微分方程求解

1、第一節(jié) 微分方程的基本概念學(xué)習(xí)目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的階，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始條件等學(xué)習(xí)重點：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件學(xué)習(xí)難點：微分方程的通解概念的理解學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、 首先通過幾個具體的問題來給出微分方程的基本概念。（1）一條曲線通過點（1，2），且在該曲線上任一點M（x,y）處的切線的斜率為2x，求這條曲線的方程。解 設(shè)曲線方程為.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)滿足 （1）同時還滿足以下條件：時， （2）把（1）式兩端積分，得 即 （3）其中C是任意常數(shù)。把條件（2）代入（3）式，得， 由此解出C并代入（3）式，得到所求

2、曲線方程： （4）（2）列車在平直線路上以20的速度行駛；當(dāng)制動時列車獲得加速度.問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間里行駛了多少路程？解 設(shè)列車開始制動后t秒時行駛了s米。根據(jù)題意，反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)滿足： （5）此外，還滿足條件：時， （6）(5)式兩端積分一次得： （7）再積分一次得 （8）其中都是任意常數(shù)。把條件“時”和“時”分別代入（）式和（）式，得把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10）在（9）式中令，得到列車從開始制動到完全停止所需的時間：。再把代入（10）式，得到列車在制動階段行駛的路程上述兩個例子中的關(guān)系式（1）和（5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

3、它們都是微分方程。2、 定義 一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系到的方程，叫做微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。本章只討論常微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的求知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程是四階微分方程。一般地，階微分方程的形式是 （11）其中F是個變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程（11）中，是必須出現(xiàn)的，而等變量則可以不出現(xiàn)。例如階微分方程中，除外，其他變量都沒有出現(xiàn)。如果能從方程（11）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，得微分方程 （12）以后我

4、們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且（12）式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。由前面的例子我們看到，在研究某些實際問題時，首先要建立微分方程，然后找出滿足微分方程的函數(shù)，就是說，找出這樣的函數(shù) ，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個函數(shù)就叫做該微分方程的解。確切地說，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，那么函數(shù)就叫做微分方程（11）在區(qū)間上的解。例如，函數(shù)（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函數(shù)（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)（

5、3）是方程（1）的解，它含有一個任意常數(shù)，而方程（1）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解。又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有兩個任意常數(shù)，而方程（5）是二階的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問題的實際情況提出確定這些常數(shù)的條件。例如，例1中的條件（2），例2中的條件（6），便是這樣的條件。設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為，如果微分方程是一階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是時，或?qū)懗?其中，都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是：時，或?qū)懗?，其中，和都是給定的

6、值。上述條件叫做初始條件。確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）滿足條件（2）的特解；（10）式是方程（5）滿足條件（6）的特解。求微分方程滿足初始條件的特解這樣一個問題，叫做一階微分方程的初值問題，記作 （13）微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。初值問題（13）的幾何意義是求微分方程的通過點的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題的幾何意義是求微分方程的通過點且在該點處的切線斜率為的那條積分曲線。3、 例題例1 驗證：函數(shù) （14）是微分方程 （15）的解。解 求出所給函數(shù)（14）的導(dǎo)數(shù) 把及的表達(dá)式代入方程（15）得+函數(shù)（14）及其

7、導(dǎo)數(shù)代入方程（15）后成為一個恒等式，因此函數(shù)（14）是微分方程（15）的解。小結(jié)：本節(jié)講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始問題第二節(jié) 可分離變量的微分方程學(xué)習(xí)目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法學(xué)習(xí)重點：可分離變量的微分方程的解法學(xué)習(xí)難點：可分離變量的微分方程的解法學(xué)習(xí)內(nèi)容：本節(jié)開始,我們討論一階微分方程 (1)的一些解法.一階微分方程有時也寫成如下的對稱形式: (2)在方程(2)中,變量與對稱,它既可以看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程 ,也可看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程 ,在第一節(jié)的例1中，我們遇到一階微分方程，或 把上式兩端積分就得到這

8、個方程的通解：。但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對于一階微分方程 （3）就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函數(shù)積分求不出來。為我解決這個困難，在方程（3）的兩端同時乘以，使方程（3）變?yōu)?，這樣，變量與已分離在等式的兩端，然后兩端積分得或 （4）其中C是任意常數(shù)?？梢则炞C，函數(shù)（4）確實滿足一階微分方程（3），且含有一個任意常數(shù)，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一個一階微分方程能寫成 （5）的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含的函數(shù)和，另一端只含的函數(shù)和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。假定方程（5）中的函數(shù)和是連續(xù)的

