數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an 1 an d ( d 為常數(shù))，a. q n 1 d ,推論公式：？?= ?+ (?- ?) ?(? ?, n> m)等差中項(xiàng)：x,A,y 成等差數(shù)列2A xy,?=?-1；?+1,2?=?_1+?+1(?>2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和：Snai冇n nai n n 1 d2 2性質(zhì)：an是等差數(shù)列(1) 若m n p q，則am a. ap aq;(下標(biāo)和定理)注意：要求等式左右兩邊項(xiàng)數(shù)相等(2) 數(shù)列a2n 1 , a2n , a2n 1仍為等差數(shù)列，Sn, S?n Sn,務(wù)S?n仍為等差數(shù)列，公差為門勺；S2m 1T2m

2、1(3) 若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為a d, a, a d ;(4) 若an, bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn，貝U巴bm(5) an為等差數(shù)列Sn an2 bn ( a, b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù))Sn的最值可求二次函數(shù)Sn an2 bn的最值；或者求出a.中的正、負(fù)分界項(xiàng)，an 0即：當(dāng)a1 0, d 0,解不等式組可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.an 10當(dāng) a10, dan 00,由am 0可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an有S2nn(a1 a2n)n (a?a?n 1)n(an an 1)60 1為中間兩項(xiàng))S偶S奇nd ,(7)項(xiàng)數(shù)為奇

3、數(shù)2n 1的等差數(shù)列an 有S?n 1(2n 1)an(an為中間項(xiàng))S偶n 12. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義:an 1q （ q 為常數(shù)，q 0 ）, a.n 1qq .推論公式:?= ?一?（？,? ?且 n > m）等比中項(xiàng)：X、G、y成等比數(shù)列G xy，或G ,xy.等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)?-1 ?+1 (?2)?= 1) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：?= ?(1-? = ?1殳竺?(？步1)1-?1-? /性質(zhì)：On是等比數(shù)列(1) 若m n p q，則a. ap- aq (下標(biāo)和定理)注意：要求等式左右兩邊項(xiàng)數(shù)相等。(2) Sn, S2n Sn, Ssn S?n仍為等比數(shù)

4、列，公比為q"。.(3) an是正項(xiàng)等比數(shù)列，則?是等比數(shù)列。注意：由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么？n 1 時(shí)，a1 S-i ;n 2 時(shí)，an £ Sn 13. 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法an 血 1)SnSn 1( n2)（1）定義法求通項(xiàng)公式（已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列）（2）已知Sn與n的關(guān)系 或Sn與an的關(guān)系時(shí)求an例： 數(shù)列 丿的前嚀項(xiàng)和S " + .求數(shù)列秒的通項(xiàng)公式；解：當(dāng)卞二-時(shí) I-數(shù)列J的通項(xiàng)公式為2 伍=1)2m- 1(»2)練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前"項(xiàng)和為，且，廠求數(shù)列 J的通項(xiàng)公式（3）求差（商）法1 1例：數(shù)列an , 2a1

5、尹22n 5 ,求 an解：n 1時(shí)，1a12 1 5，. a11421115a12 a2an 2n2222nn 2時(shí)，111二印2 a2_n 1 an 12n 1 52222an1一得：2an 2，二 an 214(n 1)2n 1 (n 2)練習(xí)：在數(shù)列?中，？=1, ?+ ?!+ ?|+ ? + ?2?= ?訊？?鄉(xiāng))，求數(shù)列?的通項(xiàng)公式(4)累乘法形如竽=?的遞推式由加 f (n)，則a2 anaif (1),-f(2)，L ,加 f(n)a2On兩邊分別相乘得,an 1OinOif(k)k 1例:數(shù)列On 中,01 3十百，求On解生030 02On12 an 123n 1. a?

