解一元二次方程-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、解一元二次方程 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)思想解一元二次方程有四種方法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，這四種方法各有千秋。為保證學(xué)生掌握基本的運(yùn)算技能，教學(xué)中進(jìn)行了一定量的訓(xùn)練，但要避免學(xué)生簡單的模仿。我們在探究一元二次方程解法的過程中，要加強(qiáng)思想方法的滲透，發(fā)展學(xué)生的思維能力。在解一元二次方程的幾種方法中，均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。如配方法需要將方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式，公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，所有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。在教學(xué)時(shí)老師引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)進(jìn)行觀察、思考核探究的基礎(chǔ)上，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在其中的作用，充分發(fā)展學(xué)生的思維能力。教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1會(huì)用配方法

2、、公式法、因式分解法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2能夠根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，靈活選用解方程的方法，體會(huì)解決問題策略的多樣性。過程與方法：1參與對一元二次方程解法的探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，對結(jié)果比較、驗(yàn)證、歸納、理清幾種解法之間的關(guān)系，并能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?在探究一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價(jià)值觀：在解一元二次方程的實(shí)踐中，交流、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)樂趣。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟，并熟練運(yùn)用上述方法解題。難點(diǎn)：根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?。教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)，講練結(jié)合

3、教學(xué)媒體多媒體課時(shí)安排4課時(shí)教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1一元二次方程的一般形式是什么？其中a應(yīng)具備什么條件？2是一元二次方程嗎？其中二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)各是什么？（是。二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是4）3解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=9學(xué)生依次回答上述問題。師總結(jié)強(qiáng)調(diào)：（1）象這種通過直接開平方求得x的值的方法，實(shí)際上就是求x2=a（a0）這種特殊形式的一元二次方程的解方法。（2）對于形如“(x+a) 2=b (b0)”型的方程，只要把x+a看作一個(gè)整體，就可以轉(zhuǎn)化為x 2=b (b0)型的方法去解決，這里滲透了“換元”的方法。（3）在對方程(x

4、+3) 2=9兩邊同時(shí)開平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程。要向?qū)W生指出，這種變形實(shí)質(zhì)上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學(xué)方法二、試著做做1如果（x+2）2=9，那么x=_。2如果（x-3）2=7，那么x=_。3完全平方公式是什么？4如果x2+2x+1=4，那么x=_。學(xué)生獨(dú)立求解5對于x2+2x-3=0這樣的方程，該怎樣求解呢？能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式，然后應(yīng)用直接開平法求解呢？你能總結(jié)出你解這個(gè)方程的步驟嗎？學(xué)生活動(dòng)：小組討論，利用完全平方公式及上述提示尋求解法，將x2+2x-3=0變形為x2+2x+1=4，即（x+1）2=4 。并總

5、結(jié)出解方程x2+2x-3=0的一種方法：三、做一做把下列方程化為（x+ m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式，并求出它們的解。（1）x2+2x=48；（2）x2-4x=12；（3）x2-6x+6=0；（4）。學(xué)生活動(dòng)：初步體驗(yàn)用配方法解一元二次方程 的步驟。例1 解方程 x2-10x-11=0該例題師生共同完成，學(xué)生通過此題明白每步變形的依據(jù)和目的。然后師生一起總結(jié)：通過配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后利用開平方的方法求出一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。四、練習(xí)：1配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x21

6、2x+=(x )2（3）x2+8x+=(x+ )22解方程：課本P34 練習(xí)五、小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么？六、作業(yè)課本P34 1，2，3七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程配方法x2=a（a0） 試著做做 做一做 例1 練習(xí)直接開平方法x2+bx+c=0配方法第二課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的什么方法？解下列方程：（1）x2-6x+4= 0 （2）x2+4x-16= 0今天我們一起來學(xué)習(xí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程。二、做一做解方程3x2-32x-48= 0師：引導(dǎo)學(xué)生觀察，此方程和上節(jié)課方程進(jìn)行比較有什么不同，能否轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)系數(shù)為1的形式。學(xué)生獨(dú)立思考，積極探究，解答題目。

7、解：略。見課本P35師：請同學(xué)們總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？學(xué)生小組討論，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步驟為：A先把方程整理為一般形式B用二次項(xiàng)系數(shù)去除方程兩邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1C把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊（移項(xiàng)）D方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為（的形式（配方）E利用直接開方法求得方程的解（當(dāng)右邊是負(fù)數(shù)時(shí)，方程無解）三、練一練解下列方程（1）x2-4x=12； （2）3x2+2x-5=0；（3）2y2+y-6=0； （4）2x2+5x+1=0四、實(shí)際應(yīng)用例3 有一張長方形桌子，它的長為2m，寬為1m。有一塊長方形臺布，它的面積是桌面面積的2

8、倍，將臺布鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長相等。求這塊臺布的長和寬（均精確到0.01m）。小組討論：（1）題目中有哪些等量關(guān)系？（2）如何設(shè)未知數(shù)？根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù)列出一元二次方程，并解答。（3）算出的x值都可取么？為什么老師引導(dǎo)學(xué)生注意驗(yàn)證方程的解的合理性，并對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予及時(shí)的點(diǎn)撥和引導(dǎo)。通過此題我們發(fā)現(xiàn)在解決實(shí)際問題時(shí)，設(shè)未知數(shù)要靈活選擇，同時(shí)注意檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，從而確定實(shí)際問題的答案。五、小結(jié)1配方法的基本步驟。2配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到。3在解決實(shí)際問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)方

