2.1函數(shù)及其表示

1、1函數(shù)與映射函數(shù)映射兩集合A、B設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空集合對應(yīng)法則f：AB假如按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素*，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)假如按某種對應(yīng)法則f，對于A中的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)名稱這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的映射記法yf(*)(*A)f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(*)，*A中，其中全部*組成的集合A稱為函數(shù)yf(*)的定義域；將全部y組成的集合叫做函數(shù)yf(*)的值域(2)函數(shù)的三要點(diǎn)：定義域、對應(yīng)法則和值域(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有

2、列表法、解析法和圖象法3分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式，這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)4常見函數(shù)定義域的求法類型*滿意的條件，nN*f(*)0與f(*)0f(*)0logaf(*)(a>0，a1)f(*)>0logf(*)g(*)f(*)>0，且f(*)1，g(*)>0tan f(*)f(*)k，kZ【思考辨析】判定下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)對于函數(shù)f：AB，其值域是集合B.(×)(2)若兩

3、個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)(×)(3)映射是非凡的函數(shù)(×)(4)若AR，B*|*>0，f：*y|*|，其對應(yīng)是從A到B的映射(×)(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的(×)(6)若函數(shù)f(*)的定義域?yàn)?|1*<3，則函數(shù)f(2*1)的定義域?yàn)?|1*<5(×)1已知f(*)，其中i是虛數(shù)單位，則f(f(1i)_.答案3解析f(1i)(1i)(1i)2，f(f(1i)f(2)123.2函數(shù)f(*)的定義域?yàn)開答案(2，)解析要使函數(shù)f(*)有意義，需使解得*>2或0<*<.故f(*)

4、的定義域?yàn)?2，)3(2015·課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(*)則f(2)f(log212)_.答案9解析由于21，log212log2831，所以f(2)1log22(2)1log243，故f(2)f(log212)369.4(教材改編)若函數(shù)yf(*)的定義域?yàn)镸*|2*2，值域?yàn)镹y|0y2，則函數(shù)yf(*)的圖象可能是_(填序號)答案解析中函數(shù)定義域不是2,2，中圖象不表示函數(shù)，中函數(shù)值域不是0,2，故填.5給出下列四個命題：函數(shù)是其定義域到值域的映射；f(*)是函數(shù)；函數(shù)y2*(*N)的圖象是一條直線；函數(shù)的定義域和值域確定是無限集合其中真命題的序號有_答案解析對于，函數(shù)是映射，但

5、映射不確定是函數(shù)；對于，f(*)是定義域?yàn)?，值域?yàn)?的函數(shù)；對于，函數(shù)y2*(*N)的圖象不是一條直線；對于，函數(shù)的定義域和值域不確定是無限集合. 題型一函數(shù)的概念例1有以下判定：f(*)與g(*)表示同一函數(shù)；函數(shù)yf(*)的圖象與直線*1的交點(diǎn)最多有1個；f(*)*22*1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；若f(*)|*1|*|，則f0.其中正確判定的序號是_答案解析對于，由于函數(shù)f(*)的定義域?yàn)?|*R且*0，而函數(shù)g(*)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于，若*1不是yf(*)定義域內(nèi)的值，則直線*1與yf(*)的圖象沒有交點(diǎn)，假如*1是yf(*)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，

6、直線*1與yf(*)的圖象只有一個交點(diǎn)，即yf(*)的圖象與直線*1最多有一個交點(diǎn)；對于，f(*)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)法則均相同，所以f(*)和g(t)表示同一函數(shù)；對于，由于f0，所以ff(0)1.綜上可知，正確的判定是.思維升華函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)值得留意的是，函數(shù)的對應(yīng)法則是就結(jié)果而言的(判定兩個函數(shù)的對應(yīng)法則是否相同，只要瞧對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，依據(jù)這兩個對應(yīng)法則算出的函數(shù)值是否相同)(1)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是_y*1與y；y與y；y4lg *與y2lg *2；ylg *2與

7、ylg.(2)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為_答案(1)(2)2解析(1)中兩函數(shù)對應(yīng)法則不同；、中的函數(shù)定義域不同，表示同一函數(shù)(2)中當(dāng)*>0時，每一個*的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象，中當(dāng)*0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象，中每一個*的值對應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象題型二函數(shù)的定義域命題點(diǎn)1求給定函數(shù)解析式的定義域例2(1)函數(shù)f(*)的定義域?yàn)開(2)函數(shù)f(*)的定義域是_答案(1)(3,0(2)(1,1)(1，)解析(1)由題意知解得3<*0，所以函數(shù)f(*)的定義域?yàn)?3,0(2)要使函數(shù)f(*)有意義，需滿意*1>0且*10，得*>1，且

