用曲線擬合公式改進計算光源相關(guān)色溫的方法[1]

1、專題研究用曲線擬合公式改進計算光源相關(guān)色溫的方法輕工業(yè)部電光源材料科學研究所 李世漢 陳國琦南京農(nóng)業(yè)工程學院中專部陳世樂1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All riglits reserved lutp:A*專題研究1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All riglits reserved lutp:A*專題研究前 言光源的色溫在光源的色度計算中是一個 十分重要的參數(shù)。迄今為止，對光源的色溫 和相關(guān)色溫的計算，除了

2、采用査圖法外，基 本上沿用的是羅伯遜(A.R.Robertson)在 1968年所介紹的一種近似計算方法。該方法 通過査表，以及假設(shè)等色溫線的間隔取得 足夠小，兩等色溫線之間的相關(guān)色溫是距 離的線性函數(shù)等條件，給出了一組近似計算 光源的色溫和相關(guān)色溫的公式。這種方法雖 I960 UCS圖(u,v圖)。在該圖中，按視覺恰 可分辨的最小顏色差別，把黑體軌跡劃分為 許多視覺分辨的單位，這個單位稱之麥勒德 (mired)。為了確定一個不在黑體軌跡上的 光源的相關(guān)色溫，在黑體軌跡上又延伸岀許 多等相關(guān)色溫線，這些等溫線都垂直于黑體 軌跡。當被測光源的色度坐標點恰好位于黒 體軌跡上時，求得的就是光源的色溫

3、；若色 度坐標點偏離了黑體軌跡，求得的則是光源 的相關(guān)色溫。1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All riglits reserved lutp:A*專題研究然給便用計算機來計算光源的色溫提供了一按照解析幾何的理論，等相關(guān)色溫線實1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All riglits reserved lutp:A*專題研究個編制程序的基礎(chǔ)，但也存在著一個明顯的 缺陷，這就是處于同一條等色溫線上的色度 坐標點，通過

4、廿算，常常得不封同一個色溫 值，有時彼此之間竟相差幾十K。顯然，這 與等色溫線的定義是很不相符的。為了解決 這個問題，我們采用了求直線與曲線交點的 的方法，首先將一根等色溫線上的任何一點 都歸納到黑體軌跡上的一點，然后，通過這 一點去求解相關(guān)色溫，從而較好地解決了羅 伯遜方法中的不足。本文介紹了我們在這方面所做的工作， 給出了一種計算色溫和相關(guān)色溫的新的計算 方法和計算公式，并列出了實驗結(jié)果。一. 黒體軌跡的v = f(u)函數(shù)表達式在色度學中，以色度坐標表示的平面圖 稱為色度圖。而黑體不同溫度的光色變化在 色度圖上又形成了一個弧形軌跡，這個軌跡 叫做普朗克軌跡或撰體軌跡。圖1是CIE 際上可

5、以看成是黑依軌跡的法線，如果我們 能知道黑體軌跡的v = f(u)函數(shù)表達式，那 么，我們就可以推導出在黑體軌跡上任意一 點(U, V,)的法線方程式，即等相關(guān)色溫線的 v = fW函數(shù)表達式。這樣，如果被測光源 的色度坐標點滿足這個法線方程式，我們就 可以說黑體軌跡上 *所對應(yīng)的色溫就是 被測光源的色溫或相關(guān)色溫。而這里的關(guān)鍵 是如何得到黑體軌跡的v = f(u)函數(shù)表達 式。由于目前國內(nèi)有關(guān)色度學的專業(yè)書籍無 一例外只能列出黑體軌跡等相關(guān)色溫線的色 度坐標表格數(shù)據(jù)，所以，我們要想得到黒體 軌跡的v = f(u)函數(shù)表達式，只有從這些表 格的數(shù)據(jù)中，通過曲線擬合的辦法，得到一 個近似黑體軌跡

6、曲線的函數(shù)方程。在采用曲線擬合的技術(shù)中，通常用來表 示近似曲線的標準函數(shù)是一個多項式函數(shù)： f(x) =a0 +a.x 4-axX1anx1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All riglits reserved lutp:A*專題研究中黒馳霸質(zhì)TEL(01)5021831-284 橫刀立馬FAX (01 )5024077W EL FL LF1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All riglits reserved