9、程的解是否符合題意。六、作業(yè)課本P37 1，2五、板書設(shè)計(jì)配方法（2）配方法的一般步驟 例2 例3 練習(xí)第三課時(shí)一、導(dǎo)入新課：1配方法的步驟是什么？學(xué)生回答：（1）將方程二次項(xiàng)系數(shù)化成1；（2）移項(xiàng)；（3）配方；（4）化為（x+m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式；（5）用直接開平方法求得方程的解。2用配方法解方程：2x2+7x=4解：系數(shù)化成1，得：x2+配方，得： （x+開平方，得： 學(xué)生活動(dòng)：用配方法解一元二次方程。師：直接開平方法解一元二次方程有一定的局限性，必須符合直接開平方的條件才能利用直接開平方法；配方法雖然對任意一個(gè)一元一次方程都適用，但每做一題都要配方一次，顯得比較麻煩，所

10、以我們就產(chǎn)生了推導(dǎo)一個(gè)公式來求一元二次方程的解的想法。 二、一起探究用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a學(xué)生活動(dòng)：自主探究，按照配方法的步驟逐步求解。解：系數(shù)化成1，（兩邊同除以a）得： 移項(xiàng)（把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊），得： 配方（兩邊同時(shí)加上），得： 化為（x+m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式，得： 師：接著讓學(xué)生討論：此時(shí)可以用開平方法求解嗎？讓學(xué)生充分發(fā)表意見后，教師指出：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，可以用開平方法得再讓學(xué)生討論嗎？(學(xué)生討論，教師講解：,但因?yàn)槭阶忧懊嬉延蟹枴?#177;”，所以無論還是，最終結(jié)果總是)所以 ，這樣我們就得到了一元二次方程 ()的求根公式：用求根公式解一

11、元二次方程的方法叫做公式法。說明：(1)用公式法解一元二次方程，實(shí)際上就是給出、的數(shù)值，然后求代數(shù)式： 進(jìn)行求值的運(yùn)算。由于這樣的計(jì)算較復(fù)雜，所以要提醒學(xué)生計(jì)算時(shí)注意、的符號，講究計(jì)算的正確性。(2)在運(yùn)用求根公式求解時(shí)，應(yīng)先計(jì)算的值；當(dāng)0時(shí)，可以用公式求出兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。三、知識應(yīng)用例 解方程4x2+x-3=0解： 這里 a=4，b=1，c=-3 b2-4ac=12-4×4×（-3）=49>0, 即 說明：師生共同完成，教師規(guī)范格式并強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)。注意:(1) 如果方程不是一般形式，要化為一般形式后，再確定a，b，c的值(2)對a

12、，b，c的值，要注意其正負(fù)符號，如此題中c=-3四、課堂訓(xùn)練：P38 練習(xí)題（1）-（4）。找四名同學(xué)上黑板做。五、小結(jié)1本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，即求根公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是“配方”與“開平方”的綜合運(yùn)用，對于，0，以及由，知等條件在推導(dǎo)過程中的應(yīng)用，亦要弄懂其道理。2應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫成一般形式，并寫成、的數(shù)值以及計(jì)算的值，當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡化求解過程。六、作業(yè)：課本習(xí)題P38 1，2七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程公式法練習(xí)： 推導(dǎo)公式： 例 練習(xí)- - - - - - - - - - - - -第四課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入1

13、一元二次方程的解法，已經(jīng)學(xué)過了哪幾種？(直接開平方法，配方法，求根公式法)2對于方程x2-9=0，上述三種解法是不是都可用？哪一種解法比較簡便？(直接開平方法)從上面的例子可見，同一個(gè)題目可以用多種方法來解，我們應(yīng)該“因題而宜”，選取一種較好的解法，方法越多，我們選取的可能性就越大.今天我們再學(xué)一種方法，叫做一元二次方程的因式分解法二、一起探究我們以方程x2-9=0為例，這個(gè)方程的右邊是0，左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積即 (x+3)(x-3)=0我們知道a·b=0a=0或b=0。語言表述：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于零反之，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于零，它們的

14、積也就等于零提問： 1什么叫方程的根？(使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值)2觀察什么數(shù)是方程的根？即什么數(shù)使方程的左邊乘積為零？(使x+3等于0或使x-3等于0).注意用或字，意思是兩個(gè)因式中有一個(gè)等于0就可使乘積為0，不必要兩個(gè)因式同時(shí)為0.因此我們可以得到x=-3或x=3，即x1=-3，x2=-3像這樣，把一元二次方程的一邊劃為0，另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程：學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用因式分解法完成求解過程，老師對學(xué)生困難的學(xué)生給與幫助。例 用因式分解法解下列方程：(1) 3(x-1)2=2(x-

15、1); (2) (x+5)2=49.分析：這兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？（可以把x-1和x+5分別看作整體）解：（1）原方程可化為 3(x-1)2-2(x-1)=0（x-1)（3x-5）=0得 x-1=0，或3x-5=0所以（2）原方程可化為(x+5)2-72=0(x+12)(x-2)=0.得 x+12=0,或x-2=0所以 四、大家談?wù)?因式分解適當(dāng)解什么樣的一元二次方程？2解一元二次方程的方法有哪幾種？根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會(huì)，談?wù)勍ǔＤ闶侨绾芜x擇解法的。學(xué)生小組交流。結(jié)論：（1）對于一元二次方程的一般形式，當(dāng)方程左邊無常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)為0或是完全平方式時(shí)，方程均可使用因式分解法求解。（2）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法因式分解法對解某些一元二次方程是最簡單的方法在解一元二次方程時(shí)，應(yīng)據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ猓?）直接開平方法與因式分解法中都蘊(yùn)含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法由高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解高次方程的思想方法請你用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1) (x+2)2=2x+4; (2) (3x+1)2-4=0;(3) 3x-2=9x2-4; (4) 4x2-12x+5=0.五、練習(xí)：課本P