車輛隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ)

1、§9車輛隨機(jī)振動(dòng)車輛的隨機(jī)振動(dòng)實(shí)際上是車輛運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，這種響應(yīng)主要是由于軌道不平順的隨機(jī)激勵(lì)而引起的。本章主要介紹隨機(jī)振動(dòng)以及相關(guān)的概念，以及單軸車模型在隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)的基本特征，初步了解車輛隨機(jī)振動(dòng)的分析計(jì)算方法和改善車輛運(yùn)行平穩(wěn)性的途徑。所討論的是車輛系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)是對(duì)稱的，因此垂向和橫向的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)是解耦的，可以分別獨(dú)立研究。對(duì)于機(jī)車而言，它產(chǎn)生振動(dòng)的因素，除線路的構(gòu)造和狀態(tài)，輪對(duì)的構(gòu)造和狀態(tài)外，柴油機(jī)組和輸助機(jī)組的構(gòu)造和狀態(tài)也會(huì)起到激擾作用（對(duì)柴油機(jī)）；電動(dòng)機(jī)的構(gòu)造和狀態(tài)對(duì)電力機(jī)車也會(huì)起到激擾作用。對(duì)車輛和機(jī)車的振動(dòng)過程研究中，可在增加一組外力來反映這些作用。第一

2、節(jié)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性一、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性1隨機(jī)過程的基本概念一切物理現(xiàn)象可分為兩類：在給定的時(shí)間內(nèi)能確定其物理變量的現(xiàn)象就稱為確定性現(xiàn)象； 如在一靜止的車輛上置一激振器，以激起車體在彈簧裝置上的振動(dòng)，激勵(lì)力是已知的簡(jiǎn)諧力，車體受激勵(lì)而產(chǎn)生的振動(dòng)規(guī)律由來描述。車體在任意時(shí)間t的振幅和加速度都可由計(jì)算確定，這種振動(dòng)稱為確定性的振動(dòng)，它由確定性的激勵(lì)所引起。反之在給定時(shí)間t物理變量不能預(yù)先確定的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。如在任意時(shí)間t的振動(dòng)變量不能預(yù)先確定，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)其進(jìn)行整體描述，這種振動(dòng)稱為隨機(jī)振動(dòng)。在隨機(jī)振動(dòng)中的一些量如振幅和加速度稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量是在隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果中能取到不同數(shù)

3、值的量。隨機(jī)過程：不能用確定性函數(shù)來描述但具有一定統(tǒng)計(jì)特性的過程稱為隨機(jī)過程。1 / 20隨機(jī)過程是一簇n個(gè)隨機(jī)變量的總集合。其中任一個(gè)元素稱為隨機(jī)過程的樣本。振動(dòng)的時(shí)間歷程：以時(shí)間t橫坐標(biāo)，以振動(dòng)量（位移、速度和加速度）為縱坐標(biāo)的線圖，常稱為振動(dòng)波形圖。 X1(t)nt x2(t) xn(t) t1 t1+ t2 tm 在研究許多隨機(jī)過程時(shí)通常作如下徦設(shè)：1） 平穩(wěn)性假設(shè)若一隨機(jī)過程x（t）在任何時(shí)間t1時(shí)的概念統(tǒng)計(jì)規(guī)律與t1+時(shí)的一樣，即過程的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律不因時(shí)間的推移而改變，則稱x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程；2）各態(tài)歷經(jīng)性徦設(shè)隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性是考慮全部子樣而得到的。如果在任一時(shí)間ti跨越總集

4、合的統(tǒng)計(jì)特性與單個(gè)子樣xi(t)的統(tǒng)計(jì)特性相等，則稱這個(gè)隨機(jī)過程為各態(tài)歷經(jīng)的。3) 隨機(jī)振動(dòng)過程的概率分布符合正態(tài)（高斯）分布規(guī)律。二、隨機(jī)變量的概率密度和均值 為了描述隨機(jī)過程的特性，采用時(shí)域上的各種參數(shù)和頻域上的參數(shù)來進(jìn)行。先了解如下概念。1 幅值概率密度（概率的定義：E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一實(shí)數(shù)，記為P（A），稱為事件A的概率，如果它滿足下列條件：1。對(duì)于每一事件A有0P（A）1，2。P（S）13。對(duì)于兩兩互不相容的事件AK（）有P（）P（A1）P（A2）P（An）)幅值概率密度用表示.幅值概率密度是隨機(jī)變量瞬時(shí)值出現(xiàn)于某一單位幅值區(qū)間內(nèi)的概率。隨機(jī)振動(dòng)幅

