第三講余數(shù)問(wèn)題

1、第三講 余數(shù)問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)一、巧算余數(shù)的方法：(1) 主要思想：被除數(shù)去掉或者添上除數(shù)的倍數(shù)，不會(huì)改變余數(shù)。(2) 余數(shù)的特征： 2， 3，5，7，9，11，13，4，8，25，125。(3) 在加，減，乘的混合運(yùn)算中如何去求余數(shù)，兩數(shù)之和的余數(shù)等于兩數(shù)余數(shù)的和，兩數(shù)之積的余數(shù)等于兩 數(shù)余數(shù)的乘積。二、了解同余符號(hào)，和有關(guān)的性質(zhì)，掌握“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題的解法。例題1. 一個(gè)兩位自然數(shù)去除 375，余 15，這個(gè)數(shù)可能是 ；解答：375 15= 360,這個(gè)兩位數(shù)一定是360的約數(shù)，且大于15 (除數(shù)比余數(shù)大)。那么這個(gè)數(shù)為：90,72， 60， 45， 40， 36， 30， 24， 20， 18

2、.2. 一個(gè)三位數(shù),被 17除余5,被18除余12,那么它可能是 ；一個(gè)四位數(shù),被 131 除余 112,被 132 除余 98,那么它可能是 ；解答：設(shè)此三位數(shù)為 17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7 一定能被17整除，b=10,27,44.這個(gè)三 位數(shù)為 192, 498, 804.設(shè)此四位數(shù)為131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14 定能被131整除，y=14，145 (太大)這個(gè)四位數(shù)是 19463. 甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別為 603，939，393。某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是 A除乙數(shù)所得余數(shù)的 2倍，A除乙數(shù) 所得余

3、數(shù)是 A 除丙數(shù)所得余數(shù)的 2 倍。 A 是；解答：如果A除丙所得的余數(shù)是1份的話，那么A除乙所得余數(shù)就是 2份，A除甲所得的余數(shù)就是 4份。 把2乙-甲，則沒(méi)有余數(shù)，即2乙-甲使A的倍數(shù)；同理乙-2丙也同樣沒(méi)有余數(shù)，是A的倍數(shù)。939 X 2-603=1275 , 939-393 X 2=153A是1275和153的公約數(shù)，而1275與153的最大公約數(shù)是 51,所以A可能是1, 3, 17, 51 再實(shí)驗(yàn)得到 A 為 17 ，余數(shù)分別為 8、 4、 2。2) 一個(gè)數(shù)除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此條件的數(shù)最小是 ;如果它是一個(gè)四位數(shù)，那么最大可能是；解答：(1)此數(shù)除以3余2

4、，除以5余3，除以7余2,滿足條件最小數(shù)是23(2)滿足除以7余3，除以11余7的最小數(shù)為73,設(shè)此數(shù)為73 + 77a=13b+4, 69 a=13b.a最小等于4滿足條件的最小數(shù)是 381.設(shè)最大的四位數(shù)為 381 + 1001x,最大的四位數(shù)為9390.5. 今天周一，20072007天之后是星期 ;這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是 ;2007!斗(3668 x 668!)天之后是星期 ；解答：只要求出20072007十7的余數(shù)就可以知道 20072007天后是星期幾。20072007三52007 ( mod* , 56三1(mod7)2007= 3 ( mod6) , 20072007 = 5200

5、7= 5 3 = 6 ( mod7)s所以20072007天之后是星期日2007的個(gè)位數(shù)字是720072的個(gè)位數(shù)字是920073的個(gè)位數(shù)字是320074的個(gè)位數(shù)字是120075的個(gè)位數(shù)字是120076的個(gè)位數(shù)字是7可以看出個(gè)位數(shù)字是4個(gè)一循環(huán)，2007-4= 501.3,20072007的個(gè)位數(shù)字是3.668 6682007P-(3668!) =2007 X 2006 X 2005 X .X 669 - 3算式 2007 X 2006 X 2005 X .X 669 中因數(shù) 3 的個(gè)數(shù)為：Z007 + 2007 + -2007 + 2007 +-2007 392781243729r 66866

