一元二次方程的幾種解法

1、一元二次方程的幾種解法一元二次方程的幾種解法 引例剪一塊面積為150cm2的長(zhǎng)方形鐵片，使它的長(zhǎng)比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？解：設(shè)這塊鐵片的寬為x cm，那么它的長(zhǎng)為（x+5) cm. 根據(jù)題意，得 x（x+5)=150. 去括號(hào)，得 x2+5x=150. 第十二章第十二章 一元二次方程一元二次方程 12.1 用公式解一元二次方程用公式解一元二次方程 第一節(jié)一、一元二次方程的定義一、一元二次方程的定義 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程的整式方程叫做一元二次方程.1、只含一個(gè)未知數(shù)的只含一個(gè)未知數(shù)的 一元方程一元方程

2、；2、未知數(shù)的最高次數(shù)是未知數(shù)的最高次數(shù)是2的的 二次方程二次方程；3、整式方程整式方程.15052 xx015052xx7)3(2x0262xx0532xx01212x042x3522x5 xx0322yx12322xxx（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是一元方程）.16126222xxxx合并同類項(xiàng)：去括號(hào)：3522x5 xx0322yx12322xxx（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是一元方程）（不是二次方程）（不是二次方程） 一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx

3、+c=0 (a0)完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 不完全的不完全的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0 (a0,c0)ax2+bx=0 (a0,b0)ax2=0 (a0)（）（）化為一般形式后化為一般形式后，（）（）二次項(xiàng)的系數(shù)是否為二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0是判斷一元二次方程的關(guān)鍵是判斷一元二次方程的關(guān)鍵. .例、方程是否例、方程是否為一元二次方程？如果不是，說(shuō)明理由；為一元二次方程？如果不是，說(shuō)明理由；如果是，指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)如果是，指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng). .82213xxx解：去括號(hào)，得解：去括號(hào)，得 3x

4、2-3x=2x+4+8.移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 3x2-3x-2x-4-8=0.合并同類項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得 3x2-5x-12=0.原方程是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)是原方程是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)是 - 5- 5，常數(shù)項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)是 12 12. . 0232 xx. 03522xx. 2532 xx. 32312xx（1）（2）（3）（4）答：答：a=1, b=3, c= -2.答：答：a=3, b=-5, c= 2.答：答：a=-2, b=-5, c= 3. 02532xx. 056, 3234622xxxxx答：答：a=6, b=1, c= -5. 練習(xí)：說(shuō)出下列方

5、程的二次項(xiàng)系數(shù)、一練習(xí)：說(shuō)出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：例例2 2、 已知：關(guān)于已知：關(guān)于x的方程的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程是一元二次方程, 求：求：m的取值范圍的取值范圍.解：解：原方程是一元二次方程，原方程是一元二次方程，2m-10， m .21二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法：ax2=0 (a0)ax2=0 (a0)2x2=0,解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法：ax2=0 (a0)5x2=0,解：解：x2=0，

6、 x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法：ax2=0 (a0)-3x2=0,解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法：ax2=0 (a0) ax2=0,解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： 4x2=36,解：解：x2=9， x=3.即即x1=3, x2= -3. 4x2=36,x2=9，4x2-36=0.解：解： x=3.即即x1=3, x2= -3.02cax.2cax.2acx.acx當(dāng)ac0時(shí) ， 形如形如 （a0，c 0）的的一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：當(dāng)ac0

7、時(shí) ，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.解法解法1、直接開平方法、直接開平方法如如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,等等等等. x2=8. 22, 8xx解：2x2=9. .223,223,223,29,29212xxxxx解：-3x2+7=0.解：.321,321,321,37,37,732122xxxxxx. 522x. 52x. 52x. 52,5221xx即： 將將(x-2)看作一個(gè)看作一個(gè)整體整體, 開平方，得開平方，得:. 5222x,2522x解：系數(shù)化解：系數(shù)化1，得，得. 5222x.252x,21021x,2522x解：解：系數(shù)化系數(shù)化1，得，得2102 x開平方開

