用物理學(xué)熱傳導(dǎo)理論剖析二階齊次線性偏微分方程的本質(zhì)

1、西昌學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版Journal of Xichang College Natural Science Edition第22卷第1期2008年3才Vol. 22, NOMar., 2008用物理學(xué)熱傳導(dǎo)理論剖析二階齊次線性偏微分方程的本質(zhì)董麗華(遼東學(xué)院師范學(xué)院，遼寧丹東118001 )【播要】本文利用物理學(xué)中常見(jiàn)的熱傳導(dǎo)理論，形象地闡釋了二階齊次線性偏微分方程的本質(zhì)?！娟P(guān)續(xù)詞】二階齊次圾性偏黴分方程；熱傳導(dǎo)理論【中圖分類(lèi)號(hào)】0175【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)1673-1891( 2008 )01 -0053-02西昌學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版Journal of Xichang College

2、Natural Science Edition第22卷第1期2008年3才Vol. 22, NOMar., 2008西昌學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版Journal of Xichang College Natural Science Edition第22卷第1期2008年3才Vol. 22, NOMar., 2008微分方程的產(chǎn)生是與物理學(xué)、天文學(xué)、金融學(xué) 等應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展相輔相成的?，F(xiàn)實(shí)世界中絕大 多數(shù)事物的內(nèi)在聯(lián)系是極其復(fù)雜的，其狀態(tài)隨看時(shí) 間、地點(diǎn)、條件的不同而不同，我們只能通過(guò)對(duì)問(wèn)題 進(jìn)行簡(jiǎn)化和某些假定，從中找出其狀態(tài)和狀態(tài)的變 化規(guī)律之間的關(guān)系，也就是一個(gè)或一些函數(shù)與它們 的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，這

3、種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是微 分方程。其中偏微分方程指含有未知函數(shù)及其偏 導(dǎo)數(shù)的方程，描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之 間的關(guān)系。左解決實(shí)際問(wèn)題中，我們更多地應(yīng)用二 階線性偏微分方程。二階線性偏微分方程是指具有如下形式的方 程：a 韶"+b 谿+c 軟+(!祭*+e 語(yǔ)+fu=g(x,y)其中a,b,c,d,e為常數(shù),f為x和y的函數(shù)。1利用物理學(xué)中的"熱傳導(dǎo)現(xiàn)象”，揭示二階 齊次線性偏微分方程所蘊(yùn)涵的熱傳導(dǎo)過(guò)程的 一般規(guī)律當(dāng)物體內(nèi)部各處的溫度不一致時(shí)，熱星就會(huì)從 高溫處向低溫處傳遞，這被稱(chēng)為“熱傳導(dǎo)現(xiàn)象”?，F(xiàn) 在假定存在一導(dǎo)熱物體，它在空間中占據(jù)的區(qū)域?yàn)?G,邊界面為用溫度函

4、數(shù)u(Xty,zf /)表示物體在t 時(shí)刻和位置的溫度，來(lái)建立溫度函數(shù)需要滿 足的關(guān)系式。設(shè)想從物體(；內(nèi)任意割取一個(gè)由光滑曲面L所 圍成的區(qū)域D(見(jiàn)圖1)。圖1熱屋在物體內(nèi)部的傳導(dǎo)根據(jù)熱量守恒定律，D內(nèi)各點(diǎn)的溫度由任一時(shí) 刻”的g,y,z,G改變?yōu)?時(shí)刻的u(x,y,z,3所吸收(或 釋放)的熱量Q,應(yīng)等于從&到6時(shí)間內(nèi)通過(guò)L進(jìn)入 (或流岀)D內(nèi)的熱量Qi和D內(nèi)熱源提供的熱量Q2的 總和O下面來(lái)決定D內(nèi)溫度改變所需的熱量Q。首先,假定物體的比熱為心“),密度為吩g o 則無(wú)窮小體積如皿的溫度由u(x,y,z,G升高到u (x,y,z,A?)所需要的熱量dQ為：dQ=cQ u (切口。