9、，設(shè)是方程的解，將它代入（5）中得到恒等式將上式兩端積分，并由引進(jìn)變量，得設(shè)及依次為和的原函數(shù)，于是有 （6）因此，方程（5）滿足關(guān)系式（6）。反之，如果是由關(guān)系到式（6）所確定的隱函數(shù) ，那么在的條件下，也是方程（5）的解。事實上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當(dāng)時，這就表示函數(shù)滿足方程（5）。所以如果已分離變量的方程（5）中和是連續(xù)的，且，那么（5）式兩端積分后得到的關(guān)系式（6），就用隱式給出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隱式解。又由于關(guān)系式（6）中含有任意常數(shù)，因此（6）式所確定的隱函數(shù)是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。例1 求微分方程 （7）的通解

10、。解 方程（7）是可分離變量的，分離變量后得兩端積分 得 從而 。又因為仍是任意常數(shù)，把它記作C便得到方程（7）的通解。例2 放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的誤變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比。已知時鈾的含量為，求在衰變過程中含量隨時間變化的規(guī)律。解 鈾的衰變速度就是對時間的導(dǎo)數(shù)。由于鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下 （8）其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前的負(fù)號是指由于當(dāng)增加時M單調(diào)減少，即的緣故。由題易知，初始條件為方程（8）是可以分離變量的，分離后得兩端積分 以表示任意常數(shù)，因為，得即 是方程

11、（8）的通解。以初始條件代入上式，解得故得 由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減。小結(jié)：本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程，及其解法。第三節(jié) 齊次方程學(xué)習(xí)目的：熟練掌握齊次微分方程的解法學(xué)習(xí)重點：齊次方程的解法學(xué)習(xí)難點：齊次方程的解法學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、 齊次方程的形式如果一階微分方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即，則稱這方程為齊次方程。例如是齊次方程，因為其可化為2、 齊次方程 （1）的解法。作代換 ，則，于是從而 ，分離變量得 兩端積分得 求出積分后，再用代替，便得所給齊次方程的通解。如上例分離變量，得 積分后，將=代回即得所求通解。例1 解方程。解 原式可化為，令=，則 ，于是

12、分離變量 兩端積分得 即 。故方程通解為 。3、 練習(xí)1 通解為 2 通解為 小結(jié)：本節(jié)講述了齊次方程，及其解法第四節(jié) 一階線性微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握一階線性微分方程的形式，熟練掌握其解法；掌握利用變量代換解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法學(xué)習(xí)重點：一階線性微分方程的形式,及解的形式，利用變量代換解微分方程學(xué)習(xí)難點：一階線性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程學(xué)習(xí)內(nèi)容：一、 線性方程1、定義 方程 （1）稱為一階線性微分方程。特點 關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的。若，稱（1）為齊次的； 若，稱（1）為非齊次的。如：（1） （2）2、解法當(dāng)時，方程（1）為可分離變量的微分方程。當(dāng)時

13、，為求其解首先把換為0，即 （2）稱為對應(yīng)于（1）的齊次微分方程，求得其解為求（1）的解，利用常數(shù)變易法，用代替，即于是，代入（1），得故 。 （3）3、例 求方程 （4）的通解.解 這是一個非齊次線性方程。先求對應(yīng)的齊次方程的通解。， （5）用常數(shù)變易法。把換成，即令 ，則有 ，代入（1）式中得，兩端積分，得 。再代入（4）式即得所求方程通解。另解 我們可以直接應(yīng)用（3）式得到方程的通解，其中， 代入積分同樣可得方程通解，此法較為簡便，因此，以后的解方程中，可以直接應(yīng)用（3）式求解。二、 貝努力方程1、定義 稱為貝努力方程。當(dāng)時，為一階線性微分方程。2、解法 兩邊同除令，則有 而 為一階線性

