浙江大學(xué)盛驟概率論課后答案

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為也可列為下表X： 3， 4，5P：3.三 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0，1，2個(gè)。Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4.四 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=

2、0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=9.十 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)

3、是相互獨(dú)立的。）解：（1）P (一次成功)=（2）P (連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)= 。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，

4、 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0X2，Y=0(0X2與 Y=2獨(dú)立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343（5）P X=0+ P 010)=P (X 11)=0.002840（查表計(jì)算）十二 (2)每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。十六 以X表示某商店從早晨開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至

5、多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘解：（1）P至多3分鐘= P X3 = （2）P 至少4分鐘 P (X 4) = （3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3X4= （4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘 = （5）P恰好2.5分鐘= P (X=2.5)=018.十七 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求（1）P (X2), P 0X3, P (2X)；（2）求概率密度f(wàn)X (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）20.十八（2）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的

6、f (x)與F (x)的圖形。解：當(dāng)1x1時(shí)：當(dāng)1x時(shí)：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)x0F (x)21x01222.二十 某種型號(hào)的電子的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則，23.二十一 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀

7、行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此 24.二十二 設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率 K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2時(shí)，方程有實(shí)根。25.二十三 設(shè)XN（3.22）（1）求P (2X5)，P (4)2，P (X3)若XN（，2），則P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）決定C使得

8、P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =326.二十四 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì)）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求（1）P (X105)，P (100x) 0.05.解:27.二十五 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.050.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長(zhǎng)度為XPX不屬于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12X10.05+0.12) =1

9、=1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？ P (120X200)=又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得30.二十七 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為： X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布律 Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為： Y： 0 1 4 9 P： 31.二十八 設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）

10、上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度為：32.二十九 設(shè)XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是單調(diào)

11、增函數(shù)又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =當(dāng)y1時(shí)，( y)= FY ( y) = =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)當(dāng)y0時(shí)：( y)= FY ( y) =33.三十 （1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密

12、度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)，又X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為： ( y)= f h ( h )| h ( y)| = （2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。xOy=x2y法一： X的分布密度為： Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng) x0時(shí) y=x2 反函數(shù)是當(dāng) x0時(shí) y=x2 & Y fY (y) = =法二： Y fY (y) =34.三十一 設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概

13、率密度。FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)當(dāng)y0時(shí)：FY ( y)=0當(dāng)0y1時(shí)：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) =當(dāng)1y時(shí)：FY ( y)=1 Y的概率密度( y )為：y0時(shí)，( y )= FY ( y) = (0 ) = 00y1時(shí)，( y )= FY ( y) = =1y時(shí)，( y )= FY ( y) = = 036.三十三 某物體的溫度T (oF )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有TN（98.6，2），試求()的概率密度。已知根據(jù)定理：若XN（1， 1），則Y=aX+bN (a1+b, a2 2 )由于TN（9

14、8.6, 2）故 故的概率密度為：第三章 多維隨機(jī)變量及其分布1.一 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101（2）不放回抽樣的情況P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1,

15、 Y=0 =P X=1, Y=1 =或?qū)懗蒟Y01013.二 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求

16、P X1, Y3（3）求P (X1.5（4）求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化為累次積分，其中解：（1），（2）（3）y（4）6（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。 （2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。2解：（1） 放回抽樣（第1題）XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為X01Y01PiPj 不放回抽樣（第1題）XY0101邊緣分布為X01Y01PiPj（2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X0123 Y13Pi Pj7.五 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為解：8.六 設(shè)二維隨機(jī)變量

17、（X，Y）的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。xo解:9.七 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。解：放回抽樣的情況P X=0, Y=0 = P X=0P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨(dú)立的不放回抽樣的情況：P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X=0P Y=0 =

18、P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不獨(dú)立16.十四 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布。Y的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實(shí)根的概率。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨(dú)立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實(shí)跟根，從而判別式 即： 記19.十八 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為

19、同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：z0 當(dāng)z0時(shí)，由和的概率公式知 （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)表示第三周需要量，其概率密度為：z與相互獨(dú)立= z +表示前三周需要量則：0，當(dāng)u0時(shí)所以的概率密度為22.二十二 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=minX1，X2，X3，X 4 P N180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X180

20、4=1pX1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由條件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=（2）變量V=maxX, Y 顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3

21、 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y=0+ P X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2 =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=

22、4=P X=4，Y=0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y=3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）顯然U的取值為0，1，2，3 P U=0=P X=0，Y=0+ P X=0，Y=3+ P Y=0，X=1+ + P Y=0，X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或縮寫成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（

23、4）W=V+U顯然W的取值為0，1，8 PW=0=PV=0 U=0=0 PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0又U=minX，Y=1不可能上式中的PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2 PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+ PV=1，U=1 = PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1 =0.03+0.01+0.02=0.06 PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX

