函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般概念ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的普通概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的普通概念二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.1.定義定義,120 xxxnn例例如如級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). ) ( )()()()( ),(,),(),( 21121無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)上的上的稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間的函數(shù)，則的函數(shù)，則上上是定義在是定義在設(shè)設(shè)IxuxuxuxuRIxuxuxunnnn 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的普通概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的普通概念2.2.收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域收收斂斂，數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)如如果果 )( , 100 nnxuIx. )( 10否則稱為發(fā)散點(diǎn)否則稱為發(fā)

2、散點(diǎn)，的收斂點(diǎn)的收斂點(diǎn)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)則稱則稱xuxnn . )( 1為發(fā)散域?yàn)榘l(fā)散域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱斂域斂域?yàn)槭諡槭盏乃惺諗奎c(diǎn)的全體稱的所有收斂點(diǎn)的全體稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)xunn )()(limxsxsnn )()()( xsxsxrnn 余余項(xiàng)項(xiàng)). ( 0)(lim在在收收斂斂域域上上x(chóng)xrnn 留意留意 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x x 的收斂問(wèn)題的收斂問(wèn)題, ,本質(zhì)上是數(shù)本質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題. .3.3.和函數(shù)和函數(shù) )()()()(21xuxuxuxsn. )( )( 為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)稱稱，的的函函數(shù)數(shù)數(shù)

3、數(shù)的的和和是是在在收收斂斂域域上上，函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)xsxsx),( xsn函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和解解 由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111 )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 2 0 時(shí)時(shí)或或即當(dāng)即當(dāng) xx原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. ., 11 x. )11()1( 1 1的的收收斂斂域域求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例nnnxn , 111 )2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 11 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. . 1)1( nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收斂收斂; ; 11 nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)散發(fā)散; ;, 1|1|)3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 20 xx或或)., 0)2,( 時(shí)時(shí)，即

4、即當(dāng)當(dāng) 02 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 2 x故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣始?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.1.定義定義. , 0 00為冪級(jí)數(shù)系數(shù)為冪級(jí)數(shù)系數(shù)其中其中時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nnnnaxax 2.2.收斂性收斂性,120 xxxnn例例如如級(jí)級(jí)數(shù)數(shù);, 1 收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;, 1 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x; )1 , 1( 收收斂斂域域?yàn)闉? ), 11,( 發(fā)發(fā)散散域域?yàn)闉? )( 00的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)形如形如nnnxxa 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa定理定理1 1AbelAbel定理定理處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；的

5、的一一切切在在滿滿足足不不等等式式處處收收斂斂，則則它它在在如如果果 )0( 0000 xxxxxxxannn . 000處處發(fā)發(fā)散散的的一一切切滿滿足足不不等等式式處處發(fā)發(fā)散散，則則它它在在在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)如如果果xxxxxxannn . ), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得, 0 Mnnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 xo R R幾何闡明幾何闡明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域 011使使級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，適適合合而而有有一一點(diǎn)點(diǎn)xxx )1(0時(shí)應(yīng)收斂，時(shí)應(yīng)收斂，結(jié)論，則級(jí)數(shù)當(dāng)結(jié)論，則級(jí)數(shù)當(dāng)由由xx )2(0時(shí)發(fā)散，時(shí)發(fā)散，假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)

6、xx 這與假設(shè)矛盾這與假設(shè)矛盾. ., 1 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnxxM , 0收收斂斂 nnnxa; 0收收斂斂即即級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa推論推論：存在，它具有下列性質(zhì)存在，它具有下列性質(zhì)的正數(shù)的正數(shù)定定斂，則必有一個(gè)完全確斂，則必有一個(gè)完全確不是在整個(gè)數(shù)軸上都收不是在整個(gè)數(shù)軸上都收一點(diǎn)收斂，也一點(diǎn)收斂，也不是僅在不是僅在如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 0 0Rxxannn ；時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)當(dāng) Rx ；時(shí)時(shí)，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) Rx . 可可能能發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也與與當(dāng)當(dāng)RxRx 定義定義: : 正數(shù)正數(shù) R R 稱為

