DFT應(yīng)用-對(duì)信號(hào)作頻譜分析

1、DFT應(yīng)用對(duì)信號(hào)作頻譜分析頻譜分析即是對(duì)信號(hào)作傅立葉變換。具體說，對(duì)一般連續(xù)信號(hào)（非周期）是作FT變換，對(duì)連續(xù)周期信號(hào)作FS；對(duì)一般離散序列（非周期）是作DTFT，對(duì)離散周期序列是作DFS。而DFT只是對(duì)DTFT的N點(diǎn)采樣，即是對(duì)DTFT的近似。但對(duì)離散周期序列來講，若選擇DFT的點(diǎn)數(shù)等于其DFS一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，此時(shí)其DFT就嚴(yán)格等于其DFS。連續(xù)周期信號(hào)的FT與FS的一致性：10100000000000k=-FS1()( ) k=0, 1,2( )() FS () 2= T T: X(j )=2X(jk) ()tTjkttjktkX jkx t edtTx tX jkeX jkFTk ：亦

2、即連續(xù)周期信號(hào)的頻譜（） 在頻譜圖上是離散的譜線，相鄰間隔為，譜線強(qiáng)度為。稱為基頻 ， 為連續(xù)周期信號(hào)的周期00FT2 X(jk)亦即連續(xù)周期信號(hào)的頻譜（）在頻譜圖上為離散的譜線，相鄰間隔仍為，而譜線強(qiáng)度為沖激。離散周期序列的DFS與DTFT的一致性：100DFS( )( ) 0,1,1N0,1,1( )N2( )NTNTNNnkNnjX kx n WnNNX kX ke ：。（其他為這 個(gè)值的周期延拓） k=即為該周期序列的頻譜。其中 為周期序列一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。在頻譜圖中，相鄰之間的間隔為為周期序列一個(gè)周期的點(diǎn)數(shù)（也等于頻譜圖中一個(gè)周期的點(diǎn)數(shù)）， 為模擬信號(hào)的采樣間隔。在頻譜圖一個(gè)周期中共

3、有 條譜線。DTFT:X(00DFSDTFT22NT22(22)( ) ()2DTFN(TT2)kNX kkNNNX kNT TTTN 注：兩種頻譜圖中譜線間隔的一致性：k域； 域。k域間隔代表， 域間隔為。據(jù)數(shù)字頻率與即：其所表示的頻譜在頻譜圖上是頻譜模擬頻率的關(guān)系：為時(shí)域采樣間隔），間隔為（數(shù)字頻率）的一系列譜線，譜線則強(qiáng)度為沖激有：。域間隔)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DFT近似()( )1( )()2j taj tX jx t edtx tX jed DFT近似辦法1T()( ),x nTx nt=nt（）將x(t)在時(shí)間軸上等間隔（寬度為 ）分段，每一段用一個(gè)矩形脈沖代替。脈沖的幅度為其起始

4、點(diǎn)上的抽樣值：x(t)|然后把所有矩形脈沖的面積相加。 ntnTdtTdtT()()j nTnX jx nT eT 2( )()0Nx nx nTt 0N-1-j nTn=0（ ）將序列截?cái)喑蓮拈_始長度為T的有限長序列，包含 個(gè)抽樣，則上式為：X(j )Tx(nT)e0000(3)N()ssssfNfNFNF 00為了數(shù)值計(jì)算，在頻域上也要離散（抽樣），即在頻域的一個(gè)周期（ 或）中分成 段。取 個(gè)抽樣點(diǎn)或。每個(gè)抽樣點(diǎn)的間隔為 （）。頻域抽樣，則頻域的積分變成求和，而時(shí)域就得到原已截?cái)嗟碾x散時(shí)間序列的周期延拓，其時(shí)域周期為T =NT=1/F。00100Nkkdd 00000000001;2;12

5、2222sssssNTNTFFfFTTfFTN 關(guān)系：總結(jié)如下：經(jīng)過上述（1）（2）步（時(shí)域抽樣、截?cái)啵?sd N-1-j nTn=0j nTX(j )x(nT)e1x(nT)X(j )e200022000200 ( )11 nkNnkNnkNsTTTDFT x nFF NfNNN-1-jknTn=0N-1-jn=0N-1N-1jjknT0k=0k=0N-1jk=0然后，頻域抽樣，得到：X(jk)x(nT)ex(n)ex(nT)=X(jk)eX(jk)e2X(jk)eX(200 nkNsf IDFTN-1jk=0jk)eX(jk)0DFTX(jk)即為X(k)。該式也清楚地表明了頻譜圖中k所對(duì)

6、應(yīng)的模擬頻率。連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的DFT近似00000001()( ) ( )() TjktjktkX jkx t edtTx tX jket=nT1x(n)=x(nT)=x(t)|（ ）先對(duì)時(shí)域抽樣0N-1T0n=0 TtnTdtT02001()( )nkknTNTx nTx nTNN-1N-1-j-jn=0n=0X(jk)ee02002021 nkNnkNNNN-1N-1jjknTk=0k=0N-1jk=0（ ）將頻域離散序列加以截?cái)啵顾鼮橛邢揲L序列。如果這個(gè)截?cái)嚅L度正好等于一個(gè)周期，則有：x(nT)=X(jk)eX(jk)eX(jk)e00DFS1 ( )DFS x nNN IDFSt=

7、nT據(jù)定義，有：X(jk)x(nT)=x(t)|X(jk)利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的近似過程圖解( )x t抽樣t=nTx(n)截?cái)鄕(n)d(n)周期延拓( )Nxn周期延拓取一個(gè)周期( )Nxn()X j()jX e()* ()jjX eD e( )NXk( )NXk周期延拓取一個(gè)周期周期延拓2 /sT 卷積抽樣/sN0FTDTFTDTFTDFSDFT用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜可能造成的誤差1.混疊現(xiàn)象211T2shshshffffTff為了避免混疊，由抽樣定理知，必須滿足：， 為抽樣頻率， 為信號(hào)的最高頻率分量?；蛘撸?， 為抽樣間隔。(2.53.0)shff一般實(shí)際中?。?001

8、頻率分辨力：F =T記錄長度：T00TfsNFT抽樣點(diǎn)數(shù)滿足：FFT T 30例：有一頻譜分析用的處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件：（1）頻率分辨力10Hz（2）信號(hào)最高頻率4KHz確定：（1）最小記錄長度T（2）抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔（ ）在一個(gè)記錄中最少點(diǎn)數(shù)00001110.1( )1010.1( )TsFTsF解：（）由分辨力的要求確定最小記錄長度所以最小記錄長度為：31(2)T211/0.125 102sshshfTffTfsf從信號(hào)的最高頻率確定最大可能的抽樣間隔 （即最小抽樣頻率）按抽樣定理：即：30103N2/2 4 10 /1080021024hNfFN （ ）最小記錄點(diǎn)數(shù) 應(yīng)滿足取2.頻譜泄漏121( )( )( )( )DTFTYx nx nx ny njj1在實(shí)際應(yīng)用中，通常將所觀測的信號(hào)限制在一定間隔內(nèi)，也就是說在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)?，或稱作加時(shí)間窗。亦即用時(shí)間窗函數(shù)乘以原來信號(hào)，加窗后的信號(hào)為。由的性質(zhì)知，時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)頻域卷積。卷積的結(jié)果造成所得到的頻譜 (e)與原來的頻譜X(e)不相同，有失真。主要表現(xiàn)在頻譜的擴(kuò)散（拖尾、變寬）。稱為頻譜泄漏。0n0)(1nx)(1jeXn)(2