中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)幾何中的動點問題專題解析

1、資料中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【幾何中的動點問題】專題解析【真題精講】【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD/BC, AD =3 , DC =5 , BC =10,梯形的高為4.動 點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點 C運動；動點N同時從C點 出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點 D運動.設(shè)運動的時間為t （秒）.（1）當(dāng)MN II AB時，求t的值；（2）試探究：t為何值時， AMNC為等腰三角形.【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同 學(xué)看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分 析動態(tài)條件和

2、靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間， 就本題而言，M, N是在動，意味著 BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些 動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定 MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自 然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當(dāng) M、N運動到t秒時，如圖，過 D作DE /AB交BC于E點，則 四邊形ABED是平行四邊形.AB II DE , AB II MN . DE II MN .（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成

3、平行時候的靜態(tài)問題）MN放在三角形MC NCEC CD（這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）理所當(dāng)然以為是 MN=NC. mJ.解得 tJ. 10 -3517【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形, 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三 角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解 【解析】（2）分三種情況討論： 當(dāng)MN=NC時，如圖作 NF _LBC交BC于F ,則有MC =2FC即.（利用等腰三角形 底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）sin.C

4、.DFCD-3cos/C = >510 -2t =2 3t , 5解得t =25 .8當(dāng)MN =MC時，如圖，過 M作MH _LCD于H則 CN =2CH ,3 t =2(10 2t y-. , 60, , t =.17當(dāng)MC =CN時，則 10 -2t =t .10 t =.3綜上所述，當(dāng)t=25、60或10時，MNC為等腰三角形.8173【例2】在 ABC中，/ ACB=45o.點D (與點B、C不重合)為射線 BC上一動點，連接 AD 以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF(1)如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.

5、(2)如果AB AC,如圖，且點 D在線段BC上運動.(1)中結(jié)論是否成立，為什么？(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段 CF所在直線相交于點 巳設(shè)AC= 4 J2 , BC = 3 ,CD=X,求線段CP的長.(用含X的式子表示)一圖圖【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給 出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇?D運動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞， 就可以得解。【解析】：(1)結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；證明如下： AB=AC , / ACB=450

6、, .ABC=4.由正方形 ADEF得 AD=AF , / DAF4 BAC =90o, / DABh FAG 1 DAB FAC ,/ ACF=Z ABD ./ BCF=/ ACB-+Z ACF= 90o.即 CFXBD.【思路分析2這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。(2) CF±BD. (1)中結(jié)論成立.理由是：過點 A作AGL AC交BC于點G AC=AG 可證： GA陰 ACAF Z ACF=/ AGD=40/ BCF=/ ACB吆 ACF= 90o.即

7、CF± BD【思路分析3這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.(3)過點A作AQLBC交CB的延長線于點 Q點D在線段BC上運動時， . /BCA=45),可求出 AQ= CQ=4. DQ=4-x ,易證AAQD DCPCP,=CD_CP_=xDQ AQ4 -x 42一 xCP =- +x .4點D在線段BC延長線上運動時， . /BCA=45),可求出 AQ= CQ=4， DQ=4+x .過A作AG _L AC交CB延長線于點G,則 AA

8、GD 三 AACF .CF ± BD,CP CDDQ - AQCP x4 x 4 AAQD DCP2 x ，CP = +x .4【例3】已知如圖，在梯形ABCD中，AD / BC, AD =2, BC=4,點M是AD的中點, MBC是等邊三角形.(1)求證：梯形 ABCD是等腰梯形；(2)動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且/ MPQ = 60中保持不變.設(shè)PC = x MQ=，怵y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)中，當(dāng)y取最小值時，判斷 APQC的形狀，并說明理由.【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察 幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不

9、必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和 例1 一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定/ MPQ=60 ,這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系 了起來.因為最終求兩條線段的關(guān)系，所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系怎么證相似三角形呢？當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)證明：ZXMBC是等邊三角形MB=MC, / MBC =/MCB =60* M是AD中點AM = MD AD / BC. / AMB =/MBC =60°, / DMC =/MCB =60° AAMBADMCAB =

10、DC，梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等邊 zXMBC 中，MB =MC = BC =4,/MBC =/MCB =601/ MPQ =60,大家要仔細(xì)揣/ BMP +/ BPM =/ BPM +/ QPC =12d （這個角度傳遞非常重要 摩）/ BMP =/ QPCBMPszCQP,PC CQ BM BPPC =x, MQ=y .BP=4x, QC=4 y.x 4 - y44 -xl y = 1x2 -x 44(設(shè)元以后得出比例關(guān)系，輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng) X取對稱軸的值時 Y有最小值。接下