7、lutp:A*專題研究5顯然，由此公式得到的曲線XX)的形 狀，II卩取決于系數(shù)a(,也取決于多項式的階 數(shù)n,n值愈大，計算系數(shù)愈困難，但曲線 擬合的計算謀差愈小。按照上述理論對黑體軌跡曲線的擬合， 最初我們也是以最小二乘法為基礎(chǔ)，用5階 多項式函數(shù)進行求解運算。但是運算的結(jié)果 始終無法達到使黑體軌跡的曲線函數(shù)與表松 數(shù)據(jù)之間的計算誤差小于或等fO.OOOl,而 這個誤差標準在光漁的色度參數(shù)訃算小是十 分必要的。如果達不到這個標準，對黑體軌 跡的曲線擬合在這里也就沒右多人激義J*o孩項式既然不太理想，共它形式的方程 是否行呢？借助于計算機，瀕過反復(fù)的公 試，我們終于找到了一個使黑體軌跡的曲線

8、 函數(shù)與表格數(shù)據(jù)之間的計算i吳差小丁或等于 0.0001的儲體軌跡(v = f(u)函數(shù)表達式， 即：v= (a +cu + cu2)/ 1 +bu + du2 + fu8) (1)式中：a-0.758334;b=-17.033365；C = -10. 938197;d66.441868：e=38.217283;f=58.746177;作為驗證，表1列出了由査表得到的黑 體軌跡等溫線色度坐標的數(shù)據(jù)與(1)式計算 所得到的數(shù)據(jù)之間的i吳差比較。在保留所有 數(shù)據(jù)小數(shù)點后第四位的情況之下，可以看 出，由(1)式所代表的黑體軌跡的曲線函數(shù) 所計算出來的數(shù)據(jù)，完全可以取代目前在光 源的色溫和相關(guān)色溫的計

9、算中所采用的査表 法。二、等相關(guān)色溫線的v = f(u)函數(shù)衷達式 在得到了黑體軌跡的V=f(U)函數(shù)表達 式之后，推導出在黑體軌跡曲線上任意一點 (U(,VJ的法線方程式，即等相關(guān)色溫線的 V = f(U)函數(shù)表達式，便是一件舉手可得，頗 理成章的事情了。由于等相關(guān)色溫線實際上就是黒體軌跡 仙紅的法線，HP：通過黑體軌跡曲拔的某點 (UM),且與該點的切線相垂直的直線。 所以，要想推導出在黑體紈跡曲線上任意一 點(U“vj的法線方程式，首先要求出黑體 軌跡曲線在該點的切線方程斜率。根據(jù)導數(shù) 的兒何逆義，我們知逍曲線在某點的切線方 理斜率毎于該曲線在這一點的導數(shù)。而對 (1 )式求導，可以得到

10、如下方程：dv /du =( 1 + bu + du* + fu8) (c +2 eu) - (a +cu + eu*)(b + 2 du + 3 fu1) / (1 +bu + du2+fus)t ( 2 )為了便于計算機處理，我們令,1 +bW + duf + fuF, I = c+ 2 eU|, J = a + cUj 丄eu， K = b+ 2dU+ 3 fu/ 則：dVi/du(HI-JK)H1 (3)又因為法線方程的斜率是切線方程斜率 的負倒數(shù)，而點(5, W)應(yīng)既滿足黑體軌注 曲線的函數(shù)方程(1)式，又滿足經(jīng)過該點 1994-2009 China Academic Journal

11、 Electrofnc Publishing House. All rights reserved lutprA專題研究5 1994-2009 China Academic Journal Electrofnc Publishing House. All rights reserved lutprA專題研究5:薔品質(zhì)低畸變的H檔斷產(chǎn)品J TEL01)S.021B81-284 橫刀立馬中國馳霸 FAXS5024077表1査表得到的黒體軌跡等退線色度坐標的數(shù)據(jù)與(1 )式計算所得到的數(shù)握之間的渓差比較杳袤數(shù)據(jù)計算數(shù)據(jù)査表數(shù)據(jù)計算數(shù)培査表數(shù)據(jù)p r duVV計算數(shù)擁等且線斜率零溫線料率100.180

12、630.265940.265840.00010-0.2517-0.2559200.181300.268500.268460.00004-0.2682-0.2694300.1S2060.271230.27124-0.00001一0.2370-0.2860400.1S2910.274110.27414-0.00003-0.3079一0.3054500.113870.277130.27719-0.00006-0.3315-0.3274600.184930.280250.28031-0.00006-0.3574-0.3522700J36100.283450.28350-0.00005-0.3859-0

13、.3798800.187380.286710.28674-0.00003-0.4169*0.4101900.188780.289990.29001-0.00002-0.4508744341000.190300.293296.29329-0.00000-0.4874-0.47941250394610.301430.301410.00002-0.5914-0.58561500.199610.309220.309190.00003-0.7142-0.70521750.345240.316480.316460.00002-0.8382-0.84952000.211410.323120.323100.0

