大數(shù)定理及中心極限定理

1、第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理 2121limlim.2ntkxknnnXnFxPxedtxn nFxx的分布函數(shù)對于任意 滿足獨(dú)立同分布的中心極限定理又稱為列維列維-林德伯格林德伯格中心極限定理中心極限定理。 第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理 推論（德莫佛-拉普拉斯中心極限定理）n(1,2),(01),Y nn ppx 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布在，則對于任意 有 221lim.21txnnYnpPxedtxnpp 第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理 例1 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，對每個(gè)加數(shù)取整（取為最接近于它的整數(shù)），設(shè)所有的取整數(shù)誤差是相互獨(dú)

2、立的，且它們都在(-0.5,0.5)上服從均勻分布。 （1）若將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？ （2）多少個(gè)數(shù)加在一起使得誤差總和絕對值小于10的概率為0.90.第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理度函數(shù)為）上為均勻分布，其密，在（則個(gè)加數(shù)取整誤差為解：有題設(shè)條件，設(shè)每0.50.5),2 , 1(kkXkX 1,;0,fxx-0.5,0.5其他，12,nXXX且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,又 0.50.50,kE Xxf x dxxdx第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理 0.522220.51,12kkD XE Xx fx dxx dx于是由獨(dú)

3、立同布中心極限定理得121500115PXXX（ ）15000315 300.5 15000.5 1500kkPX221.3416221.34161122ttedtedt11.34161.3416 2 11.34160.1802.第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理113010 32 0.9100.50.5nkknXP XXPnn（ ）33320202201,nnn 3200.95,n即3201.645,n23400443.455.1.645n 即故取n=444，這表明大約444個(gè)整數(shù)相加可以90%的概率保證取整誤差總和的絕對值小于10.第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理

4、 例 2 甲乙兩個(gè)戲院在競爭1000名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾完全隨意地選擇一個(gè)戲院，且觀眾之間選擇戲院，且觀眾之間選擇戲院是彼此獨(dú)立的，問每個(gè)戲院應(yīng)該設(shè)有多少個(gè)座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%。第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理ixxX解：假設(shè)甲戲院需設(shè) 個(gè)座位，由對稱性，乙戲院也需設(shè) 個(gè)座位，定義隨機(jī)變量 如下1,;0,iX第i名觀眾選擇甲戲院其他，1,2,1000.i 其中，依題意有110.2iiP XP X第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理121000,XXX由此可得是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，依題意有12100099%.P XXXx11,24iiE XD

5、 X又，由獨(dú)立同分布中心極限定理有10001000110.55005000.99.115 101000100022kkikXxxPXxP 5002.33,5 10 x查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得2.33 5 10500537.x 即第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理 例3某單位有200臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話。假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解：設(shè)有X部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有),(pnBX.08. 3p)-np(110,np0.05,p200,n 其中設(shè)有N條外線。由題意有9 . 0 NXP第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理由德莫佛-拉普拉斯定理有.08. 310)1 (NpnpnpN條外線。即至少要安裝取即14,14.94.13NN.90. 0)28. 1 (查表得,28. 13.0810-N 應(yīng)滿足條件故 NNXP)1 ()1 (pnpnpNpnpnpXP第四章 大數(shù)定理及中心極限定理2 中心極限定理1 引進(jìn)了大數(shù)定律的概念，要了解大數(shù)定律的意 義和內(nèi)容，理解貝努里、辛欽大數(shù)定律，了解 契比雪夫大數(shù)定律。2 闡述了中心