關(guān)于實數(shù)幾個基本定理

1、關(guān)于實數(shù)幾個基本定理黃翔中山大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)04級定理一 實數(shù)基本定理（戴德金實數(shù)連續(xù)性定理）實數(shù)系R按戴德金連續(xù)性準(zhǔn)這是連續(xù)的，即對R的任意分劃A|B，都存在唯一的實數(shù)r，它大于或等于下類A的每一實數(shù)。小于或等于上類B中的每一個實數(shù)。定理二 單調(diào)有界有極限 單調(diào)上升（下降）有上（下）界的數(shù)列必有極限存在。定理三 確界定理 在實數(shù)系R內(nèi)，非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界存在。定理四 區(qū)間套定理 設(shè)是一個區(qū)間套，則必有唯一的實數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間套里，即。定理五 Borel有限覆蓋定理 實數(shù)閉區(qū)間的任一個覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。定理六 Bolzano-Weierstrass緊致性

2、定理 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理七 Cauchy收斂原理 在實數(shù)系中，數(shù)列有極限存在的充分必要條件是：任給>0，存在N，當(dāng)n>N，m>N時，有。 定理一 三是對實數(shù)連續(xù)性的描述，定理四 定理六是對實數(shù)閉區(qū)間的緊致性的描述，定理七是對實數(shù)完備性的描述。上述七個定理都描述了實數(shù)的連續(xù)性（或稱完備性），它們都是等價的。下面給出其等價性的證明：定理一定理二：設(shè)數(shù)列單調(diào)上升有上界。令B是全體上界組成的集合，即B=，而A=RB,則A|B是實數(shù)的一個分劃。事實上，由有上界知B不空。又單調(diào)上升，故，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又，則，使，即A、B不亂。故A|B是實數(shù)的一個分劃。根據(jù)實

3、數(shù)基本定理，存在唯一的使得對任意，任意，有。下證。事實上，對，由于，知，使得。又單調(diào)上升。故當(dāng)n>N時，有。注意到，便有。故當(dāng)n>N時有，于是。這就證明了。若單調(diào)下降有下界，則令，則就單調(diào)上升有上界，從而有極限。設(shè)極限為r，則。定理二證完。定理二定理三：只需證明在實數(shù)系R內(nèi)，非空的有上界的數(shù)集必有上確界存在。設(shè)數(shù)集X非空，且有上界。則，使得對，有。又R是全序集，對，與有且只有一個成立。故,有與有且只有一個成立。故r是X的上界與r不是X的上界有且只有一個成立。X有上界，實數(shù)是X的上界。若不存在實數(shù)不是X的上界，則由上知，實數(shù)都是X的上界，這顯然與X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X

4、的上界。則使得。用的中點二等分，如果是X的上界，則??；如果不是X的上界，則取。繼續(xù)用二等分，如果是X的上界，則??；如果不是X的上界，則取。如此繼續(xù)下去，便得到兩串序列。其中都不是X的上界且單調(diào)上升有上界（例如），都是X的上界且單調(diào)下降有下界（例如）。并且（當(dāng)時）。由單調(diào)上升有上界知有存在，使得。下證。事實上，對，當(dāng)時有。又都不是X上界對每一個，使得。故對，使得。若，使得，則由知。故，使得。又都是X的上界，故對有。而，故，這是不可能的。故對，有。綜上、即有。即X有上確界存在。定理三定理四：由條件知集合非空，且有上界（例如）。故由確界定理知A有上確界，記為。則對，有。同理可知集合有下確界，記為。則

