第三章 隨機變量的數(shù)字特征

1、第三章 隨機變量的數(shù)字特征教學內容：數(shù)學期望、方差的定義、性質及計算、矩、協(xié)方差及相關系數(shù)。教學目的：使學生了解隨機變量的數(shù)學期望、方差的意義，掌握期望、方差的計算與性質，使學生明白矩、協(xié)方差、相關系數(shù)的意義。教學重點：分布函數(shù)與連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的計算。以及方差的定義、性質，協(xié)方差、相關系數(shù)的計算。教學難點：關于二維隨機變量的數(shù)學期望、方差的計算；掌握表示隨機變量相互關系的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關系數(shù)，隨機變量的不相關與獨立的異同。教學方法：新授課、啟發(fā)式教學手段：板書、演講教學學時：6學時教學過程：  1 數(shù)學期望前言：統(tǒng)計學常常建立各種指標（指數(shù)）來描述經濟、金融、社會等現(xiàn)

2、象，并利用這些指標進行有效推理、科學決策。另一方面，我們在研究隨機變量分布時，其分布列或分布密度中有各種參數(shù)。例如： ， ，等。我們要研究這些參數(shù)反映出統(tǒng)計意義，我們通常稱這些指標或與這些參數(shù)相聯(lián)系統(tǒng)計指標為（隨機變量或向量的）數(shù)字特征。本章主要介紹幾種重要的數(shù)字特征期望、方差、協(xié)方差和相關系數(shù)。1.1 問題的提出如何比較北京與武漢兩個城市居民的收入或如何比較兩個班的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的考試成績？人們往往用人均收入或人均分數(shù)進行比較。為簡單起見，見下表概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試成績表  44  55   58   62 

3、;  70  73  77 81 84 88 91 93 97      則平均成績?yōu)椋?稱為隨機變量的數(shù)學期望或均值，1.2 數(shù)學期望的定義 定義1 設離散型隨機變量的分布律為 ，若級數(shù) 絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量的數(shù)學期望，記為 即設連續(xù)型隨機變量的概率密度為 ，若積分 絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量的數(shù)學期望， ，記為 即數(shù)學期望簡稱為期望，又稱為均值。注意：從定義可以看出，是由隨機變量的分布列所確定的一個實數(shù)，它形式上是的一切可能取值，當獨立地取較多的值時，這些值的平均值穩(wěn)定在隨

4、機變量的數(shù)學期望上，的取值可依某種次序一一列舉的，同一種隨機變量的列舉次序可以有所不同，當改變列舉次序時它的數(shù)學期望（均值）應是不變的，這意味著求和次序可以改變，而其和保持不變，由無窮級數(shù)的理論知道，必須有 絕對收斂，即，才能保證它的和不受求和次序的影響。例1、設排球隊A與B進行比賽，若有一隊勝4場則比賽宣布結束，假定A、B在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數(shù)的數(shù)學期望。解 設表示比賽場數(shù)，則可能取 4.5.6.7（場）1.3 幾種常用分布的期望（1） 二點分布 則 （2）二項分布 則 （3）Poissn 分布 則 （4）均勻分布 則 即 為 的中點。（5）指數(shù)分布 的密度為

5、 則 ：（6）正態(tài)分布： 則 這里用到若 為奇函數(shù)且可積。 則 例2 過單位圓上一點P作任意弦PA，PA與直徑PB的夾角服從均勻分布，求弦PA的長的數(shù)學期望。解：由任意的密度函數(shù)為例3 口袋有張卡片，其編號為 1，2，從中有放回地抽取張，求所得號碼之和 的數(shù)學期望。解 設 表示第 次抽到的卡片號碼，則 因為是有放回抽取，所以各個之間獨立同分布 故 1.4、二維隨機變量的數(shù)學期望定義 設二維離散型隨機變量，分布律為 若級數(shù) ， 絕對收斂，則稱 為的數(shù)學期望 為的數(shù)學期望設連續(xù)型隨機變量 的概率密度為，若積分 ， 絕對收斂，則稱 為隨機變量的數(shù)學期望， 為隨機變量的數(shù)學期望，明顯地，定義2可推廣到

6、維情況定理 設的概率密度，而為連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，則 推論：設是的概率密度，則 例4  設相互獨立，且都服從N（0，1），求：解：聯(lián)合密度函數(shù)為1.5、數(shù)學期望的性質（1） 設是常數(shù)，則有 （2） 設 是一個隨機變量，是常數(shù)，則有（3） 設 ，是兩個隨機變量，則有 （4）若 是相互獨立的隨機變量，則 例5 一個農資商店經銷化肥，若銷售一噸則獲利300元，若銷售不出去，到第二年時，由于庫存貸款利息保管及損失每噸虧100元，根據(jù)以往資料，銷售量,問進貨多少噸時使得利潤最高？ 解： 設進貨噸，則利潤 我們只能求使，使 取最大值的 ，的密度函數(shù) 則 令 （噸）例6 將封信隨機地放入

7、個信封中，每個信封放一封信，求放正確的信的封數(shù)的期望。 解 設為放正確的信的封數(shù) 則 于是 由于將 封信放入個信封中，有種，第封信放正確為，先將第封信放入它的信封內，其余封信放入個信封內，有 種，故 從而 故 例7 的聯(lián)合密度為求 ： 和 解： =例8 （期望不存在的例）設 服從Cauchy分布，即 的密度函數(shù)為 則 即積分發(fā)散，從而 不存在2 方 差2.1 問題的提出我們能用平均數(shù)比較兩個國家國民的收入或兩個城市市民的收入或兩個班的學生成績，那么又如何評價收入的差異或學生成績的差異呢？我們還是研究上節(jié)中的學生成績的差異程度，全班30人的平均成績?yōu)?每個學生的成績（的點）到的平均距離，若它越大

