求解軌跡方程的常見(jiàn)錯(cuò)誤

1、標(biāo)題： 求解軌跡方程的常見(jiàn)錯(cuò)誤 資料來(lái)源：中國(guó)京翰教育  軌跡是適合某種條件的所有點(diǎn)組成的圖形，這種條件的代數(shù)式就是曲線的方程，求曲線的方程是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，但是，在其求解的過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤。本文試圖就學(xué)生們常犯的錯(cuò)誤作一分析說(shuō)明。 一、概念錯(cuò)誤 例1設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F(1，0)和它到直線x=5的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。錯(cuò)解1：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，直線x=5是準(zhǔn)線，F(xiàn)(1，0)為焦點(diǎn)，故有=5，c=1，a2=5，b2=a2-c2=4，從而所求軌跡方程為+=1。錯(cuò)解2：由題設(shè)條件知，所求軌跡為橢圓，就是e，從而，=-。

2、c=1，a=，b2=a2-c2=2，故所求軌跡方程為=1。說(shuō)明：上述兩種解法錯(cuò)在對(duì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義及其方程缺乏正確的理解，雖說(shuō)可以判斷出曲線的類(lèi)型為橢圓，但是從題意中不能肯定橢圓的中心在原點(diǎn)，因此曲線方程就不一定是標(biāo)準(zhǔn)方程。 例2已知圓M通過(guò)兩圓C1：x2+y2-4x=0，C2：x2+y2-6y+7=0的交點(diǎn)，且圓M通過(guò)點(diǎn)(0，1)，試求圓M的方程。 錯(cuò)解：設(shè)圓M的方程為x2+y2-6y+7+(x2+y2-4x)=0，把點(diǎn)(0，1)代入圓M方程，得=-2。所求圓M的方程為x2+y2-6y+7-2(x2+y2-4x)=0，即x2+y2-8x+6y-7=0。說(shuō)明：上述解法的錯(cuò)

3、誤原因是在已知兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)的情況下，使用了圓系方程，而圓系方程必須是在兩圓相交或相切時(shí)才能使用，其實(shí)，如果我們畫(huà)出兩圓的圖形，便可發(fā)現(xiàn)已知兩圓是相離的?；蛘咄ㄟ^(guò)配方求出兩圓的圓心，則有圓心距d=2+(兩圓半徑之和)。故兩圓相離，因而本題無(wú)解。 小結(jié)：通過(guò)以上例題的說(shuō)明可見(jiàn)，要避免概念錯(cuò)誤，應(yīng)特別注意準(zhǔn)確地掌握?qǐng)A錐曲線的方程及其性質(zhì)；在研究?jī)汕€位置關(guān)系時(shí)，要注意判別這種位置關(guān)系的充要條件，還要注意正確地使用曲線系解題等。 二、審題錯(cuò)誤 例3過(guò)定點(diǎn)A(2，0)的直線與拋物線y=x2交與不同兩點(diǎn)M、N，求線段MN中點(diǎn)的軌跡方程。 錯(cuò)解：由題意，列方程組消去

4、y，整理得x2-kx+2k=0。設(shè)P(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)，M、N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有x=，即k=2x，又P在直線y=k(x-2)上或k=。2x=，y=2x2-4x，故所求的軌跡方程為y=2x2-4x。 說(shuō)明：上述錯(cuò)誤解法在于沒(méi)有考慮未知數(shù)的隱含條件，既然直線y=k(x-2)與拋物線y=x2交于不同的兩點(diǎn)M，N，那么方程x2-kx+2k=0的判別式應(yīng)該大于零，而解題中恰恰忽視了這一點(diǎn)。正確答案應(yīng)是y=2x2-4x(x4或x0)。所以，在求軌跡方程時(shí)，要特別注意軌跡的“純粹性”與“完備性”的統(tǒng)一，既不“雜”不“漏”，而“雜”和“漏”往往又是求軌跡方程的常