5、值處于x到x+x之間的概率是 幅值 T1 t2 t3 tn 在振動(dòng)時(shí)間歷程上x+xxt T概率密度曲線愈精確。 X2x1與x2對(duì)應(yīng)的面積就是x1與x2之間的幅值出現(xiàn)的概率 x0 x1 x1+其值為2 統(tǒng)計(jì)平均值與概率分布隨機(jī)振動(dòng)的幅值特性由時(shí)間域內(nèi)的下列均值來描述：1）平均值或2)平均絕對(duì)值或3） 均方值或4）均方根值或平均值為T時(shí)間內(nèi)x(t)的算術(shù)平均值，代表了隨機(jī)變量的穩(wěn)態(tài)量。當(dāng)平均值0時(shí)，和就分別等于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差和標(biāo)準(zhǔn)離差。方差的定義為表示隨機(jī)變量在其平均值兩邊的分布特性。均方值和均方根值能表征隨機(jī)振動(dòng)所含的能量，是個(gè)重要的描述量。對(duì)于振幅為的正弦波，平均值0均方值隨機(jī)振動(dòng)的概率分布通

6、常服從正態(tài)分規(guī)律，若振動(dòng)瞬時(shí)值為x，幅值的平均值m。其幅值概率密度m值的改變將使曲線沿x軸平移而不改變其形狀。改變時(shí)將使曲線形狀改變，但曲線和x軸之間所圍的面積仍然不變而等于1。愈小，則該面積愈集中于平均值m的附近。隨機(jī)振動(dòng)幅值的概率主要分布在±3之間。占到99.7%。 +xx(t) 3 m m 3 0 p(x) 0 -x 隨機(jī)振動(dòng)幅值的正態(tài)分布因此常把m+3作為隨機(jī)振動(dòng)的最大幅值。正態(tài)分布的均方值可由這兩式求得，m2+三、隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)（一）相關(guān)函數(shù) 1自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)定義為的平均值即對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，每個(gè)樣本函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)定義為 t m2

7、X1X2t o T 時(shí)間歷程 自相關(guān)函數(shù)曲線描述的是一個(gè)特定的瞬時(shí)幅值與先前某一瞬時(shí)t時(shí)的幅值的關(guān)聯(lián)程度。小，x(t+)與x(t)關(guān)系密切；大，x(t+)與x(t)關(guān)系不密切。x(t)所決定的成分減少。也就小。當(dāng)，x(t+)與x(t)無關(guān)，此時(shí)，就衰減到隨機(jī)變量平均值的平方，或衰減到零。當(dāng)0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)為上式表明，自相關(guān)函數(shù)的最大值即等于該隨機(jī)變量的均方值。如果x(t)是周期性函數(shù)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期性的。2互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)不同的平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)x(t)與 y(t)之間的互相關(guān)函數(shù)定義為：和對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，可以用樣本函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)來表示，即對(duì)于大多數(shù)隨機(jī)過程，時(shí)差越大則相關(guān)性越弱，當(dāng)很大時(shí)，

