二階變系數(shù)線性微分方程的求解(宋婉蕓2)

1、二階變系數(shù)線性微分方程的求解宋婉蕓 指導(dǎo)教師:藺海新(河西學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2017屆2班1350701231號, 甘肅張掖 734000)摘 要 主要討論了二階變系數(shù)線性微分方程的求解問題,本文利用變量代換的方法將二階變系數(shù)線性微分方程化為Riccati方程,在利用已有的結(jié)果得出二階變系數(shù)線性微分方程的通解.關(guān)鍵詞 二階變系數(shù)微分方程；通解；特解中圖分類號 01751 引言二階線性齊次微分方程無論是在微分方程理論上還是應(yīng)用上都占有重要位置對于常系數(shù)的線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)，在一般的著作文中有十分完美的結(jié)論，但求解二階線性變系數(shù)微分方程卻無通用的求解方法其在實際中總存在著困難，而且也一直是

2、人們感興趣的研究課題，如劉瓊在文獻1中討論了方程 (1)當(dāng)系數(shù)滿足時，其通解為,其中,為常數(shù) 2 預(yù)備知識 法國數(shù)學(xué)家劉維爾(Liouville)1841年證明了著名的黎卡提(Riccati)方程 (2)一般是不可積的，即不能用初等積分法求解文獻24均給出了待定系數(shù)滿足以下條件時Riccati 方程的通解，如2.1對于方程(2)，若系數(shù)滿足，則方程(2)可積，且其通解為，其中為常數(shù).2.2 對方程(2)，若系數(shù)滿足，則方程(2)可積，且其通解為，其中為常數(shù).3 定理及其證明定理1 1對于方程(2)，若系數(shù)滿足,則方程(2)可積，且其通解為 ，其中為常數(shù)證明 當(dāng)，時，方程(2)化為 (3)顯然為

3、方程(3)的特解現(xiàn)令,則 ，將其代入方程(3)中并整理得；再令，則有，根據(jù)一階線性非齊次微分的解法(常數(shù)變易法)可解得其通解為,其中 為常數(shù).所以,則，從而得方程(3)的通解為,其中為常數(shù).本文利用變量代換的方法將二階變系數(shù)微分方程 (4)化為Riccati 方程，再利用已有的結(jié)果得出二階線性變系數(shù)微分方程的通解定理22 若方程(4)的系數(shù)滿足，則其通解為,其中 ,為任意常數(shù).證明 設(shè)，則，將, 代入方程(1)中并整理得：，顯然是方程(4)的解，而，即 (5).令，則方程(5）即為 （6）是一個關(guān)于的Riccati 方程，而且由于,即方程(6)的系數(shù)滿足引理1的條件,所以方程(6)可積且其通解

4、為，其中為任意常數(shù).所以從而解得,其中 ,為任意常數(shù).而當(dāng)時,， 所以方程(4)的通解為,其中 ,為任意常數(shù).定理33 若方程(4)的系數(shù)滿足,則其通解為,其中 ,為任意常數(shù).證明 設(shè)，則，將,代入方程(4)中并整理得,顯然為方程(4)的解,而即 (7)因為，則方程(7)化為 （8）令，則方程(8)化為 （9）因為，滿足引理2的條件，所以方程(9)可積且其通積分為,其中為常數(shù)，所以,其中 ,為任意常數(shù).而當(dāng)時,所以方程(4) 的通解為,其中 ,為任意常數(shù).定理44 若方程(5)的系數(shù)滿足,則其通解為,其中 ,為任意常數(shù).證明 設(shè)，則將 ,代入方程(4)中并化簡整理得， 顯然y=0為方程（4）的

5、解，而 ，即 （10）再令，則方程（10）即為 （11）因為,而，即方程(10)的系數(shù)滿足定理1的條件，所以方程(10)可積且其通解為,其中為常數(shù)，所以,其中 ,為任意常數(shù). 而當(dāng)時,所以方程(4)的通解為,其中 ,為任意常數(shù).4 方程的求解 求二階變系數(shù)線性微分方程解時, 必須觀察二階變系數(shù)線性微分方程的特征.如果是上述特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程, 就用特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法求之;如果不是上述特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程, 就用二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解方法求之.二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解步驟第一步:構(gòu)造形式 第二步:計算出,第三步:將第二步的結(jié)果代

6、入上述公式求出通解來.例1求方程的通解.解 ， 滿足定理2 的條件;所以其通解為 ,其中 ,為任意常數(shù).例2求方程的通解. 解 滿足定理3的條件,所以其通解為，其中 ,為任意常數(shù).例3 求方程的通解 解 ，,所以其通解為:,其中 ,為任意常數(shù).例4 求的通解 解由方程特征可知,則的通解為.注意:對于常系數(shù)齊次線性微分方程的通解往往用特征根的方法求其通解，如果用以上降價法解常系數(shù)齊次線性微分方程的解更不成問題,但較特征根法煩瑣一些.例5求的通解 解 解之得又知由以上公式,所求方程的通解為.6 結(jié)束語 本文分析的二階變系數(shù)線性微分方程的解法主要是通過降階的方式，將二階變系數(shù)線性方磚轉(zhuǎn)嫁為一階線性微分方程進行求解，這樣一來只需利用結(jié)構(gòu)系數(shù)函數(shù)就可以對二階邊系數(shù)線性微分方程的特解或通解進行求得，借助結(jié)構(gòu)系數(shù)函數(shù)，再利用降價法就是得出二階邊系數(shù)方程的特解或是通解.參 考 文 獻1劉瓊.一類二階變系數(shù)微分方程的解J.廣西右江民族師專學(xué)報，2002，(6) : 18202馮錄祥一特殊類型Riccati 方程的積分J石河子大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) ，1997，(4) : 3163183龐建華Riccati 方程的一些新的可積條件J.廣西工學(xué)院學(xué)報，2008，(2