，2，3）的值主要與權(quán)數(shù)j對應(yīng)的防治方法（即權(quán)數(shù)j對應(yīng)的斷言）是否有效、操作是否簡便、價格是否便宜等因素有關(guān)。 權(quán)數(shù)j對應(yīng)的防治方法（即權(quán)數(shù)j對應(yīng)的

16、斷言）的真值，則與農(nóng)民對該方法的掌握程度、操作是否嚴格認真、藥品質(zhì)量與用量等因素有關(guān)。 在該產(chǎn)生式規(guī)則中，不能同時有一個以上的斷言被滿足（這是由玉米生產(chǎn)決定的）。 若該產(chǎn)生式規(guī)則是被斷言j（ j = 1，2，3）觸發(fā)的，那麼與斷言j對應(yīng)的規(guī)則強度j（ j = 1，2，3）被選中，規(guī)則強度j的取值主要與斷言j（即防治方法j）的有效性有關(guān)。例6. 如果農(nóng)民要奪得玉米優(yōu)質(zhì)高產(chǎn)，需要做好以下幾個方面的工作：因地制宜選玉米品種，選地，整地，玉米種子的質(zhì)量檢查，玉米種子防治地下蟲害和苗期病害的處理，適時播種，合理密植，合理施肥，田間管理，玉米螟防治，玉米草害的防治等等。一條用于判斷農(nóng)民種的玉米是否能奪得高

17、產(chǎn)的產(chǎn)生式規(guī)則如下：IF : THEN: （3.9） 產(chǎn)生式規(guī)則（3.9）中的“ ”表示加權(quán)邏輯綜合運算。 該產(chǎn)生式規(guī)則的觸發(fā)條件是：需要規(guī)則前件所包括的11個斷言中的一部分存在即可，確切說，需要所有存在的斷言所對應(yīng)的權(quán)數(shù)之和以及規(guī)則前件的真值分別大于等于規(guī)定的權(quán)閾值和規(guī)則觸發(fā)閾值。 以斷言“作到合理施肥”為例來說明斷言 真值 與哪些因素有關(guān)：農(nóng)民對玉米優(yōu)質(zhì)高產(chǎn)合理施肥規(guī)范掌握的程度，具體施肥操作符合規(guī)范的程度，所施用的肥料的種類、質(zhì)量和數(shù)量符合規(guī)范的程度，等等。綜上可見：一方面，在實際應(yīng)用中要求對規(guī)則前提中不同斷言予以區(qū)別對待(區(qū)別它們對于規(guī)則結(jié)論的不同重性)，即對不同斷言賦予不同權(quán)值的情況

18、，是十分普遍的；另一方面，在實際應(yīng)用中“加權(quán)邏輯與”，“加權(quán)邏輯或”和“加權(quán)邏輯綜合”也都是處處可見的。4 相關(guān)工作的比較與分析在本節(jié)，通過例子把本文工作和相關(guān)的一些工作做一下比較。例7. 假定有兩個加權(quán)子式x1和x2，其真值和權(quán)數(shù)分別為：T(x1)=0.7， W(x1)=0.5， T(x2)=0.89，W(x2)=0.5 .按“加權(quán)邏輯與”組合，有x=x1 x2 ；按“加權(quán)邏輯或”組合，有x=x1 x2 .若采用文獻4中的方法，則其“加權(quán)邏輯與”和“加權(quán)邏輯或”的真值計算結(jié)果均為：=0.50.70.50.89=0.795 .若采用本文的方法，則與“加權(quán)邏輯與”和“加權(quán)邏輯或”對應(yīng)的真值分別計

19、算如下： 令 a = 1，由此可知 . 令 a = 1，由此可知 .由上我們可得出結(jié)論：Q在例7中有W(x1)=W(x2)=0.5，加權(quán)模糊模糊邏輯應(yīng)完全等價于通常的模糊邏輯，本文提出的加權(quán)模糊邏輯在各子式(加權(quán)命題公式)的權(quán)數(shù)值都相等時，可以退化成通常的模糊邏輯，換言之，本文提出的加權(quán)模糊邏輯是通常的模糊邏輯的擴充。例8. 假定有兩個加權(quán)子式x1和x2，其真值和權(quán)數(shù)分別為：T(x1)=0.8， W(x1)=0.7， T(x2)=0.2，W(x2)=0.3 . 兩個加權(quán)子式間具有“加權(quán)邏輯或”關(guān)系，即x = x1 x2 .假定加權(quán)子式x1和x2 存在的條件是：T(x1)，T(x2)皆大于等于0