8、可以認(rèn)為x與y互不相關(guān)，此時(shí)有互相關(guān)函數(shù)的圖線形狀和自相關(guān)函數(shù)相類似，但其左右的對(duì)稱軸不象后者是在0時(shí)，而是在某一0時(shí)互相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值。（二）、功率譜密度函數(shù)1功率譜密度函數(shù)1） 從頻域上，用功率譜密度函數(shù)來描述。功率譜密度函數(shù)用Wx（f）表示。用譜密度的均方值對(duì)隨機(jī)變量的頻率結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。對(duì)隨機(jī)振動(dòng)而言，表示振動(dòng)能量在頻率域上的分布。其定義為隨機(jī)變量x(t)在微小頻帶寬度內(nèi)的均方值除以帶寬Wx（f）：某一窄頻的帶寬；：在范圍內(nèi)的變量，即經(jīng)過帶寬為的窄帶濾波器后的變量，如振動(dòng)量。（位移、加速度、速度等）Wx（f）中含有項(xiàng)，表示了系統(tǒng)的能量如振動(dòng)系統(tǒng)的位能。（動(dòng)能，粘性阻尼消耗的能量都和振幅

9、的平方成正比）。故Wx（f）表示了能量的度量，借用“功率”來命名，實(shí)際上Wx（f）本身并不包含功率的意思，故稱其為均方譜密度函數(shù)更確切。還被稱為：功率譜（power spectral density）PSD自功率譜譜密度Wx（f）縱坐標(biāo)為Wx（f）；橫坐標(biāo)為f；頻率范圍在fa 、fb之間；f1、 f2的振動(dòng)分量較大； fO fa f1 f2 fb 寬頻帶的隨機(jī)功率譜圖頻譜圖可通過將實(shí)測(cè)的隨機(jī)振動(dòng)的時(shí)間歷程記錄經(jīng)頻譜分析儀得到。功率譜密度函數(shù)的單位：（隨機(jī)變量單位）2/單位頻率。如當(dāng)x(t)是振動(dòng)位移的時(shí)間歷程時(shí)，其譜密度單位為（位移）2/HZ。當(dāng)x(t)是振動(dòng)加速度的時(shí)間歷程時(shí)，其譜密度單位為

10、（g）2/HZ。 當(dāng)x(t)是軌道不平順波形時(shí)，其譜密度單位為（mm）2·m/周。功率譜圖形的意義：上式左邊為上圖中以陰影表示的微面積；右邊為微小寬帶內(nèi)的均方值。于是在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)由Wx（f）和橫坐標(biāo)所圍的面積就等于全部寬帶內(nèi)的相應(yīng)的均方值之和。即等于x(t)的總的均方值功率譜的作用：通過對(duì)它的分析，有助于了解隨機(jī)振動(dòng)的機(jī)理，有助于進(jìn)行振動(dòng)模擬。如已測(cè)得軌道不平順的功率譜，就可對(duì)其進(jìn)行譜型模擬，用它作激勵(lì)函數(shù)在室內(nèi)對(duì)車輛進(jìn)行振動(dòng)模擬試驗(yàn)，由此而得到試驗(yàn)結(jié)果和車輛在實(shí)際線路上運(yùn)行的結(jié)果具有相同的特性。在隨機(jī)過程理論的推理中，常用傅里葉變換來表明自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)間的關(guān)系：（1

11、）（2）稱為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，而則稱為的傅里葉逆變換。在（2）式中令0則得因，故這樣，又得到了均方值等于曲線與橫坐標(biāo)軸之間面積的關(guān)系式。上式中的稱為雙邊功率譜。Wx（f）稱為單邊功率譜Wx（f）f兩種功率譜的關(guān)系式為2d= Wx（f）df而f=/2 df=d/2所以，有Wx（f）4 2互功率譜密度函數(shù)兩個(gè)隨機(jī)過程的互譜密度函數(shù)定義為這兩個(gè)過程的互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。即互譜密度的一個(gè)重要性質(zhì)是兩者為共軛復(fù)數(shù)，即第二節(jié)線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的基本特性當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)可以用線性微分方程描述時(shí)，成為線性系統(tǒng)。若系統(tǒng)方程中的系數(shù)不隨時(shí)間而變，則稱為常系數(shù)線性系統(tǒng)。一、線性系統(tǒng)的基本特性常系數(shù)線性系統(tǒng)

