等差數(shù)列地性質(zhì)以及常見題型

1、等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見題型上課時(shí)間:上課教師：上課重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列的常見題型，準(zhǔn)確的運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)上課規(guī)劃：掌握等差數(shù)列的解題技巧和方法一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用1. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 3n 2 ,試問該數(shù)列是否為等差數(shù)列2. 已知：1丄丄成等差數(shù)列，求證： 匕二,3 也成等差數(shù)列x y zx y z思考題型；已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an pn2 qn （ P4 R，且p,q為常數(shù)）（1）當(dāng)P和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列？（2）求證：對于任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列am an是等差數(shù)列。二等差數(shù)列的性質(zhì)考察（一）熟用 an ai （n l）d am （n m）d , dam 問

2、題n m（注意：知道等差數(shù)列中的任意項(xiàng)和公差就可以求通項(xiàng)公式）1、 等差數(shù)列 an 中，a3 50，as 30，則 a? .2、等差數(shù)列an中，a3as24，a?3，貝卩a6 .3、 已知等差數(shù)列an中，a?與a6的等差中項(xiàng)為5 , a3與a?的等差中項(xiàng)為7 ,貝 y an _.4、 一個等差數(shù)列中 ai5= 33 , a?s= 66，則 a35=:5、 已知等差數(shù)列an中，ap q , aq p，則ap q .（二）公差d的巧用（注意：等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)）1、已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差等于2、 等差數(shù)列印包忌丄耳的公差為d ,則數(shù)列5a1,5a?,5

3、a3,L ,5a.是（）A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為5d的等差數(shù)列C.非等差數(shù)列D.以上都不對3、等差數(shù)列an中，已知公差d12，且 a1 aa L a99 60，貝卩 a1 a： L 印。A. 170B. 150C. 145D. 1204.已知x y ,且兩個數(shù)列x,a1,a2,am,y與x,b1, b2, bn, y各自都成等差數(shù)列，則a2 a1等于()b2b|A m Bm 1C-Dn 1nn 1mm 15. 一個首項(xiàng)為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則公差d為（）A -2 B -3 C -4 D -5（三）m n s t am a. as at性質(zhì)的應(yīng)

4、用（注意：角標(biāo)的數(shù)字）1.等差數(shù)列aIn中，若a3a4a5a6a7450，貝卩 a2 a82.等差數(shù)列an中，若a4a5a6a7450 ,則 S10。3.等差數(shù)列an中，若S1320。則 a7。4.等差數(shù)列an中，若a1110 ,貝 S S21。5.在等差數(shù)列an 中 a3an40，則 a4a5a6a7aa9a106.等差數(shù)列an中，a1 a2a324, a18a19a2078 ,則 S207. 在等差數(shù)列an中，a4 a5 12，那么它的前8項(xiàng)和S8等于。8. 如果等差數(shù)列an中，a3a4as12，那么aia2La7。9. 在等差數(shù)列an中，已知ai a2 a320，那么as等于。10. 等

5、差數(shù)列an中，它的前5項(xiàng)和為34,最后5項(xiàng)和146,所有項(xiàng)和為234,則a7 .11. 已知數(shù)列 aj 的前 n項(xiàng)和 Sn=n2+3n+1，則 a+a3+a5+a21=。12. an為等差數(shù)列，a1+a2+q=15, an+an1+an2=78, S=155,則n=。（四）方程思想的運(yùn)用（注意：聯(lián)立方程解方程的思想）1. 已知等差數(shù)列an中，S=21, S=24,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和&2.已知等差數(shù)列an中，a3a716, a4 a6 0,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn（五）Sn,S2n Sn,S3n S?n也成等差數(shù)列的應(yīng)用1. 等差數(shù)列前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)和是100，則它的前3m項(xiàng)和

6、。2. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為40,前2n項(xiàng)的和為120，求它的前3n項(xiàng)的和為。3. 已知等差數(shù)列an中，S3 4,S9 12,求S15的值.4. 已知等差數(shù)列an中，印a2 a3 2,a4a6 4,則的值5. a1, a2 , a3, Shn+1為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)和為60,偶數(shù)項(xiàng)的和為45,求該數(shù)列的項(xiàng)數(shù).6. 若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個數(shù)列有。7. 在等差數(shù)列an中，S= 1, Sb= 3,則a17 + a18 + aw +阪的值是。（六）an乩的運(yùn)用2n 11.設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列an , g的前n項(xiàng)和，若對任意n N