8、*1.命題點(diǎn)2求抽象函數(shù)的定義域例3(1)若函數(shù)yf(*)的定義域是1,2 016，則函數(shù)g(*)的定義域是_(2)若函數(shù)f(*21)的定義域?yàn)?,1，則f(lg *)的定義域?yàn)開答案(1)0,1)(1,2 015(2)10,100解析(1)令t*1，則由已知函數(shù)的定義域?yàn)?，2 016，可知1t2 016.要使函數(shù)f(*1)有意義，則有1*12 016，解得0*2 015，故函數(shù)f(*1)的定義域?yàn)?，2 015所以使函數(shù)g(*)有意義的條件是解得0*<1或1<*2 015.故函數(shù)g(*)的定義域?yàn)?,1)(1，2 015(2)由于f(*21)的定義域?yàn)?,1，則1*1，故0*2

9、1，所以1*212.由于f(*21)與f(lg *)是同一個對應(yīng)法則，所以1lg *2，即10*100，所以函數(shù)f(lg *)的定義域?yàn)?0,100命題點(diǎn)3已知定義域求參數(shù)范圍例4若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_答案1,0解析由于函數(shù)f(*)的定義域?yàn)镽，所以對*R恒成立，即*22a*a0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.思維升華簡潔函數(shù)定義域的類型及求法(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解(2)抽象函數(shù)：無論是已知定義域還是求定義域，均是指其中的自變量*的取值集合；對應(yīng)f下的范圍全都(3)已知定義域求參數(shù)范圍，可將沖突轉(zhuǎn)化，列出含參數(shù)的不等式(組)，

10、進(jìn)而求范圍(1)已知函數(shù)f(*)的定義域是0,2，則函數(shù)g(*)f(*)f(*)的定義域是_(2)函數(shù)y的定義域?yàn)開答案(1)，(2)(1,1)解析(1)由于函數(shù)f(*)的定義域是0,2，所以函數(shù)g(*)f(*)f(*)中的自變量*需要滿意解得：*，所以函數(shù)g(*)的定義域是，(2)由得1<*<1.題型三求函數(shù)解析式例5(1)已知f(1)lg *，則f(*)_.(2)已知f(*)是一次函數(shù)，且滿意3f(*1)2f(*1)2*17，則f(*)_.(3)已知函數(shù)f(*)的定義域?yàn)?0，)，且f(*)2f()·1，則f(*)_.答案(1)lg(*>1)(2)2*7(3)解

11、析(1)(換元法)令t1(t>1)，則*，f(t)lg，即f(*)lg(*>1)(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(*)a*b(a0)，則3f(*1)2f(*1)3a*3a3b2a*2a2ba*5ab，即a*5ab2*17不論*為何值都成立，解得f(*)2*7.(3)(消往法)在f(*)2f()1中，用代替*，得f()2f(*)1，將f()1代進(jìn)f(*)2f()1中，可求得f(*).思維升華函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(*)的解析式，可用換元法，此時要留意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f

12、(g(*)F(*)，可將F(*)改寫成關(guān)于g(*)的表達(dá)式，然后以*替代g(*)，便得f(*)的解析式；(4)消往法：已知f(*)與f或f(*)之間的關(guān)系式，可依據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(*)(1)已知f(1)*2，則f(*)_.(2)定義在R上的函數(shù)f(*)滿意f(*1)2f(*)若當(dāng)0*1時，f(*)*(1*)，則當(dāng)1*0時，f(*)_.(3)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(*)滿意2f(*)f(*)lg(*1)，則f(*)_.答案(1)*21(*1)(2)*(*1)(3)lg(*1)lg(1*) (1<*<1)解析(1)設(shè)1t(t1)，則t1.