12、具有如下特性：1） 疊加性：若系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)x1(t)單獨(dú)作用下，對(duì)應(yīng)于某一響應(yīng)為y1(t),在xn(t)作用下的響應(yīng)為yn(t),則在x1（t）x2(t)、。xn（t）的同時(shí)作用下總的響應(yīng)y(t)為y1(t) 、y2(t) 。yn(t)之和；2） 齊次性當(dāng)激勵(lì)的輸入項(xiàng)按某一倍數(shù)變化時(shí)，輸出量也按同一倍數(shù)變化；3） 頻率保存性系統(tǒng)在頻率為的諧和函數(shù)激勵(lì)下，其響應(yīng)也具有相同的頻率，不會(huì)引起頻率的轉(zhuǎn)換，而只能改變相位和振幅。線性系統(tǒng)適用于疊加原理，可使問題簡(jiǎn)化。這樣可將系統(tǒng)分解為一個(gè)輸出對(duì)應(yīng)于一個(gè)輸入來研究，然后將響應(yīng)進(jìn)行疊加即得系統(tǒng)總的響應(yīng)。二、頻率響應(yīng)函數(shù)線性振動(dòng)系統(tǒng)受到諧和函數(shù)x(t)=x0

13、sint激勵(lì)時(shí)，其響應(yīng)也具有同頻率的簡(jiǎn)諧波，但存在相位差，即y(t)=y0sin(t+).因此，用振幅比y0/ x0和相角就可確定系統(tǒng)的傳遞特性。頻率響應(yīng)函數(shù)或傳遞函數(shù)用H（）表示H（）的定義：該函數(shù)的模等于輸出與輸入的振幅比，虛部與實(shí)部之比等于相角的正切。即H（）A（）jB（） 注意：輸出量并不一定就是振幅，是廣義的幅值。y0 具有不同的意義時(shí)，H（）值也不同。應(yīng)用復(fù)數(shù)表示法中的的關(guān)系，可將上面輸入和輸出寫為隨然是系統(tǒng)對(duì)諧和輸入的頻第響應(yīng)函數(shù)，但在隨機(jī)輸入所引起的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中有十分重要的應(yīng)用，它決定了系統(tǒng)的響應(yīng)特性。（一） 單自由度系統(tǒng)受單一激勵(lì)時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)F（t）求的方法 MZ系統(tǒng)受

14、到軌道不平順Zv(t)的激勵(lì) K C其動(dòng)動(dòng)方程為取ZV（t）為單位振幅的諧和函數(shù) t則響應(yīng)z(t)= 將 z(t)代入上面方程Zv(t)得為求出的模令EK，F(xiàn)C，GKM2，HC則的模為： 再進(jìn)行下面代換：令系統(tǒng)的自振頻率為P，減振因素為D，頻率比為r,則有PD將上式分子分母各除以K，經(jīng)演算后得上式為車體振幅與線路波形振幅之比的擴(kuò)大倍率。（二）、單自由系統(tǒng)受多個(gè)激勵(lì)時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)仍以上圖為例，除有軌不平順產(chǎn)生的激勵(lì)外，簧上部分還作用有垂向激振力系統(tǒng)的方程為該系統(tǒng)的已求得，以下求作用的頻率響應(yīng)函數(shù)現(xiàn)令Zv(t)0，代入上式得為求其模，將上式寫成于量有當(dāng)系統(tǒng)受到多個(gè)激勵(lì)時(shí)，便會(huì)有多個(gè)頻率響應(yīng)函數(shù)，

15、其中每一個(gè)都可按求的方法單獨(dú)求出。以上討論的是系統(tǒng)輸出位移的頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)于輸出的是振動(dòng)速度和加速度時(shí)可如下處理；若系統(tǒng)輸出的是y(t)=y0sin(t+)，輸入的是x(t)=x0sint，則有= y0cos(t+) =y02sin(t+)于是，振動(dòng)速度和加速度的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為三、系統(tǒng)響應(yīng)的譜密度隨機(jī)過程理論表明：對(duì)于線性系統(tǒng)，如果輸入的函數(shù)是平穩(wěn)隨機(jī)過程而且是各態(tài)歷經(jīng)的和呈正態(tài)分布的，則輸出的振動(dòng)響應(yīng)也是平穩(wěn)的、各態(tài)歷經(jīng)的和呈正態(tài)分布的。如單個(gè)輸入函數(shù)x(t)的譜密度為SX（），輸出函數(shù)y(t)的相應(yīng)譜密度為Sy(),則有下列重要關(guān)系存在：（1）當(dāng)有兩個(gè)輸入函數(shù)時(shí)有：Sy()（2）式中