6、* *na11又 a13,二 ann3?-1?= 3, ?+1 = -?> 1),求數(shù)列?的通項(xiàng)公式。 練習(xí)：已知"3?+2"(5)累加法形如?+1 - ?= f(?的遞推式。由an an 1 f(n) , a1 a0,求a.,用迭加法a2 a1f (2)a3 a2f (3)n 2時(shí), 兩邊相加得an a1f (2) f (3) f(n)an an 1 f (n)二 an Oo f(2)f(3)f(n)例：已知數(shù)列滿足?= 1,?= ?-1 + 3? 2(?2) ,(1)求？與?的值。(2)求數(shù)列"的通項(xiàng)公式(6)構(gòu)造法形女口 On Can 1練習(xí)：已知數(shù)列

7、 中,L- ;亠” - - C廠)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;d ( c、d為常數(shù)，c 0 , c 1 , d 0 )的遞推式可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an x c an 1an can 1 c 1 x令(C 1)x d , X禽， an角是首項(xiàng)為ai化，c為公比的等比數(shù)列d- anc 1d.n 1.dn 1dac , anqcc 1c 1c 1例：已知數(shù)列滿足'-、：.求數(shù)列補(bǔ)的通項(xiàng)公式；解1) 丁廠込+1廠盼+1二如 T , 貳L i ,故數(shù)恥 7是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，因此1練習(xí)1：已知數(shù)列?中?= 2,?+1 = 3?+ 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。練習(xí)2：已知數(shù)列an滿足an 1 2an

8、 3 5n,內(nèi)6，求數(shù)列 昂 的通項(xiàng)公式例：a 1 a2an求-a n例：a1i, an 1求an 2由已知得：1an 211 1由已知H得：? * *an 12 an2anan 11 1為等差數(shù)列丄1,公差為1為等差數(shù)列ana2(7)倒數(shù)法練習(xí)：已知數(shù)列：的首項(xiàng)，?= 1。?+111an21 ,11 ,21n 1 _n 1 ,anan22n 1(?內(nèi)求數(shù)列'的通項(xiàng)公式總結(jié)：公式法、利用 anS1(n 1)S Sn 1 (n 2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比an 1 pan q或 an 1 pan f(n)、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法4. 求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1) 定義法

9、：如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，這用對(duì)應(yīng)的公式求和等差數(shù)列前n項(xiàng)和：Sn4 an n na!丄 d2 2?= 1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：?= ?(1-?° =竺冬?(？步1)1-?1-?丿常見公式：?= E?=1 ?= 2?卞 1)1+3+5+? + (2?- 1) = ?12 + 22 + 32 + ? + ? = 1? 1)(2? 1) ,13 + 23 + 33 + ? + ?= ;?+ 1)2(2) 錯(cuò)位相減法給?= ?+ ?+ ? + ? + ?兩邊同乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式，然后把所得的等式與原等式相減，對(duì)應(yīng)項(xiàng)互相抵消，最后得出前n項(xiàng)的和？?.一般適用于an為等差數(shù)列，b

10、n為等比數(shù)列，求數(shù)列 anbn (差 比數(shù)列)前n項(xiàng)和，可由Sn qSn，求Sn，其中q為bn的公比.2例：Sn 1 2x 3x4x3n 1nx2_3x- S x 2x 3x4X4nnx一1x SnnnxX 1 時(shí)，SnnX21 Xnnx1 X1 時(shí)，Sn練習(xí)：已知數(shù)列' 是等差數(shù)列,J是等比數(shù)列，且- 二瓦=54 內(nèi)+包+碼=婦+鳥? J (1)求數(shù)列 ；:和,的通項(xiàng)公式(2)數(shù)列J滿足；''' '，求數(shù)列的前N項(xiàng)和»：.(2)裂項(xiàng)法把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)差的形式，相加過程中消去中間項(xiàng)，只剩下有限項(xiàng)再求和常見形式：若an是公差為d的等差數(shù)列

11、，則卅?-總)(2?-1 )(2?+1)1?+1)(?+2)1 V?+V?12( ?+d(?+1)(?+2)1右(皿V?)1"?"=?( d合?- V?)如：an是公差為d的等差數(shù)列，求k 1 akak 1卄t11111解：由-d0ak - ak1ak akddakak1 n 1n 1 1 111111k 1 akak 1k 1 d akak 1da1a2a2a31 1 1d a1 an 11 1anan 1練習(xí)：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和'1 _ '"，"1 '求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列W心+1的前n項(xiàng)和'。(3) 倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加SnSnaa?anan 1an 1 ana?a相加2snaiana2an 1aian練習(xí)已知f(x)f(1) f(2)f(3)由 f(x) f - xx21 x2原式 f(1)f(2