5、- u (x,y,z,b)dv整個(gè)D由于溫度改變需要的熱量是：Q= JJJcpu(x. y, z,/,) - u(x, y, ztr: )JK根編'牛頓-萊布尼茲公式u (x,y,z,Q - u (x,y,z,f)= f 疇d'于是Q=你。加S = f你。劈dv dtnL o逬而求出通過(guò)L進(jìn)入D的熱屋Q。通過(guò)傅里葉 熱傳導(dǎo)定律可以知道：在無(wú)窮小時(shí)間間隔擊內(nèi)通 過(guò)一個(gè)法矢量為n的無(wú)窮小曲面dS,流向n所指那 一側(cè)的熱量為：dQ=-k(x,y,z)鴛 dsdt其中k(x,y,z)是該物體在點(diǎn)(x,y,z)處的熱傳導(dǎo)系 數(shù)。它恒為正，數(shù)值大小取決于組成物體的材料的 性質(zhì);n是曲面的外

6、法線，黯是溫度函數(shù)在(x,y,z) 處沿外法線n的方向?qū)?shù)。其中n所指的那一側(cè)為 dS的正側(cè)，因此，該式表示了在出時(shí)間內(nèi)從dS的負(fù) 側(cè)流向正側(cè)的熱量。因?yàn)闊崃靠偸菑臏囟雀叩囊?側(cè)流向溫度低的一側(cè)，所以用負(fù)號(hào)表示熱流的方向 與溫度梯度的方向相反?？紤]光滑封閉曲面L,設(shè)在其上確定了一條連 續(xù)變動(dòng)的單位外法線n,則在兩個(gè)時(shí)刻匕和b內(nèi)，經(jīng) 由該物體內(nèi)任意封閉曲面L進(jìn)入D的熱量為： 應(yīng)用奧斯托洛夫斯基-高斯公式，有Q"珈規(guī)熾嘿嘲嘿唱)。西昌學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版Journal of Xichang College Natural Science Edition第22卷第1期2008年3才Vol.

7、22, NOMar., 2008收稿日期：2()07-12-01作者簡(jiǎn)介：量麗華(1971- 人女，滿族，遼寧丹東人，碩士，講師，主要從亨數(shù)學(xué)教學(xué)及研究工作。第1期胡 敏.劉 華：基于NET框架的網(wǎng)上報(bào)修系統(tǒng)中異步調(diào)用的實(shí)現(xiàn) 69 流強(qiáng) q（x,y,z）=-k（x,y,z）韻最后求熱源提供的熱加Q。物體內(nèi)部可能存在熱源如果令物體內(nèi)部的熱 源密度為F（x,y.z4）>0,則在時(shí)間（I）內(nèi)物體熱源所產(chǎn)生的熱量為：Q2=根據(jù)熱量守恒定律有:Q 二 Qi+Q：于是有：I桃?guī)n聽(tīng)卜戀用健）”=0由于時(shí)間間隔（M）以及區(qū)域D是任取的，因此 在任意時(shí)刻，該物體內(nèi)任意點(diǎn)，上式中的三重積分 恒等于0。所以在

8、我們所考察的空間范圍和時(shí)間范 圍內(nèi)恒有：cp勢(shì)-妙毎）+秋沙 £（嗨"n）這就是溫度函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的偏微分方程。如 果物體是均質(zhì)的則k,c和Q均為常數(shù)，令 a2=k Icp則方程可以改寫(xiě)為：第彳理+如+理+ /（x,” ZJ）I &r2 dyz &2往沒(méi)有熱源的情況下，也就是說(shuō)F（x,y禺t）0上 述方稈可以進(jìn)一步改寫(xiě)為齊次方稈，如果該物體是一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻長(zhǎng)桿,則熱傳 導(dǎo)方程的形式為：在物理上,該方程定義了熱量在空間中傳導(dǎo)的 一種模式:u（x,t）代表了在一根兩端絕緣的勻質(zhì)細(xì)長(zhǎng) 棒中各個(gè)點(diǎn)的溫度，它隨著細(xì)棒長(zhǎng)度X和時(shí)間t的變 化而變化，其變化規(guī)律滿足的方程就