11、來就變成了 “給定PC=2,求APQC形狀”的問題了。由已知的 BC=4,自然看出P是中點，于是問題輕松求解。(3)解：zPQC為直角三角形1c 2 cy=4x-23當(dāng)y取最小值時，x = PC =2. P是 BC 的中點，MP 1 BC,而 / MPQ =60口,/ CPQ =30°,/ PQC =90*以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如 某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需 要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動的不是點，而是一些具體的圖形時，思 路是不是一樣呢？接下來我們看另外兩道題.【

12、例4】已知正方形 ABCD中，E為對角線 BD上一點，過 E點作EF _L BD交BC于F ,連 接DF , G為DF中點，連接EG,CG.(1)直接寫出線段 EG與CG的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中如EF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖2所示，取DF中點G,連接EG, CG ,. 你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.(3)將圖1中ABEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的圖2圖3結(jié)論是否仍然成立？(不要求證明)【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45。到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說

13、，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊 中線自然相等。第二問將 BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題 的核心條件就是 G是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的 全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看 G點所在的四邊形ADFE我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想 到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。(1) CG =EG(2) (1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即 CG=EG.證明：連接 AG ,過G點作MN _L AD于M ,與EF的延長線交于 N點.在iDAG與iDCG中，

14、 AD =CD,ZADG =NCDG , DG =DG , iDAG© 山CG . AG =CG .在ADMG與AFNG中， ZDGM =/FGN , FG =DG , /MDG =/NFG , iDMG © AFNG .MG =NG在矩形 AENM中，AM =EN 在 RtMMG 與 RUENG 中， AM =EN , MG =NG , MMG© MNG .AG =EG . EG =CG【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是 我們不應(yīng)該止步于此。 將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果 BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，

15、哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自 己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點?？梢匝娱L一倍 EG到H,從而構(gòu)造一個和 EFG全等的三角形，利用 BE=EF 這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGHir等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.圖3【例5】已知正方形ABC兩邊長為6cm,點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F,將 ABE沿直線AE翻折，點B落在點B'處.（1）當(dāng) BE=i 時，cf=cmC

16、E,BE（2）當(dāng) 一二2時，求sin / DAB 的值；CE（3）當(dāng)BE二x時（點C與點E不重合），請寫出 ABE翻折后與正方形 ABCS共部CE分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）.CE FC【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1,第二問比例為 2,第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以 軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的

17、比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。（1） CF=6 cm ;（延長之后一眼看出, （2）如圖1,當(dāng)點E在BC上時，延長BE. AB/CF,AB& FCEE,，笆二BE =2, CF=3.CEEAZYAB'交DC于點MAB圖1 AB/ CF, .BAE=/ F.又/ BAEW B' AE,/B' AE=/F.，MA=MF設(shè) MA=MF=k 貝U MC=k -3 , DM=9-k在RtAADM,由勾股定理得:k2=(9-k) 2+62, 解得 k=MA=13 .2法）DM=5

18、 .（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方2DM 5 sin / DAB =;AM 13如圖2,當(dāng)點E在BC延長線上時，延長 AD交B' E于點N, 同可得NA=NE設(shè) NA=NE=m貝U B' N=12-m.在RtAB' N中，由勾股定理，得n2=(12-m) 2+62, 解得 m=AN=15 .B z N= 9 .sin / DAB =-BN- =3AN 518xy=；x 1(3)當(dāng)點E在BC上時，（所求 A B' E的面積即為 ABE的面積，再由相似表示出邊長）當(dāng)點E在BC延長線上時，y=18x -18 x【總結(jié)】 通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當(dāng)中

19、點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出，所以難度不言而喻，但是希望考生拿到題以后不要慌張，因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析 ，一個個將條件抽出來，將大問題化成若干個小問題去解決，就很輕松了 .為更好的幫助考生，筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形，進(jìn)行分析，尤其在于找準(zhǔn)運動過程中靜止的那一瞬間題目間

20、各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵?！景l(fā)散思考】【思考1】已知：如圖（1）,射線AM 射線BN , AB是它們的公垂線，點 D、C分別 在AM、BN上運動（點D與點A不重合、點C與點B不重合），E是AB邊上的動點（點E與A、B不重合），在運動過程中始終保持 DE _L EC ,且AD + DE = AB = a .（1）求證

21、：AADEsabec；（2）如圖（2）,當(dāng)點E為AB邊的中點時，求證： AD +BC =CD ;（3）設(shè)AE = m，請?zhí)骄浚篈BEC的周長是否與 m值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有 m的代 數(shù)式表示ABEC的周長；若無關(guān)，請說明理由.第25題（1）第25題（2）【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。BP=BA 若 0 2/ PBR 180 ,【