8、時，學生之間的成績差異就大。一般地，若變量取值且頻率為 為平均值 若它的數(shù)值越大，則的取值差異就大，反之就小。但由于絕對值數(shù)學處理不方便，人們將上式改造成 這樣就方便用來衡量 取值的差異程度。2.2 方差的定義 定義：設是一個隨機變量，數(shù)學期望存在，如果存在，則稱為隨機變量的方差,并記為或。 對于離散型隨機變量 式中 是的分布律 對于連續(xù)型隨機變量 式中 是的概率密度為注意：（1）當比較集中時 ，則較??； 當比較分散時 ，則較大；是刻畫取值分散程度的一個量。（2）其幾何意義：隨機點到點的距離平方的平均值。2.3 方差的計算公式（在實際計算中常用） 例1 設，求解： 2.4. 幾種常用分布的方差

9、1）均勻分布  2）指數(shù)分布設， 則。3）正態(tài)分布設， 則。4）分布     設  2.5 方差的性質（1）設是常數(shù) ，則(2) 設 是隨機變量，是常數(shù) (3) 設是兩個隨機變量，則有特別地，若 獨立，則 （4） 的充要條件是以概率1取常數(shù) ，即 顯然 證明性質（3） 又 特別地， 當 獨立時，有故有 例1、 袋中有個紅球，個白球，個黑球，從中有放回地取個球，求取得的紅球與白球個數(shù)之和的期望與方差。 解：設隨機變量 表示取到紅球與白球個數(shù)之和 則 且 相互獨立同分布，由期望性質得 又 所以 故 例2. 若b（k;n

10、,p）求：解：令          i=1.2 n        D=np    +例3 設擲兩顆骰子，用, 分別表示第一、第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，求兩顆骰子出現(xiàn)點數(shù)之差的方差。解：令,  分別表示第一、第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)則與同分布，分布列為       故。2.6 標準化隨機變量 設隨機變量 記 稱 為 的標準化隨機變量明顯地 即， 其期望為0，

11、方差為1由于方差是描述隨機變量離數(shù)學期望的平均偏離程度，從而事件 同樣描述隨機隨機變量偏離期望的偏離，它一定與有關。另一方面，如果，則 以上的逆命題成立嗎？即 若 ，則 。因此，我們必須研究 與 的關系 例4 設隨機變量相互獨立，, 服從標準正態(tài)分布，求 解 特別地，當獨立時，有 取 得 因 由計算得 因 由計算得 故 定理：（切比雪夫不等式） 設隨機變量具有數(shù)學期望 方差 則對于任意正數(shù) ，不等式 成立證明：我們只就連續(xù)型隨機變量的情形來證明。設的概率密度為 則有 切比雪夫不等式也可以寫成如下形式： 將契貝曉夫不等式給出的估計式中，只須知道方差及數(shù)學期望兩個數(shù)字特征就夠了，因而使用起來是比較

12、方便的。但因為它沒有完整的用到隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以它給的估計是不精確的。注意：利用契貝曉夫不等式可以證明下列事實：隨機變量的方差 的充要條件是取某個常數(shù)值的概率為1，即這個結論的充分性是顯然的，下面證明必要性。由此可知，從而 其中常數(shù)a3 矩 隨機變量的數(shù)字特征除了上述的數(shù)學期望與方差外，還有其他數(shù)字特征，現(xiàn)介紹隨機變量矩的概念 定義： 設為隨機變量，若記稱為的階原點矩；又若記，則稱為的階中心矩由定義我們不難看出原點矩與中心矩的關系故可得 反過來，由中心矩也可以求原點矩 故可得 顯然 例1 設隨機變量 ，求的階中心矩解：當為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故 當為

13、偶數(shù)時 令 再令 ，則 因而有 4 協(xié)方差與相關系數(shù)4.1 問題的提出 經驗與理論告訴我們，隨機變量之間存在或可能存在數(shù)量之間的關系，但不一定是函數(shù)關系。例如 一個學生的物理成績與他的數(shù)學成績關聯(lián)很大，人們的消費與他的收入有關，如此等等，如何研究它們的關系呢?4.2 協(xié)方差定義定義 稱 為隨機變量與的協(xié)方差，記為 從定義可以看出 4.3、協(xié)方差性質（1）(2) (3) 式中，為常數(shù)4.4、相關系數(shù)定義稱為隨機變量與的相關系數(shù)。定理 隨機變量與的相關系數(shù)滿足(1) （2）的充分必要條件是存在常數(shù)使證明：定理（2）先證必要性 當時，由本章性質（4）： 以概率1取 即有 其中 仿之可證 當時，也有

14、再證充分性： 若存在常數(shù) ，使得 ，則有 所以 即 由此可見：是衡量是否存在線性關系的數(shù)字特征，當越大時，線性程度越大；當越小時，線性程度越小。稱不相關； 稱為完全正相關；稱為完全負相關。相關系數(shù)只是隨機變量之間的線性關系強弱的一個度量，因而說得更確切些，應該稱為線性相關系數(shù)。例1、設為上的均勻分布，又求之間的相關系數(shù)。解： 在該例中不相關，但顯然有也就是說，之間顯然沒有線性關系，卻有另外的函數(shù)關系。由此可知,當時與可能獨立也可能不獨立。例2 已知隨機變量與不相關，且 令試求:與的相關系數(shù)，與不相關解 例3 設隨機變量的數(shù)字特征都存在（1）試比較 和 的大?。?）如果 ，討論和的關系 ()解：（1） 因為 所以當 時 當 時 當 時 （2）因為 故 當同號時 當異號時 例4、設 的聯(lián)合概率密度為 討論 是否獨立，是否不相關。 解：