20、.2 （0.2為門檻值）。由此可知，加權(quán)子式x1和x2都存在。若采用文獻4中的方法，則其“加權(quán)邏輯或”為：=0.70.80.30.2=0.62 .若采用本文的方法，則“加權(quán)邏輯或”的計算結(jié)果為：令 a = 1， ， ，由此可知， .因為T(x1) T(x2) 且 W(x1) W(x2) 且又是“加權(quán)邏輯或”關(guān)系，所以本文的方法所給出的結(jié)果正確的。例9. 假定有兩個加權(quán)子式x1和x2，其真值和權(quán)數(shù)分別為：T(x1)=0.8， W(x1)=0.4， T(x2)=0.2，W(x2)=0.6 .兩個加權(quán)子式間具有“加權(quán)邏輯與”關(guān)系，即x = x1 x2 .假定加權(quán)子式x1和x2 存在的條件是其真值大于

21、等于0.2（0.2為加權(quán)子式存在的門檻值）。由此可知，加權(quán)子式x1和x2都存在。若采用文獻4中的方法，則其“加權(quán)邏輯與”為：=0.40.80.60.2=0.44 .若采用本文的方法，則“加權(quán)邏輯與”的計算結(jié)果為：令 a = 1， ， ；由此可知， .因為T(x2)=0.2 ，W(x2)=0.6 ，T(x1)=0.8 ， W(x1)=0.4 ，故有T(x2) W(x1)且又是“加權(quán)邏輯與”關(guān)系，所以本文方法給出的結(jié)果是正確的。5 小 結(jié)我們認為有時“加權(quán)邏輯與”和“加權(quán)邏輯綜合”之間并沒有不可逾越的鴻溝，以3.中的例6.為例，把產(chǎn)生式規(guī)則（3.9）的結(jié)論：，改換成一個新的結(jié)論：，就是說，把“較高

22、”兩個字改換成“最高”兩個字，那麼產(chǎn)生式規(guī)則（3.9）之前件的邏輯關(guān)系就從“加權(quán)邏輯綜合”改變成“加權(quán)邏輯與”。實質(zhì)上，概念“獲得最高產(chǎn)量”被概念“獲得較高產(chǎn)量”所包含。從“獲得較高產(chǎn)量”一直到“獲得最高產(chǎn)量”，這中間所產(chǎn)生的一切概念，統(tǒng)統(tǒng)被概念“獲得較高產(chǎn)量”所包含?！凹訖?quán)邏輯或” ，“加權(quán)邏輯綜合” 和“加權(quán)邏輯與”三者可作如下比較描述：“加權(quán)邏輯或”“加權(quán)邏輯綜合”“加權(quán)邏輯與”規(guī)則前件中，有一個證據(jù)存在即可規(guī)則前件中，有一部分證據(jù)存在即可規(guī)則前件中，所有的證據(jù)都必須存在對“加權(quán)模糊邏輯與”、“加權(quán)模糊邏輯或”和“加權(quán)模糊邏輯綜合”之間的關(guān)系，與三種加權(quán)模糊邏輯運算相關(guān)的真值計算方法、以

23、及三種真值計算方法之間的關(guān)系等，都應(yīng)作進一步研究。 習 題 1. 分別舉出加權(quán)模糊邏輯與、加權(quán)模糊邏輯或、加權(quán)模糊邏輯綜合的產(chǎn)生式規(guī)則的例子。參考文獻1 Edward H.Shortliffe， Bruce G.Buchanan. A Model of Inexact Reasoning in Medicine， in Rule-based Expert Systems. Addison-Wesley Publishing Company， 1984， pp.233-262.2 Richard O.Duda， Hohn Gaschnig， Peter Hart. Model Design in the PROSPECTOR Consultant System for Mineral Exploration， in Exp