14、0002-1.0271-1.01862250.218060.329090.329080.00001-1.2264-1.21732500.225100.334390.33439-0. 00000-1. 4625-1.45162750*232460.339040.33905-0. 00001-1.7439-1.73013000.240090.343C30.34309-0.00001-2.0826一2.06403230.247910.346550.34656-0.0C091-2.4922-2.46843500.255900.349500.34951-0.00001-2.9949-2.96433750

15、.263990.351990.35199-0.00000-3.6178-3.58154000.272160.354070.354060.00001-4.4048-4.36334350.280380.855770.355760.00001-5.4215-5.37604500.2&8610.357140.357140. 00000一6.7716-6.72574750.296840.358230.358220.00001-8.6392-8.59423000.305030.359060.3S906-0.00000-11.3024-11.32125250.313180.359630.35968-0.00

16、000-13.6803-15.62255500.321270.360110.36012-0.00001-23.5009-23.313157$0.329290.360380.36038-0. 00000-41.8312-40.73146000.337220.36510.360510.00000-133.4088-116J320 1994-2009 China Academic Journal Electrofnc Publishing House. All rights reserved lutprA專題研究5的法線方程式，所以，按照直線的點斜式方 程，并令M=(HIJK)W,從(3)式即可 得

17、到通過這一點的等相關(guān)色溫線的V = f ( 的因數(shù)表達式，v-vi= - 1 /M(u-ui) (4 )在這里，由于我們所需要求解的是W,V.,而(3)式又是一個高階方程，沒有象二 次方程那樣簡單精確的求根公式，所以，必 須用數(shù)值解法求它的根。這方面的方法很 多，我們采用的是牛頓(Newton)迭代法。 迭代公式為，Ua+l = UB-f(Un) /f，(UJ (5 )式中：的初值為0. 3373,枯度耍求為0. OOOlo三、相關(guān)色溫的計算及實驗結(jié)果通過等相關(guān)色溫線求出了被測光源色坐 標在黑體軌跡曲線上的交點之后，我們繼續(xù) 采用了羅伯遜的方法去求解彼測光源的色溫 或相關(guān)色溫。由于前而已經(jīng)將位

18、于黑體軌跡 1994-2009 China Academic Journal Electrofnc Publishing House. All rights reserved lutprA專題研究5I高品質(zhì)低峙變的H檔新產(chǎn)哼TKL(O1)SQ21831-284 橫刀立馬中國馳劉 FAX3沁。77匚出i囂1縣煞輔窖瞬;us殖mi贈卅堀黑 1994-2009 China Academic Journal Electrofnc Publishing House. All rights reserved lutprA6專題研究袈2實驗結(jié)果（1）Vk誤差0.258090.2657749420.24158

19、0.2757726190.22507 j0.285771580.20856 0 190.295A QAOQ77092U A vQu/ / v/0.183790.317703一 40.167280.327701一 60.134250e347698-90.068210.387694_130.035180.407693-14實臉結(jié)果（2 ）uVk誤差0.237010.3044548-10.226740.318455010.21990.324A OOV A4S50J C 401U.3/了30.209640.336455220.189110.360455230.178850.372455230.1685

20、80.384455230.161740.3924S5230.158320.396.455213t外的被測光源的色坐標折算到黑體軌跡上， 因此，這就避免了單純采用羅伯遜方法的弊 病。為了論證這個問題，我們以（1）式為基 礎(chǔ)，通過計算法線方程，求出了若干個同一 等相關(guān)色溫線上的色坐標點，再用羅伯遜方 法求解出相關(guān)色溫。表2列出了計算結(jié)果， 其中渓差為“”的數(shù)據(jù)為黑體軌跡上的實驗結(jié)果（3）UVk溟差0.281320.2603235110.279070.265323390.276810.270323280.270050.285322840.265540.295322730.258780,310322820.24320.344532240.236230.360322310.227210.380* 3223-10.21820.403222-2色坐標。如前所述,從理論上說，用同一等相關(guān)色溫線上的色坐標點所計算出來的相關(guān)色溫應(yīng)該是完全一致的，但單純采用羅伯遜的方法卻無法實現(xiàn)這一點，因此，很有必要用曲線擬合公式的方法來糾正這一問題。 四.結(jié)語隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，用怦算機 來計算光源的各種光色舂數(shù)，早已為人們所 采用，但如何充分發(fā)揮計算機的巨大能力， 使光源各種光色參數(shù)的計算更加合理和準 確