5、見(jiàn)病，本例錯(cuò)解犯了“雜”的毛病。防止“雜”和“漏”的辦法是首先要用足條件，特別要注意挖掘隱含條件；其次是變形過(guò)程中盡可能保持方程的同解性；最后要進(jìn)行檢驗(yàn)，剔雜補(bǔ)漏。 例4已知直線y=x+m和曲線x2+2y2+4y-1=0交于A、B兩點(diǎn)，P是這條直線上的點(diǎn)且使|PA|·|PB|=2，求：當(dāng)m不變化時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形。 錯(cuò)解：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)為軌跡上任意一點(diǎn)，則直線y=x+m的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入曲線x2+2y2+4y-1=0，得t2+(x0+y0+2)t+x+2y+4y0-1=0方程的兩根t1=PA，t2=PB，根據(jù)韋達(dá)定理，有t1t

6、2=(x+2y+4y0-1)。|PA|·|PB|=2，(x+2y+4y0-1)=2，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+2y2+4y-4=0，即=1。軌變?yōu)橐?0，-1)為中心，對(duì)稱(chēng)軸與坐標(biāo)軸平行，長(zhǎng)半軸，短半軸長(zhǎng)分別為，的橢圓。 說(shuō)明：上述解法的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面，一是沒(méi)有考慮直線與曲線有公共點(diǎn)的充要條件，從而擴(kuò)大了m的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性；二是由|PA|·|PB|=2應(yīng)得到(x+2y+4y0-1)=±2，從而失去了由x2+2y2+4y=2=0決定的一點(diǎn)(0，-1)，破壞了軌跡的完備性，即錯(cuò)誤的結(jié)論即不純粹也不完備。本題的正確答案是軌跡為橢圓=1。夾在兩直線y=

7、x-，y=x-，之間的兩段弧和孤立點(diǎn)(0，-1)。 小結(jié)：由以上例題可知，要特別注意克服破壞軌跡純粹性與完備性的常見(jiàn)病，而造成這種錯(cuò)誤的主要原因是審題不仔細(xì)，忽略某些特殊情況，或者分類(lèi)討論不全，總之，審題錯(cuò)誤是導(dǎo)致上述常見(jiàn)病的主要原因，因此，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件，注意特殊情況，保持軌跡的純粹性與完備性的統(tǒng)一。 三、方程錯(cuò)誤 例5求直線l的方程，使A(1，0)、B(2，)到直線l的距離都是1。 錯(cuò)解：直線AB的斜率kAB=，設(shè)直線l在y軸上的截距為b，因?yàn)閘AB，所以l的方程為y=x+b，即x-y+b=0，點(diǎn)A(1，0)到直線l的距離為1，=1，解得b

8、=2-或b=-2-，因此，符合題意的直線有兩條：x-y+x-=0或x-y-2-=0 說(shuō)明：本題上述解法是待定系數(shù)法，但在設(shè)直線方程時(shí)犯了“按圖索驥”的錯(cuò)誤，只考慮到直線l的兩種位置關(guān)系，而漏掉了其他可能情況，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤(不完整)。 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的學(xué)科，因此，像該例這樣的問(wèn)題，即便我們不清楚直線l的可能位置，但只要能正確地使用待定系數(shù)法(如設(shè)y=kx+b，因?yàn)閘與x軸很明顯不垂直)，那么，必能求得符合題意的方程。 例6長(zhǎng)為a的線段AB，兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上移動(dòng)，求線段中點(diǎn)P的軌跡方程。 錯(cuò)解：如圖，設(shè)A(0，y)，B(x，0)由中點(diǎn)公

9、式可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，連OP。由直線三角形斜邊中線性質(zhì)有|OP|=|AB|=a。=()2即所求軌跡方程為：x2+y2=a2。 說(shuō)明：求軌跡方程，即求軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，并檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都是軌跡上的點(diǎn)，因此，應(yīng)設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)。上述解法是因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)得不對(duì)，即運(yùn)用方法不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。 小結(jié)：由于方法不當(dāng)而致錯(cuò)的，歸納起來(lái)有選擇方法不當(dāng)(如例5)和應(yīng)用方法不當(dāng)(如例6)兩類(lèi)，因此，解題時(shí)注意方法的合理性，防止片面性。故所求的軌跡方程為y=2x2-4x。 說(shuō)明：上述錯(cuò)誤解法在于沒(méi)有考慮未知數(shù)的隱含條件，既然直線y=k(x