24、=2，Y=1 + PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U=1+PV=2，U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX=1，Y=3 + PX=2，Y=2 =0.19 PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX=3，Y=2+ PX=2，Y=3 =0.24 PW=6= PV+U=6=PV=5, U=1+ PV=4，U=2+PV=3，U=3 =PX=5，Y=1+ PX=4，Y=2+PX=3，Y=3 =0.19 PW=7= PV+U=

25、7=PV=5, U=2+ PV=4，U=3 =PV=5，U=2 +PX=4，Y=3=0.6+0.6=0.12 PW=8= PV+U=8=PV=5, U=3+ PX=5，Y=3=0.05或列表為W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05二十一 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度f(wàn)X (x)，fY (y)（3）求函數(shù)U=max (X, Y)的分布函數(shù)。解：（1） （2）（3）Fu ()=P U u=P )=P X u, Y u =F (u, u)= u1)=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.736

26、1=0.2639.因此X表示一天調(diào)整設(shè)備的次數(shù)時(shí)XB(4, 0.2639). P (X=0)=0.263900.73614 =0.2936.P (X=1)=0.263910.73613=0.4210, P (X=2)= 0.263920.73612=0.2264.P (X=3)=0.263930.7361=0.0541, P (X=4)= 0.26390.73610=0.0049.從而E (X)=np=40.2639=1.05563.三 有3只球，4只盒子，盒子的編號(hào)為1，2，3，4，將球逐個(gè)獨(dú)立地，隨機(jī)地放入4只盒子中去。設(shè)X為在其中至少有一只球的盒子的最小號(hào)碼（例如X=3表示第1號(hào)，第2號(hào)

27、盒子是空的，第3號(hào)盒子至少有一只球），求E (X)。 事件 X=1=一只球裝入一號(hào)盒，兩只球裝入非一號(hào)盒+兩只球裝入一號(hào)盒，一只球裝入非一號(hào)盒+三只球均裝入一號(hào)盒（右邊三個(gè)事件兩兩互斥）事件“X=2”=“一只球裝入二號(hào)盒，兩只球裝入三號(hào)或四號(hào)盒”+“兩只球裝二號(hào)盒，一只球裝入三或四號(hào)盒”+“三只球裝入二號(hào)盒”同理：故5.五 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。其概率密度為求E (X)解：6.六 設(shè)隨機(jī)變量X的分布為X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5)解：E (X)= (2)0.4+00.3+20.3=0.2E (X

28、2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.47.七 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）Y=2X（2）Y=e2x的數(shù)學(xué)期望。解：（1） （2）8.八 設(shè)（X，Y）的分布律為XY1231010.20.10.10.100.100.30.1(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 設(shè)Z=Y/X，求E (Z )。(3) 設(shè)Z= (XY )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=10.4+20.

29、2+30.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)0.3+00.4 +10.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1（2） E (Z )= (1)0.2+(0.5)0.1+(1/3)0+00.4+1/30.1+0.50.1+10.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.Z (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40（3） E (Z )=00.1

30、+10.2+40.3+90.4+160=0.2+1.2+3.6=510.十 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。若工廠出售一臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元。試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解：一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利則故 11.十一 某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（a, b）服從均勻分布。試求圓盤面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)X為圓盤的直徑，則其概率密度為用Y表示圓盤的面積，則12.十三 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X13)；（2

31、）又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）13.十四 將n只球（1n號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子（1n號(hào)）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號(hào)的盒子中，稱為一個(gè)配對(duì)，記X為配對(duì)的個(gè)數(shù)，求E(X )解：引進(jìn)隨機(jī)變量 i=1, 2, n 則球盒對(duì)號(hào)的總配對(duì)數(shù)為Xi的分布列為Xi:10P:i=1, 2 n i=1, 2 n14.十五 共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立的，等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（1）寫出X的分布律，（2）不寫出X的分布律。解

32、：（1）X123nP（2）設(shè)一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。設(shè) i=1, 2 n則試開到能開門所須試開次數(shù)為Xii0PE (Xi)=i=1, 2n 15. （1）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E (X)，方差為D (X)0，引入新的隨機(jī)變量（X*稱為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量）：驗(yàn)證E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知隨機(jī)變量X的概率密度。求X*的概率密度。解：（1） D (X* )= E X*E (X )* 2= E (X*2 )= = （2）16.十六 設(shè)X為隨機(jī)變量，C是常數(shù)，證明D (X )E (XC )2 ，對(duì)于CE (X )，（由于D (X ) = E XE (X )2 ，上式表明