7、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . .冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 . .),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定問(wèn)題問(wèn)題 如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑? ?),(RR ；收斂區(qū)間只含點(diǎn)收斂區(qū)間只含點(diǎn)則則 0 , 0 xR都都收收斂斂，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)一一切切 )2(x. ),( , 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為則則R處處收收斂斂，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)只只在在 0 )1( x證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0 nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0 2 0 nnnnaxa的的所所有有系系數(shù)

8、數(shù)如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)定定理理 nnnaa1lim 設(shè)設(shè)) lim ( nnna或或；時(shí)，時(shí)，則當(dāng)則當(dāng) 1 0 )1( R，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 )2( R . 0 )3( R時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) , )0(lim )1(1存存在在如如果果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法, , 1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x ,| 0收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa. 0收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa, 1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,| 0發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa 開(kāi)始開(kāi)始并且從某個(gè)并且從某個(gè) n |,|11nnnnxaxa 0|nnxa. 0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù);1 R收斂半徑收斂半徑, 0 )2( 如如果果, 0

9、 x),(0 11 nxaxannnn有有, | 0收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa. 0收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa; R收收斂斂半半徑徑, )3( 如如果果. 0 R于是收斂半徑于是收斂半徑, 時(shí)就有時(shí)就有當(dāng)當(dāng)Nn |,|11nnnnxaxa , 0|nnxa.0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , )0( NxRx 則則解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn, 1 . 1 R, 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,11 nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)收斂; ;該級(jí)數(shù)發(fā)散該級(jí)數(shù)發(fā)散. .例例2 2 求以下冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求以下冪級(jí)

10、數(shù)的收斂區(qū)間: :;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn . 1 , 1 故故收收斂斂區(qū)區(qū)間間是是nnna lim nn lim, , Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx; 0 處處收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)只只在在 x. ),( 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為nnnaa1lim 12lim nnn, 2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x, )1 , 0(收斂收斂 x.)21(2)1()4(1nnnnxn , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1 1 nn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為, 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

11、x,)1( 1 nnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為發(fā)散發(fā)散; ;收斂收斂. .故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為 (0,1. (0,1.解解 3523222xxx級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為短少偶次冪的項(xiàng)短少偶次冪的項(xiàng). . 應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂. ., 121 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x , 2 時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) x. 2 3 112的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)例例 nnnx 121 2時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x , 2 時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) x級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, , 2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,21 1 n級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為, 2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,21 1 n級(jí)數(shù)為

12、級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, ,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, ,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1) (1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa,0 nnnxc 21,minRRR ). (nnnbac 其其中中, ),(RRx , 2100RRxbxannnnnn和和的的收收斂斂半半徑徑各各為為和和設(shè)設(shè) 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(2) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa,0 nnnxc, ),(RRx ). (0110bababacnnnn 其其中中00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12

13、ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx(3) (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)( (相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多) )2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)., ),( )( )1(0則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂?jī)?nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間的和函數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)RRxsxannn xnnnxdxxadxxs 0 0 0 )()( 即即 0 0 nxnndxxa.110 nnnxna( (收

14、斂半徑不變收斂半徑不變) ), ),( ),( )( )2(0可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分內(nèi)內(nèi)可可積積，且且對(duì)對(duì)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的和和函函數(shù)數(shù)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)RRRRxsxannn . ),( )( )3(0可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次內(nèi)可導(dǎo)，并且內(nèi)可導(dǎo)，并且在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間的和函數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)RRxsxannn 0)()( nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna( (收斂半徑不變收斂半徑不變) )解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯然顯然兩邊積分得兩邊積分得 xdtts 0 )( 21)(xxxs,11x ),11( x. )1( 4 11的的和和函函數(shù)數(shù)求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例 nnnnx),1ln(x ,1時(shí)時(shí)又又當(dāng)當(dāng) x. 1)1(11收斂收斂 nnn),1ln()1(11xnxnnn ).11( x),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs 即即解解,)1(1nnxnn 考慮級(jí)數(shù)考慮級(jí)數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(