10、-2)與拋物線y=x2交于不同的兩點(diǎn)M，N，那么方程x2-kx+2k=0的判別式應(yīng)該大于零，而解題中恰恰忽視了這一點(diǎn)。正確答案應(yīng)是y=2x2-4x(x4或x0)。所以，在求軌跡方程時(shí)，要特別注意軌跡的“純粹性”與“完備性”的統(tǒng)一，既不“雜”不“漏”，而“雜”和“漏”往往又是求軌跡方程的常見(jiàn)病，本例錯(cuò)解犯了“雜”的毛病。防止“雜”和“漏”的辦法是首先要用足條件，特別要注意挖掘隱含條件；其次是變形過(guò)程中盡可能保持方程的同解性；最后要進(jìn)行檢驗(yàn)，剔雜補(bǔ)漏。 例4已知直線y=x+m和曲線x2+2y2+4y-1=0交于A、B兩點(diǎn)，P是這條直線上的點(diǎn)且使|PA|·|PB|=2，求：當(dāng)m不

11、變化時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形。 錯(cuò)解：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)為軌跡上任意一點(diǎn)，則直線y=x+m的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入曲線x2+2y2+4y-1=0，得t2+(x0+y0+2)t+x+2y+4y0-1=0方程的兩根t1=PA，t2=PB，根據(jù)韋達(dá)定理，有t1t2=(x+2y+4y0-1)。|PA|·|PB|=2，(x+2y+4y0-1)=2，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+2y2+4y-4=0，即=1。軌變?yōu)橐?0，-1)為中心，對(duì)稱(chēng)軸與坐標(biāo)軸平行，長(zhǎng)半軸，短半軸長(zhǎng)分別為，的橢圓。 說(shuō)明：上述解法的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面，一是沒(méi)有考慮直線與曲線有公共點(diǎn)的充要條件，

12、從而擴(kuò)大了m的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性；二是由|PA|·|PB|=2應(yīng)得到(x+2y+4y0-1)=±2，從而失去了由x2+2y2+4y=2=0決定的一點(diǎn)(0，-1)，破壞了軌跡的完備性，即錯(cuò)誤的結(jié)論即不純粹也不完備。本題的正確答案是軌跡為橢圓=1。夾在兩直線y=x-，y=x-，之間的兩段弧和孤立點(diǎn)(0，-1)。 小結(jié)：由以上例題可知，要特別注意克服破壞軌跡純粹性與完備性的常見(jiàn)病，而造成這種錯(cuò)誤的主要原因是審題不仔細(xì)，忽略某些特殊情況，或者分類(lèi)討論不全，總之，審題錯(cuò)誤是導(dǎo)致上述常見(jiàn)病的主要原因，因此，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件，注意特殊情況，保持軌跡的純粹性與完

13、備性的統(tǒng)一。 三、方程錯(cuò)誤 例5求直線l的方程，使A(1，0)、B(2，)到直線l的距離都是1。 錯(cuò)解：直線AB的斜率kAB=，設(shè)直線l在y軸上的截距為b，因?yàn)閘AB，所以l的方程為y=x+b，即x-y+b=0，點(diǎn)A(1，0)到直線l的距離為1，=1，解得b=2-或b=-2-，因此，符合題意的直線有兩條：x-y+x-=0或x-y-2-=0 說(shuō)明：本題上述解法是待定系數(shù)法，但在設(shè)直線方程時(shí)犯了“按圖索驥”的錯(cuò)誤，只考慮到直線l的兩種位置關(guān)系，而漏掉了其他可能情況，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤(不完整)。 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的學(xué)科，因此，像該例這樣的問(wèn)題，即便我們不清楚直線l的可能位置，但只要能正確地使用待定系數(shù)法(如設(shè)y=kx+b，因?yàn)閘與x軸很明顯不垂直)，那么，必能求得符合題意的方程。 例6長(zhǎng)為a的線段AB，兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上移動(dòng)，求線段中點(diǎn)P的軌跡方程。 錯(cuò)解：如圖，設(shè)A(0，y)，B(x，0)由中點(diǎn)公式可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，連OP。由直線三角形斜邊中線性質(zhì)有