16、分別為的復(fù)數(shù)共軛；分別為輸入的譜密度；分別為輸入的互譜密度。當(dāng)有n個(gè)輸入函數(shù)時(shí)，則相應(yīng)的式子為：（3）對(duì)于單個(gè)輸入的情況有因復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積等于該復(fù)數(shù)模的平方，故有（1）式對(duì)于互不相關(guān)的各個(gè)輸入，其互譜密度均為零，由式（3）可得（4）由3式與4式比較，互譜密度為零時(shí)，計(jì)算響應(yīng)的譜密度要簡(jiǎn)單得多。因此，只要互譜密度很小，在工程計(jì)算中往往略運(yùn)河不計(jì)。四、系統(tǒng)響應(yīng)的均方值若已知系統(tǒng)的響應(yīng)譜密度，則其均方值可按下式求得：（5）對(duì)于單個(gè)輸入，有度度ef1gh1gqj1tgj1s1ud1txi1dh z z對(duì)于多個(gè)互不相關(guān)的輸入，有即此時(shí)系統(tǒng)總的均方響應(yīng)值為各個(gè)輸入產(chǎn)生的響應(yīng)均方值之總和。如多個(gè)輸入

17、之間存在著相關(guān)關(guān)系時(shí)，就需用（3）式求出相應(yīng)的譜密度，然后再用式（5）求出響應(yīng)的均方值。對(duì)于單個(gè)輸入的響應(yīng)加速度均方值有：（6）式中的即導(dǎo)出得到，過程加速度的譜密度是原振動(dòng)位移譜密度的倍。同樣有振動(dòng)速度的譜密度是原振動(dòng)位移譜密度的倍。有此重要關(guān)系，就可從已知的輸入譜密度通過以上關(guān)系式計(jì)算出響應(yīng)速度和加速度的均方值。而后者正是計(jì)算車輛響應(yīng)和評(píng)定平穩(wěn)性所必須的。例由上圖系統(tǒng)為例計(jì)算其響應(yīng)的均方值。這里僅考慮由的激勵(lì)引起的響應(yīng)。S0設(shè)的譜密度為常數(shù)，即S0。0輸入譜密度利用n 0n 頻響函數(shù)可得出輸出的譜密度為：見圖n 0n輸出譜密度輸出的均方值為：這種形式的定積分可由查表得到，結(jié)果得：由于譜密度曲

18、線下面的面積等于響應(yīng)的均方值，由圖可見，系統(tǒng)的振動(dòng)能量集中在共振峰值附近。這表明在寬帶的輸入作用下其輸出是一個(gè)窄帶過程。第三節(jié) 車輛簡(jiǎn)化模型的垂向隨機(jī)振動(dòng)一、具有一個(gè)自由度模型的響應(yīng)減小振動(dòng)響應(yīng)的途徑：以簡(jiǎn)化模型為對(duì)象時(shí)車輛隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的一些重要特征：1、 車體的均方根加速度和軌道不平順的大小有關(guān)，線路的等級(jí)和技術(shù)狀態(tài)愈差，則振動(dòng)加速度愈大；2、 振動(dòng)加速度隨運(yùn)行速度的提高而明顯增大，速度增加一倍時(shí)加速度要增大41%；3、 振動(dòng)加速度隨車輛自振頻率的提高而急劇加大；4、 系統(tǒng)的阻尼和剛度比對(duì)振動(dòng)響應(yīng)有不同程度的影響。途徑：1、 降低車輛的自振頻率其有效途徑是增大彈簧裝置的靜撓度即降低剛度；2、 選取減振器最佳的阻尼值，可使振動(dòng)加速度減小到最低