一元二次方程整數(shù)根問題的十二種思維競賽+中考

1、一元二次方程整數(shù)根問題的十二種思維策略一. 利用判別式例1.（2000年黑龍江中考題）當m是什么整數(shù)時，關于x的一元二次方程 與的根都是整數(shù)。解：方程有整數(shù)根， =16-16m0，得m1又方程有整數(shù)根 得 綜上所述，m1x可取的整數(shù)值是-1，0，1當m=-1時，方程為x-4x+4=0 沒有整數(shù)解，舍去。而m0 m=1例2（1996年四川競賽題）已知方程 有兩個不相等的正整數(shù)根，求m的值。解：設原方程的兩個正整數(shù)根為x，x，則m=(x+x)為負整數(shù). 一定是完全平方數(shù) 設（為正整數(shù)） 即：m+2+km+2-k,且奇偶性相同 或解得m=10（舍去）或m=5。當m=5時 ，原方程為x-5x+6=0，

2、兩根分別為x=2，x=3。 二. 利用求根公式例3（2000年全國聯(lián)賽）設關于x的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實數(shù)k的值。解： 由求根公式得即 由于x-1，則有兩式相減，得即 由于x，x是整數(shù)，故可求得或或分別代入，易得k=，6，3。三. 利用方程根的定義例4.b為何值時，方程 和有相同的整數(shù)根？并且求出它們的整數(shù)根？解：兩式相減，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 當b2時,x=1+b,代入第一個方程,得 解得b=1,x=2當b=2時,兩方程無整數(shù)根. b=1,相同的整數(shù)根是2四.利用因式分解例5.（2000年全國競賽題）已知關于x的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有

3、_個.解: 當a=1時,x=1 當a1時,原方程左邊因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 x是整數(shù) 1-a=±1,±2, a=-1,0,2,3 由上可知符合條件的整數(shù)有5個.例6.(1994年福州競賽題) 當m是什么整數(shù)時,關于x的方程的兩根都是整數(shù)?解：設方程的兩整數(shù)根分別是x，x，由韋達定理得 由消去，可得則有 或解得： 或由此或0，分別代入，得或五.利用根與系數(shù)的關系例7.(1998年全國競賽題) 求所有正實數(shù)a,使得方程僅有整數(shù)根.解：設方程的兩整數(shù)根分別是x，x，且 由根與系數(shù)的關系得 由得 將代入得顯然 x4，故x可取5，6，7，8。從而易得

4、a=25，18，16。六.構造新方程例8.(1996年全國聯(lián)賽)方程有兩個整數(shù)根,求a的值.解：原方程變?yōu)?設y=x-8，則得新方程為 設它的兩根為y，y，則 x是整數(shù)，y，y也是整數(shù)，則y，y只能分別為1，-1或-1，1 即y+y=0 a=8。七.構造等式例9.(2000年全國聯(lián)賽C卷) 求所有的正整數(shù)a,b,c,使得關于x的方程的所有的根都是正整數(shù).解：設三個方程的正整數(shù)解分別為，則有 令x=1，并將三式相加，注意到x1（i=1，2，6），有 但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0 故 a=b=c=1八.分析等式例10.(1993年安徽競賽題) n為正整

5、數(shù)，方程有一個整數(shù)根，則n=_.解：不妨設已知方程的整數(shù)根為，則整理。得因為為整數(shù)，所以為整數(shù)也一定是整數(shù)，要使為整數(shù)，必有由此得，即解得n=3或-2（舍去） n=3。九.反客為主例11.(第三屆祖沖之杯競賽題)求出所有正整數(shù)a,使方程至少有一個整數(shù)根.解：由原方程知x2，不妨將方程整理成關于的一元一次方程得（因為是正整數(shù)）則得解得因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。 分別代入a的表達式，故所求的正整數(shù)a是1，3，6，10。十.利用配方法例12. (第三屆祖沖之杯競賽題) 已知方程 有兩個不等的負整數(shù)根,則整數(shù)a的值是_.解：原方程可變?yōu)榧吹茫寒攁-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5時，x為負整數(shù)。但a=0時，x0； a=-5時,x=-1又a-1 a=-2。 十一.利用奇偶分析例13.(1999年江蘇第14屆競賽題)已知方程有兩個質(zhì)數(shù)根,則常數(shù)a=_.解：設方程的兩個質(zhì)數(shù)根為x，x( xx) 由根與系數(shù)的關系得x+x=1999. 顯然 x=2,x=1997,于是a=2×1997=3994.十二.利用反證法例14.不解方程,證明方程無整數(shù)根 證明:假設方程有兩個整數(shù)根,則+=1997,=1997,由第二式知均