7、* ,都有Tn7n 14n 272.設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列an , g的前n項(xiàng)和，若對任意n N* ,都有Sn = 3n 1TT = 4T13. 有兩個等差數(shù)列an , bn ,其前n項(xiàng)和分別為Sn ,，若對n N有旦 匹二T n 2 n 3 成立，求匹=（）。b5（七）an與Sn的關(guān)系問題；1. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n n2，則an =2. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= n2 n 1，則a“ =3. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= n 2n2,則a. =4. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 3n2 4n ,則a. =5. 數(shù)列a.的前n項(xiàng)和&= 2n 1,則a. =6. 數(shù)列4n 2的

8、前n項(xiàng)和Sn=.7. 數(shù)列 4n 8的前n項(xiàng)和Sn=.8. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 8n2-10.則an （八）巧設(shè)問題；一般情況，三個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)：a d,a,a d ;四個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè):a 3d,a d,a d,a 3d .1.三個數(shù)成等差數(shù)列，和為18,積為66,求這三個數(shù).2. 三個數(shù)成等差數(shù)列，和為18,平方和為126,求這三個數(shù).3. 四個數(shù)成等差數(shù)列，和為26,第二個數(shù)和第三個數(shù)的積為40,求這四個數(shù).4. 四個數(shù)成等差數(shù)列，中間兩個數(shù)的和為13,首末兩個數(shù)的積為22,求這四 個數(shù).5. 一個等差數(shù)列的前32: 27,求公差（九）.最值問題：;12項(xiàng)之和為354,前12

9、項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為ai 80,d6,求Sn的最大值.2.在等差數(shù)列an中,ai 80,d5,求Sn的最大值.3.在等差數(shù)列an中,ai80,d 6 ,求Sn的最小值.4.在等差數(shù)列an中,ai80,d 5,求Sn的最小值.1.在等差數(shù)列an中,5.等差數(shù)列an中，ai 0,S4 S9，則n的取值為多少時(shí)？ Sn最大6. 在等差數(shù)列an中，34 = - 14,公差d= 3,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S. 的最小值7. 已知等差數(shù)列an中ai=13且 S3二斗，那么n取何值時(shí)，&取最大值.8. 在等差數(shù)列an中，若asa9 ,公差dv0,那么使其前n項(xiàng)和Sn為最大值的自然數(shù)n的值是.（十）

10、累加法的應(yīng)用裂項(xiàng)相消1. 已知數(shù)列an滿足:an an 1 2n g 1 ,求an.2. 已知數(shù)列 an滿足:an i an 4n 1, ai 1 ,求 an.3.已知數(shù)列an滿足：an1 an2n 1,a1 4,求 a2o.4.在數(shù)列a n中，a12, an 1 an ln（1 丄）,求 an.n（十一）由an求an的前n項(xiàng)和1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和£ n2 4n，則ai L |印。| 2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn n2 4n，bna，則數(shù)列也的前n項(xiàng)和人 3.數(shù)列 an 中，ai 8® 2，滿足 an 2 2a. 1 a. 0, n N* .(1)求通項(xiàng)an ；(2)設(shè) S

11、n aa2L|昂，求 Sn ；(3)設(shè)bn- ,n N*,Tn b,b2Lbn,nN*，是否存在最大的整數(shù)m ,n 12 an使得對于任意n N*，均有Tn 成立，若有求之，若無說明理由.32(十二)由Sn得an的題型、直接法1.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , (n N*)。(1) 求數(shù)列an通項(xiàng)公式an ；(2) 求證：當(dāng)n 2時(shí)，A丄A La2 a3 a4a1 -，且滿足2Sn 132 an2Sn3an倒數(shù)法(n N ),求 a1.已知數(shù)列 an 中，an 工0, a1 = - , an1 = an一21 2an12.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1 -,an 2SnSn 1

12、 0（n 2）1（錯誤！未找到引用源。）判斷$是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；（錯 誤!未找到引用源。）求Sn和an ；（錯誤！未找到引用源。）求證：S2 S22Sn2-1。2 4n3.已知函數(shù)f（x） （ a,b為常數(shù)，a 0）滿足f（2） 1且f（x） x有唯ax b解。（1）求 f（x）的解析式（2） 如記 xnf（XnJ，且為 1， n N，且 xn。數(shù)列與函數(shù)1.已知二次函數(shù)y f(x) f(x) 3x2 2x，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn) (n,Sn)(n N )均在函數(shù)y f(x)的圖像上。(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(II )設(shè)bnTn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得對所有n N都anan 120成立的最小正整數(shù)m倒序相加12.設(shè)函數(shù)f x