14、微分方程，故。貝努力方程的解題步驟（1） 兩端同（2） 代換（3） 解關(guān)于的線性微分方程（4） 還原例 解方程 解 過程略，通解為 。三、 利用變量代換解微分方程例 解方程 解 令 ，則 ，于是解得 ， 即 例 解方程 解 過程略，通解為 。小結(jié)：本節(jié)講述了一階線性微分方程，及貝努力方程的解法，利用常數(shù)變易法，和變量代換法來解微分方程。第五節(jié) 全微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握全微分方程成立的充要條件，掌握全微分方程的解法，會用觀察法找積分因子學(xué)習(xí)重點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子學(xué)習(xí)難點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、定義 若 （1）恰為某一個函數(shù)的全微分方程，即存在某個，使有

15、，則稱（1）為全微分方程?？梢宰C明 是（1）式的隱式通解。2、解法 若，在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，條件是（1）式為全微分方程的充要要條件。通解為 。例1 求解 解 令 ，則 此方程為全微分方程。于是通解為 3、積分因子若，則（1）式不是全微分方程，但若有一個適當(dāng)函數(shù)，使（1）式乘以后為全微分方程，稱函數(shù)為積分因子。一般積分因子不好求，我們只要求通過觀察找到積分因子。例2 方程 不是全微分方程，但于是將方程乘以 ，則有 ，即 ，從而為其通解。此時為其積分因子。 注意 積分因子一般不唯一。如上述方程，若同乘有 ，于是 ，即 為其通解。 也是其積分因子。 小結(jié)：本節(jié)講述了全微分方程的解法，用

16、觀察法長積分因子，使之滿足全微分方程的充要條件。第六節(jié) 可降階的高階微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握三種容易降階的高階微分方程的求解方法學(xué)習(xí)重點：三種可降階的高階微分方程的求法學(xué)習(xí)難點：三種可降階的高階微分方程的求法學(xué)習(xí)內(nèi)容：一、型令 ，則原方程可化為 ，于是 同理 。 。n次積分后可求其通解。其特點：只含有和，不含及的階導(dǎo)數(shù)。例1 解方程 解得 為其通解。二、令 則 ，于是可將其化成一階微分方程。特點 含有，不含。例2 解得通解為 三、令 則 ，于是可將其化為一階微分方程。特點 不顯含。例3 解 化為一階線性或可分離變量的微分方程，解得通解為。小結(jié)：本節(jié)講述了三種容易降階的高階微分方程及其求解方法第七

17、節(jié) 高階線性微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握二階線性方程解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學(xué)習(xí)重點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學(xué)習(xí)難點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、定義：方程 (1) 稱為二階線性微分方程。 當(dāng)時稱為齊次的，當(dāng)時稱為非齊次的。 為求解方程（1）需討論其解的性質(zhì)2、解的性質(zhì) （2）性質(zhì)1 若是（2）的解，則也是（2）的解，其中，為任意常數(shù)。 稱性質(zhì)1為解的疊加原理。但此解未必是通解，若，則，那么何時成為通解？只有當(dāng)與線性無關(guān)時。 線性相關(guān) 設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在不全為零的數(shù) 使得 恒成立，則

18、稱線性相關(guān)。線性無關(guān) 不是線性相關(guān)。如： 線性相關(guān)， 線性無關(guān)。對兩個函數(shù)，當(dāng)它們的比值為常數(shù)時，此二函數(shù)線性相關(guān)。若它們的比值是函數(shù)時，線性無關(guān)。性質(zhì)2 若是（2）的兩個線性無關(guān)的特解，那么（，為任意常數(shù)）是方程（2）的特解。此性質(zhì)稱為二階齊次線性微分方程（2）的通解結(jié)構(gòu)。如：是的兩個解，又常數(shù)。因此，為的通解。又的解亦線性無關(guān)。則為其通解。下面討論非齊次微分方程（1）的解的性質(zhì).稱（2）為（1）所對應(yīng)的齊次方程。性質(zhì)3 設(shè)是（1）的特解，是（2）的通解，則是（1）的通解。如：， 為的通解，又是特解，則的通解。性質(zhì)4 設(shè)（5）式中，若分別是， 的特解，則為原方程的特解。 稱此性質(zhì)為解的疊加原理。小結(jié)：本節(jié)講述了二階線性方程解的結(jié)構(gòu)，包括齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。第八節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程，特征根，及對應(yīng)于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。學(xué)習(xí)重點：特征方程，特征根，及對應(yīng)于特征根的三種情況，通解的