13、代進(jìn)f(1)*2，得f(t)t21(t1)，f(*)*21(*1)(2)當(dāng)1*0時，0*11，由已知f(*)f(*1)*(*1)(3)當(dāng)*(1,1)時，有2f(*)f(*)lg(*1)以*代替*得，2f(*)f(*)lg(*1)由消往f(*)得，f(*)lg(*1)lg(1*)，*(1,1)2分類爭辯熟悉在函數(shù)中的應(yīng)用典例(1)(2014·課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(*)則使得f(*)2成立的*的取值范圍是_(2)(2015·山東改編)設(shè)函數(shù)f(*)則滿意f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是_解析(1)當(dāng)*<1時，e*12，解得*1ln 2，*<1.當(dāng)*1時，解得*8

14、，1*8.綜上可知*(，8(2)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.當(dāng)a<1時，有3a11，a，a<1.當(dāng)a1時，有2a1，a0，a1.綜上，a.答案(1)(，8(2)溫馨提示(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，然后選定相應(yīng)關(guān)系式代進(jìn)求解(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時，應(yīng)依據(jù)每一段解析式分別求解，但要留意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍(3)當(dāng)自變量含參數(shù)或范圍不確定時，要依據(jù)定義域分成的不同子集進(jìn)行分類爭辯方法與技巧1在判定兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對應(yīng)法則

15、是否相同2定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是爭論函數(shù)的前提依據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的爭辯，必需在定義域上進(jìn)行3函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消往法4分段函數(shù)沖突要分段求解失誤與防范1復(fù)合函數(shù)fg(*)的定義域也是解析式中*的范圍，不要和f(*)的定義域相混2分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，假如自變量的范圍不確定，要分類爭辯A組專項前提練習(xí) (時間：40分鐘)1下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是_f(*)*，g(*)()2；f(*)*2，g(*)(*1)2；f(*)，g(*)|*|；f(*)0，g(*).答案解析在中，定義域不同，在中，解析式不同，在中，定義域不同

16、2已知函數(shù)f(*)的定義域?yàn)镸，g(*)ln(1*)的定義域?yàn)镹，則M(RN)_.答案(，1)解析M(1,1)，N(1，)，故M(RN)(，1)3已知f(*)為偶函數(shù)，且當(dāng)*0,2)時，f(*)2sin *，當(dāng)*2，)時，f(*)log2*，則ff(4)_.答案2解析由于ff2sin，f(4)log242，所以ff(4)2.4已知f(*)，則不等式*·f(*)2的解集是_答案*|*1解析原不等式可化為或解得0*1或*<0.*1.5已知函數(shù)f(*)滿意f()log2，則f(*)的解析式是_答案f(*)log2*解析依據(jù)題意知*>0，所以f()log2*，則f(*)log2l

17、og2*.6已知函數(shù)f(*)log2，f(a)3，則a_.答案解析由題意可得log23，所以23，解得a.7已知函數(shù)yf(2*)的定義域?yàn)?,1，則yf(log2*)的定義域是_答案，4解析函數(shù)f(2*)的定義域?yàn)?,1，1*1，2*2.在函數(shù)yf(log2*)中，log2*2，*4.8(2015·浙江)已知函數(shù)f(*)則f(f(3)_，f(*)的最小值是_答案023解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，當(dāng)*1時，f(*)*323，當(dāng)且僅當(dāng)*時，取等號，此時f(*)min23<0；當(dāng)*1時，f(*)lg(*21)lg 10，當(dāng)且僅當(dāng)*0時，取等號，此時

18、f(*)min0.f(*)的最小值為23.9已知f(*)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f(*1)f(*)*1，求函數(shù)f(*)的解析式解設(shè)f(*)a*2b*c (a0)，又f(0)0，c0，即f(*)a*2b*.又f(*1)f(*)*1.a(*1)2b(*1)a*2b*1.(2ab)*ab(b1)*1，解得f(*)*2*.10依據(jù)如圖所示的函數(shù)yf(*)的圖象，寫出函數(shù)的解析式解當(dāng)3*<1時，函數(shù)yf(*)的圖象是一條線段(右端點(diǎn)除外)，設(shè)f(*)a*b(a0)，將點(diǎn)(3,1)，(1，2)代進(jìn)，可得f(*)*；當(dāng)1*<1時，同理可設(shè)f(*)c*d(c0)，將點(diǎn)(1，2)，(1,1)代進(jìn)，可得f(*)*；當(dāng)1*<2時，f(*)1.所以f(*)B組專項力量提升(時間：20分鐘)11若函數(shù)y的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案0,3)解析由于函數(shù)y的定義域?yàn)镽，所以a*22a*30無實(shí)數(shù)解，即函數(shù)ya*22a*3的圖象與*軸無交點(diǎn)當(dāng)a0時，函數(shù)y的圖象與*軸無交點(diǎn)；當(dāng)a0時，則(2a)24·3a<0，解得0<a<3.綜上所述，a的取值范圍是0,3)12若函數(shù)f(*)，則(1)_；(2)f(3)f(4)f(2 017)f()f()f()