33、E (XC )2 當(dāng)C=E (X )時(shí)取到最小值。）證明： D (X )E (XC )2 = D (X2 )E (X )2E (X2 )2CE (X2 )+C2 =E (X )22CE (X2 )+C2 =E (X )C 20，當(dāng)E (X )C時(shí)D (X )0是常數(shù)，求E (X )，D (X )。解：又D (X )= E (X 2 )E 2 (X )=222=221設(shè)X1, X2 , Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且有,i=1,2, n.記，.（1）驗(yàn)證（2）驗(yàn)證.（3）驗(yàn)證E (S 2 )證明：（1）(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2，3) (利用方差的性質(zhì)2，3)（2）首先證于是（3）23二十五 設(shè)隨機(jī)變量

34、X和Y的聯(lián)合分布為：XY1011001驗(yàn)證：X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨(dú)立的。證：P X=1 Y=1=P X=1= P Y=1= P X=1 Y=1P X=1 P Y=1 X，Y不是獨(dú)立的又E (X )=1+0+1=0 E (Y )=1+0+1=0 COV(X, Y )=EXE (X )YE (Y )= E (XY )EXEY = (1)(1) +(1)1+1(1)+11=0 X，Y是不相關(guān)的27已知三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, XY=0 XZ=，YZ=。設(shè)W=X+Y+Z 求E (W )，D

35、(W )。解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+11=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E (X+Y+Z)E (X+Y+Z)2 = E XE (X )+ YE (Y )+ZE (Z )2 = E XE (X )2+ YE (Y )2+ ZE (Z )2+2 XE (X ) YE (Y ) +2 YE (Y ) ZE (Z )+2ZE (Z ) XE (X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2

36、+=1+1+1+226.二十八 設(shè)隨機(jī)變量（X1，X2）具有概率密度。，0x2,0y2求E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），解：D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =28.二十九設(shè)XN（， 2），YN（， 2），且X，Y相互獨(dú)立。試求Z1= X+Y和Z2= XY的相關(guān)系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）.解：由于X，Y相互獨(dú)立Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)E(Z1) E(Z2)=E (X+Y ) (XY )(EX+EY ) (EXEY ) =2EX 2EY 22 (EX ) 2+(EY ) 2=2DX 2DY=(2 2) 2DZ1=2DX

37、+ 2DY=(2+ 2) 2, DZ2=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2,(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)23)故29二十三 卡車裝運(yùn)水泥，設(shè)每袋水泥重量（以公斤計(jì)）服從N（50,2.52）問最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05.解：已知XN（50,2.52）不妨設(shè)最多可裝A袋水泥才使總重量超過2000的概率不大于0.05.則由期望和方差的性質(zhì)得Y=AXN（50A,2.52A）.故由題意得P Y20000.05即解得A39.30.三十二 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率p.解：由

38、題意知=7300,=700，則由契比雪夫不等式31.三十三對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,證明E (VW)2E (V2 )E (W 2 )這一不等式稱為柯西施瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式.證明：由和關(guān)于矩的結(jié)論，知當(dāng)E (V2 ), E (W 2 )存在時(shí)E (VW)，E(V ), E(W ), D (V ), D (W ),都存在.當(dāng)E (V2 ), E (W 2 )至少有一個(gè)為零時(shí)，不妨設(shè)E (V2 )=0，由D (V )= E (V2 )E (V )2E (V2 )=0知D (V )=0，此時(shí)E (V )2 = E (V2 )=0即E (V )=0。

39、再由方差的性質(zhì)知P (V=0)=1.又故有P (VW=0)=1.于是E(VW )=0，不等式成立. 當(dāng)E (V2 )0，E (W 2 )0時(shí)，對(duì)有E (WtV )2 = E (V2 ) t22 E(VW )t+ E (W 2 )0.(*)(*)式是t的二次三項(xiàng)式且恒非負(fù)，所以有=2 E(VW ) 24 E (V2 ) E (W 2 ) 0故Cauchy-Schwarz不等式成立。二十一（1）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5i, i=1,2,3,4。設(shè)Y=2 X1X2+3X3X4，求E (Y)，D (Y)。（2）設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X

40、N（720，302），YN（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=XY的分布，并求P XY , P X+Y1400 解：（1）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2，3有E (Y )= 2E (X1 )E (X2 )+3 E (X3 )E (X4 )=7利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2，3有D (Y )=22 D (X1 )+ (1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=37.25（2）根據(jù)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1N（ ，），Z2N（ ，）而E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EX

41、EY=720640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1N（2080，4225），Z2N（80，1525）P XY = P XY 0 = P Z20 =1P Z2 0 =P X+Y 1400 =1P X+Y 1400 同理X+YN（1360，1525）則P X+Y 1400 =1P X+Y 1400 =二十二 5家商店聯(lián)營(yíng)，它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以kg計(jì)）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1N（200，225），X2N（240，240），X3N（180，225），X4N（260，265），X5N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨(dú)立。（1）求5家商店兩周的總