22、思考2】4ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點, 且/ PBCF分線上的一點 D滿足DB=DA（1）當(dāng)BP與BA重合時（如圖1）, / BPD=（2）當(dāng)BP在/ABC勺內(nèi)部時（如圖 2）,求/ BPD勺度數(shù)；（3）當(dāng)BP在/ABC勺外部時，請你直接寫出/ BPD勺度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形.【思路分析】本題中，和動點P相關(guān)的動量有/ PBC以及D點的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且 DB=DA從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事 實上，P點的軌跡就是以 B為圓心，BA為半徑的一個圓，那 D點是什么呢？留給大家思考下3【思考3如圖：已知，四邊形 ABCD, AD/BC,

23、 DCXBC；已知AB=5, BC=6 cosB=-.5點。為BC邊上的一個動點，連結(jié) OD以。為圓心，BO為半徑的。分別交邊AB于點巳交線段0廿點M交射線BC于點N,連結(jié)MN(1)當(dāng)BO=AD寸，求BP的長；(2)點。運動的過程中，是否存在 BP=MN勺情況？若存在，請求出當(dāng)BO為多長時BP=MN若不存在，請說明理由；(3)在點。運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作。C,請直接寫出當(dāng)。C存在時，OO 與。C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的。 C半徑CN的取值范圍。(備用圖)【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動點問題。在和圓有關(guān) 的問題當(dāng)中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等

24、這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問 比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出M港口 BP,從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論?！舅伎?】在|_ABCD中，過點C作CH CD交AD點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF(如圖1)(1)在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(P1不與C重合)時，連結(jié)ER繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得 到線段EC.判斷直線FG與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到線段EC.判斷直線CC2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)

25、論.(2)若AD=6,tanB= 4,AE=1,在的條件下，設(shè) CP=x,直RFC1 = y,求y與x之間的函 3數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍.【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90。的條件。旋轉(zhuǎn)90。自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函 數(shù)式，但是實際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非常 可惜。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營 的去解答?！舅伎碱}解析】【思考1解析】(1)證明

26、：DE_LEC, /DEC=90， NAED+/BEC = 90,又.ZA=ZB=90°, . ZAED +ZEDA = 90°.ZBEC=ZEDA. . AADEsAbec.A D M第25題(2)證明：如圖，過點 E作EF BC ,交CD于點F ,1 E是AB的中點，容易證明 EF=(AD+BC).21 _ 在 RtADEC 中， DF =CF , EF =CD .21 , _ _1 -(AD +BC) = CD .22AD + BC =CD .(3)解:AED 的周長=AE +AD +DE =a+m,設(shè) AD = x,則 DE =a x./A=90，. DE2 =AE

27、2+AD2.即 a2-2ax + x2 =m2+x2.2a由(1)知 MDE s ABEC,ADE的周長 ADBEC的周長BE2aa - m2a2aABEC 的周長=2a- a mMADE的周長=2a .ABEC的周長與m值無關(guān).【思考2答案】解：(1) / BPD=30 ° ;(2)如圖8,連結(jié)CD解一：二 點D在/ PBC勺平分線上， /1=/2. ABC等邊三角形， BA=BC=ACZ ACB=60 . BP=BA BP=BC. BD= BD:.APBID CBD /BPD= 3. 3. DB=DA BC=AC CD=CD :.ABCID ACD1 /3 =A = ACB =3

28、0 .2 / BPD=30.解二： ABC等邊三角形，BA =BC=AC. DB=DA CM直平分AB /3 =Z4 J ZACB =30 + . 2. BP=BA BP=BC點D在/ PBC勺平分線上， APBD CBC于BD所在直線對稱. /BPDN 3. / BPD=30.(3) / BPD=30 或 150 °.圖形見圖9、圖10.【思考3解析】3 1解：（1）過點 A 作 AE± BC,在 RtABE 中，由 AB=5, cosB=，得 BE=3.5. CDL BC, AD/BC, BC=6,AD=EC=BC BE=3當(dāng)BO=AD=3寸，在。0中，過點。作OHLAB,則BH=HPBH3= cos B , BH=3 M BO18BP=.5(2)不存在BP=MN勺情況-假設(shè)BP=MN立，,BP和MN為。的弦，則必有/BOPh DOC.過P作PQL BC 過點。作OH! AB,. CDL BC,則有 PQSDOC-BH設(shè) BO=x 則 PO=x,cos Bx3BHx ,5BP=2BH=6 x5BQ=