8、平方，得，得解這兩個(gè)一元一次方程解這兩個(gè)一元一次方程，得，得.2102x或或.21022x解法解法1：直接開平方法：直接開平方法 凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0)的一元二次方程都可用直接開平方法解的一元二次方程都可用直接開平方法解. 522x. 5442xx. 522x. 5442xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得. 522x. 5442xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得.142xx. 522x. 5442xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，

9、湊成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得. 41442 xx.142xx. 522x. 5442xx. 0142 xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得. 41442 xx.142xx配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，湊成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得. 522x. 5442xx. 0142 xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得. 41442 xx.142xx解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，湊成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得. 522x. 5442xx. 0

10、142 xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得. 41442 xx.142xx解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得開平方，開平方，得得. 52x. 52,5221xx解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，湊成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得怎樣配方：怎樣配方：常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方系數(shù)一半的平方. .a22ab+b2=(ab)2. 522x. 5442xx. 0142 xx寫成（）寫成（）2 的形式的形式，得得配方配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得

11、系數(shù)一半的平方，得. 41442 xx.142xx解：解： 移項(xiàng)移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得開平方開平方，得得. 52x. 52,5221xx解這兩個(gè)方程解這兩個(gè)方程，得得二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得. 031232xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得開平方，開平方，得得解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)除以

12、二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得. 0762 xx練習(xí)：. 232x. 2962xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得. 97962 xx.762xx解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得開平方，開平方，得得. 23x. 23,2321xx解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得. 0762 xx練習(xí)：寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊

13、，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得開平方，開平方，得得解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得.7322xx練習(xí)：.16241649472x.27232xx寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得.23474727222xx.23272xx解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得開平方，開平方，得得.162547x. 3,21.4547,45472121xxxx解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得二次項(xiàng)系數(shù)化二次

14、項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得.7322xx練習(xí)：解法解法2 2：配方法：配方法1、將二次項(xiàng)系數(shù)化為、將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；：兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；2、移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊；、移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊；3、配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；4、等號(hào)左邊寫成（、等號(hào)左邊寫成（ ）2 的形式；的形式；5、開平方：化成一元一次方程；、開平方：化成一元一次方程；6、解一元一次方程；、解一元一次方程；配方法的基本步驟配方法的基本步驟：7、寫出方程的解、寫出方程的解.三、練習(xí)三、練習(xí)._

15、822xxx._522xxx._3422xxx._4322xxx._22xpxx練習(xí)練習(xí) 1、填空：、填空：（1）（2）（3）（4）（5）._822xxx._522xxx._3422xxx._4322xxx._22xpxx164425253294836492p42p練習(xí)練習(xí) 1、填空、填空：（1）（2）（3）（4）（5）2、用配方法解下列方程、用配方法解下列方程：(1)(2)(3)(4).613; 065; 0472; 0462222yyxxttxx(1). 0462 xx. 53,53, 53, 53, 9496, 4621222xxxxxxxx解：解：(2). 04722 tt.21, 4

16、,4947,4947,168147,1649163247,4724727, 227, 4722121222222tttttttttttt解：解：(3). 0652 xx. 6, 1,2725,2725,44925,425625,256255, 65212122222xxxxxxxxxx解：解：(4).6132yy.3323,3323,3321,3321,341,341, 13112,312, 016321212222yyyyyyyyyyyy或?qū)懗山猓航猓核?、小結(jié)四、小結(jié)1、一元二次方程的概念；、一元二次方程的概念；2、兩種解法：（、兩種解法：（1）直接開平方法；）直接開平方法； （2）配方法）配方法.3、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.五、作業(yè)五、作業(yè) .3434;02123;12822;01211.12222yxxy .10064; 1733;49172;1651. 22222yyxxP