5、對，有。又，由上可知。兩邊取極限，令有。又顯然。否則由于是A的上確界，則，使得；同理，使得，則有。又由區(qū)間套的構(gòu)造可知，對，記k=max（n,m），則有。故有，矛盾。故必有。故，記為r。則對，有。下證具有這一性質(zhì)的點是唯一的。用反證法，如果還有另一，使得。由于對一切n成立，故,令，得，與矛盾。故這樣的r是唯一的，即存在唯一的實數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間里，即。定理四定理五：用反證法。設(shè)E是區(qū)間的一個覆蓋，但沒有E的有限子覆蓋。記，二等分，則必有一區(qū)間沒有E的有限子覆蓋（否則把兩區(qū)間的E的有限子覆蓋的元素合起來構(gòu)成一新的集合E,則E是的E的有限子覆蓋，即有E的有限子覆蓋與反證假設(shè)矛盾），記其為

6、。二等分，則必有一區(qū)間沒有E的有限子覆蓋，記為。如此繼續(xù)下去，得到一組實數(shù)的閉區(qū)間序列，滿足(i) ；(ii)。故構(gòu)成一個區(qū)間套，且每個都沒有E的有限子覆蓋。則由區(qū)間套定理有存在唯一的實數(shù)r，使得。又由覆蓋的定義有，使得，即。又由上區(qū)間套定理的證明可知，其中。故，使得，使得 。設(shè)，則，即有覆蓋。這與沒有E的有限子覆蓋的構(gòu)造矛盾，故必有E的有限子覆蓋。定理五定理六：設(shè)數(shù)列有界，即實數(shù)a,b，且a<b，有。用反證法，如果無收斂子數(shù)列，則對，使得只有有限個。（如果不然，即，對，有中有無限個。選定，再選，使。這是辦得到的，因為包含數(shù)列的無限多項。再取，使。如此繼續(xù)下去，便得到的一子數(shù)列。令，則有

7、。又，與反證假設(shè)矛盾）。又以這樣的作為元素組成的集合顯然是的一覆蓋，記為E。則由Borel有限覆蓋定理知有E的有限子覆蓋。而E中的每個元素都只包含的有限項，有限個有限的數(shù)相加仍為有限數(shù)，故只包含的有限項。這與矛盾，故必有收斂子數(shù)列，即有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理六定理七：必要性：設(shè)在實數(shù)系中，數(shù)列有極限存在，則，使得只要，有（記）。因此只要，就有。必要性得證。 充分性：設(shè)在實數(shù)系中，數(shù)列滿足：，當(dāng)時，有，即是基本列。先證是有界的。事實上，取，則，使得當(dāng)時，有。取定一，則有。取，則有。這就證明了是有界的。再證明有極限存在。由Bolzano-Weierstrass緊致性定理可知有子數(shù)列，使得存在，

8、記為a。下證。事實上，由題設(shè)知，當(dāng)時，有。又，只要，就有。取，則只要，選取，就有。這就證明了。即有極限存在。充分性得證。綜上，定理七證完。定理七定理一：對任意給定的實數(shù)R的分劃A|B，A、B非空，可任取點。又分劃滿足不亂，。用的中點二等分，如果，則??；如果。則取。（分劃滿足不漏，對任意實數(shù)，或者屬于A，或者屬于B。故或。）繼續(xù)用二等分，如果，則取；如果，則取。如此繼續(xù)下去，便得到兩串序列。其中單調(diào)上升有上界（例如），單調(diào)下降有下界（例如），并且（當(dāng)時）。下面用柯西收斂原理來證明存在。事實上如果不然，則，有。不妨設(shè)，由單調(diào)上升有。對上式都成立（），取，并把所得的不等式相加得。其中k為不等式的個數(shù)。故，當(dāng)時。而由N的取法可知對每一個k都有相應(yīng)的N與之對應(yīng)，即有相應(yīng)的與之對應(yīng)。故對，使得。即無界，與有界矛盾。故存在，記為r。下證對，有。這等價于證明對，有。事實上，由知，使。故。而對，由知。故，使。從而，這就證明了，即證明了實數(shù)基本定理。 綜上，這就證明了這七個定理是等價的。而從證明過程來看：定理二定理三的方法可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可運用于定理七定理二，定理二定理四，定理