9、是我們所研究 的二階齊次線性侃微分方程。換句話說(shuō)，二階齊次 線性偏微分方程在物理學(xué)中反映了一種熱傳導(dǎo)過(guò) 程。2在相應(yīng)的定解條件下確定某一特定物理 過(guò)程的具體狀況上面得出的只是熱傳導(dǎo)過(guò)程的一般規(guī)律,僅僅 依靠它還不能確定某一特定物理過(guò)程的具體狀 況。為了確定具體的物理狀況，不僅依靠傳導(dǎo)方 程還必須另外附加條件。這在物理意義上很明 顯，只要知道物體在某一時(shí)刻S的溫度分布和它在 tMtn時(shí)邊界刃上的熱狀態(tài)，就可以完全確定該物體 在b以后時(shí)刻的溫度變化情況，描述這些狀況的數(shù) 學(xué)條件分別稱(chēng)為初始條件和邊界條件，通稱(chēng)為定解 條件。初始條件給出了 t。時(shí)刻的溫度分布，即:u|g =0（x,y,z）,（x,y

10、, e G邊界條件給出邊界面3G上的熱狀態(tài)，它的形式 有以下三種情況。第一邊界條件:直接給出物體在邊界3G上的溫 度。u|og =0（x,y,z）, （x,y,z）w0G第二邊界條件：如果已知單位時(shí)間內(nèi)通過(guò) 0G上單位面積從物體向外流出的熱塑，即已知熱這時(shí)的邊界就是第三邊界條件以n果已知物體周?chē)橘|(zhì)溫度3 gy,z,t）,根據(jù)熱交換定理，在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)物體表 面單位流向介質(zhì)的熱量q同物體與介質(zhì)在表面的溫 度成正比即q=h（u - S）,其中h是熱交換系數(shù)，仍然 根據(jù)傅里葉定律，有:脣 q即 k 賓二-Ku-s）an因此,這時(shí)的邊界條件為：（& 第 + hu）（p（X,y,z,tt &

11、gt;tQ其中0為芮上的已知函數(shù)。由此我們可以得知，二階齊次線性偏微分方程 不僅刻畫(huà)了一個(gè)隨著時(shí)間不斷演化的動(dòng)態(tài)熱傳導(dǎo) 過(guò)程，而且通過(guò)對(duì)傳導(dǎo)方程加上初始條件和邊界條 件，還可以捕捉到某些特定的時(shí)刻，我們所關(guān)心的 物理量的某種特殊狀態(tài)，由此，我們對(duì)二階齊次線 性偏微分方程就有了更深刻的理解。第1期胡 敏.劉 華：基于NET框架的網(wǎng)上報(bào)修系統(tǒng)中異步調(diào)用的實(shí)現(xiàn) 69 第1期胡 敏.劉 華：基于NET框架的網(wǎng)上報(bào)修系統(tǒng)中異步調(diào)用的實(shí)現(xiàn) 69 注釋及參考文獻(xiàn)：鬢捻恩.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)晁礎(chǔ)M.成都:四川人民出版社,2005.邵宇微觀全秦學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)M.北京:溝華大學(xué)出版社,2003.（下轉(zhuǎn)69頁(yè)）(Comput

12、er Network Center.Shangrao Normal College 9ShangraoJiangxi 334001)AbStractlThe topic of this article is the application of asynchronous invoking in the web-trouble*notification system It analyses the asynchronous invoking in the .NET framework, discusses the essence of the asynchronous invoking in d

13、etail, and takes the indexing as an example to explain that the asynchronous invoking can improve the efficiency of the systemKey words： Asynchronous invoking;NET framework;Web-trouble-notification system(上接54頁(yè))Analysis on the Essence of Second-order Homogenous LinearPartial Differential Equations w

14、ith the Theory of Heat Exchange in PhysicsDONG Li-hua(Teachers College 9 Eastern Liaoning University, Dandong, Liaoning 118001)Abstract：With the ordinary theory of Heat Exchange in physics, this essay visualizes the essence of second-order homogenous linear partial differential equationsKey WOrds：Se

15、cond-order homogenous linear partial differential equations ; Theory of heat exchange(上接64頁(yè))40習(xí)104蒸壓加氣泯凝土砌塊建筑構(gòu)造.中國(guó)建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)研究院，2003,06Analysis and its Preventy Method on Infilled Wall of Ceramsite Hollow UnitTANG Cheng-guang,XIAO Xiao(Shaoguan Iron & Steel Group Corporation Ltd. 9 Qujiang, Guangdong 512123)AbstractlThe reason which produces on the Ceramsite hollow concrete block wall crack was analyzed In view of appears the crack quality question, this paper proposes the preventio