6、8668668668=669 + 223 + 74 + 24 + 8+ 2 222 74 24 8 2 = 670.3927812432007!亠(3668 668!) =2007 X 2006 X 2005 X .X 669 十 3668 的余數(shù)為 0.2007!亠(3668 668!) =2007 X 2006 X 2005 X .X 669 十 3668十 7 的余數(shù)也為 0.所以2007! “ (3668668!)天之后是星期一。6. 求 200720072Q072007 除以 9、11、99、101、999、1001、13 和 91 的余數(shù)分別是多少；2007個(gè)解答：9：200720

7、072Q072007 除以 9 的余數(shù)是 0，2007個(gè)11： 一個(gè)2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字的和的差為5. 2007個(gè)2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字的和的差為 5X 2007。200720072Q072007 = 5X 2007= 3 ( mod11),所以 2007200720072007 除以 11 的余數(shù)是 32007個(gè)2007個(gè)99:能被9整除，被11除余3的數(shù)最小是36,所以2007200720072007除以99余362007個(gè)200720072007 能被 7, 13, 37 整除。999 = 27X 371001 = 7X 11X 1391 = 7 X 131

8、3:2007. .2007 = 0 ( mod132007. .2007除以 13 余 02 0 0 7200791:2007.2007 = 0 ( mod91 2007.2007除以 91 余 020072007所以2007.2007除以13, 91, 999的余數(shù)都是0.20071001:除以11余3,除以7, 13余0,滿足次條件的最小數(shù)是1092, 1092除以1001余91所以2007.20072007除以1001的余數(shù)是91.101:我們發(fā)現(xiàn)9999=101 X 99,所以2OO7.2OO7=2QQZv.2QQ70000+2007= 2007.2007 X 10000+200720

9、0720062006=2007.2007X 9999+ 2007.2007+2007 = 2007.2007+2007 (mod101)2006 2006 2006同樣道理2007.£37+2007 = 2007.2007+2007 X 2 (mod101)20062005以此類推 2007.2007 = 2007X 2007 (mod101) =6820077. 求199200除以9的余數(shù)是 解答：一位數(shù)個(gè)位數(shù)字之和是 1+2+3+.9=45二位數(shù)數(shù)字之和是1 X 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 X 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 X 10+1+2+3+ .

10、9 (90-99)故二位數(shù)總和為(1+2.+9) X 10+1+2 .+9=495100 199與1 99的區(qū)別在于百位多了100個(gè)1,共100所以原數(shù)數(shù)字值和為 45+495+495+100+2=1137，除以9余3。習(xí)題：1、盒乒乓球，每次 8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)，12個(gè)12個(gè)地?cái)?shù)，最后總是剩下 3個(gè).這盒乒乓球至少有 多少個(gè)？分析與解答：如果這盒乒乓球少 3個(gè)的話,8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù),10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù),12個(gè)12個(gè)的數(shù)都正好無(wú)剩余，也就是這盒乒乓 球減少3個(gè)后是8,10,12的公倍數(shù)，又要求至少有多少個(gè)乒乓球 ，可以先求出8,10,12的最小公倍數(shù)，然后再 加上3.2 8 10 122

11、53故8,10,12的最小公倍數(shù)是 2 2 2 5 3=120.所以這盒乒乓球有 123個(gè).2、自然數(shù)，用它分別去除63,90,130都有余數(shù),三個(gè)余數(shù)的和是25.這三個(gè)余數(shù)中最小的一個(gè)是分析與解答：設(shè)這個(gè)自然數(shù)為 m,且m去除63,90,130所得的余數(shù)分別為a, b, c,則63-a,90- b,130- c都是m的倍數(shù)于是(63- a)+(90- b)+(130- c)=283-( a+b+c)=283-25=258 也是 m的倍數(shù).又因?yàn)?258=2 3 43.則m可能是2或3或6或43(顯然m = 1 ,86,129,258), 但是a+b+c=25,故a, b, c中至少有一個(gè)要大于 8(否則,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,這與a+b+c=25矛盾).根據(jù)除數(shù) m必須大于余數(shù)，可以確定m=43.從而a=