應(yīng)該獨(dú)立熟練完成

1、習(xí)題1.2 1-14. 應(yīng)該獨(dú)立熟練完成. (如果有問(wèn)題, 望利用答疑) 15. (略). 見(jiàn)本章Desargues定理的證明. 16. (作業(yè)). 運(yùn)用本節(jié)的5對(duì)結(jié)論, 耐心計(jì)算即可, 畫(huà)草圖更有利思考. 17. 提示: 設(shè)定直線x2kx3=0上的動(dòng)點(diǎn)為O(a, k, 1). 先計(jì)算Q, R的坐標(biāo)得：Q(a, 0, 1), R(a, k, 0). 再求QR與A2A3的交點(diǎn)得：X(0, k, 1). 因?yàn)閄的坐標(biāo)與a無(wú)關(guān), 所以X為定點(diǎn). A1X的方程為：x2+kx3=0.習(xí)題1.2 18. (屬線性代數(shù)問(wèn)題)lia+mib+nic共線不全為0的數(shù)p,q,r, 使得0)()()(3332221

2、11cnbmalrcnbmalqcnbmalp0)()()(321321321crnqnpnbrmqmpmarlqlpl(因?yàn)閍,b,c不共線)000321321321rnqnpnrmqmpmrlqlpl(因?yàn)閜,q,r不全為0). 00333222111321321321nmlnmlnmlnnnmmmlll習(xí)題1.2 19. 20. 求出這兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo), 寫(xiě)成(1, 0)的格式, 即可看出垂直(斜率之積為1).221212()0.()0.hhab uaubuhhab u或習(xí)題1.2 20. 由非齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系Ux+Vy+1=0, 過(guò)原點(diǎn)的直線和在無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的點(diǎn)、原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線均沒(méi)有非

3、齊次方程！22, 23. 請(qǐng)自行完成.習(xí)題1.3. 要求熟練掌握第3題的類(lèi)型, 今后要用.一、平面對(duì)偶原則一、平面對(duì)偶原則重要原理！重要原理！ 貫穿全書(shū)！貫穿全書(shū)！1. 基本概念(1). 對(duì)偶元素對(duì)偶元素點(diǎn)直線(2). 對(duì)偶運(yùn)算對(duì)偶運(yùn)算過(guò)一點(diǎn)作一直線在一直線上取一點(diǎn)(4). 對(duì)偶圖形對(duì)偶圖形在射影平面上，設(shè)已知由點(diǎn)、直線及其關(guān)聯(lián)關(guān)系構(gòu)成的圖形，若對(duì)作對(duì)偶變換，則得到另一個(gè)圖形. 稱(chēng)、 為一對(duì)對(duì)偶圖形對(duì)偶圖形.圖形圖形作對(duì)偶變換互為對(duì)偶圖形(3). 對(duì)偶變換對(duì)偶變換互換對(duì)偶元素地位、作對(duì)偶運(yùn)算一、平面對(duì)偶原則一、平面對(duì)偶原則2. 基本對(duì)偶圖形舉例(1) 點(diǎn)(1) 直線(2) 點(diǎn)列(共線點(diǎn)集)(2

4、) 線束(共點(diǎn)線集)(Pl)(pL(3) 點(diǎn)場(chǎng)(共面點(diǎn)集)(3) 線場(chǎng)(共面線集)(4) 簡(jiǎn)單n點(diǎn)形：n個(gè)點(diǎn)(其中無(wú)三點(diǎn)共線)及其兩兩順次順次連線構(gòu)成的圖形.(4) 簡(jiǎn)單n線形：n條直線(其中無(wú)三線共點(diǎn))及其兩兩順次順次相交的交點(diǎn)構(gòu)成的圖形.頂點(diǎn)：n個(gè)；邊：n條.邊：n條；頂點(diǎn)：n個(gè).下面分別考察n=3和n=4的情形簡(jiǎn)單n點(diǎn)(線)形：n=3簡(jiǎn)單三點(diǎn)形簡(jiǎn)單三線形簡(jiǎn)單n點(diǎn)(線)形：n=4簡(jiǎn)單四點(diǎn)形簡(jiǎn)單四線形顯然，簡(jiǎn)單n點(diǎn)(線)形與其頂點(diǎn)(邊)的順序有關(guān)(5) 完全n點(diǎn)形：n個(gè)點(diǎn)(其中無(wú)三點(diǎn)共線)及其每?jī)牲c(diǎn)連線構(gòu)成的圖形.(5) 完全n線形：n條直線(其中無(wú)三線共點(diǎn))及其每?jī)芍本€交點(diǎn)構(gòu)成的圖形.頂點(diǎn)

5、：n個(gè)；條邊：2) 1( nn邊：n條；個(gè)頂點(diǎn)：2) 1( nn完全n點(diǎn)(線)形：n=3完全三點(diǎn)形ABC完全三線形abc一對(duì)自對(duì)偶圖形. 將不加區(qū)分, 簡(jiǎn)稱(chēng)三點(diǎn)形或三線形.完全n點(diǎn)(線)形：n=4完全四點(diǎn)形ABCD完全四線形abcd射影幾何中最重要的一對(duì)圖形完全四點(diǎn)形ABCD完全四線形abcd頂點(diǎn)頂點(diǎn)DCBA,4個(gè)邊邊utsrqp,;,;,6條對(duì)邊對(duì)邊(沒(méi)有公共頂點(diǎn)的邊);,qp;,srut,3組對(duì)邊點(diǎn)對(duì)邊點(diǎn)(對(duì)邊的交點(diǎn)), qpX, srYutZ3個(gè)對(duì)邊三點(diǎn)形對(duì)邊三點(diǎn)形 XYZ邊邊dcba,4條頂點(diǎn)頂點(diǎn)UTSRQP,;,;,6個(gè)對(duì)頂對(duì)頂(不在同一邊上的頂點(diǎn));,QP;,SRUT,3組對(duì)頂線對(duì)

6、頂線(對(duì)頂?shù)倪B線),PQx,RSyTUz3條對(duì)頂三線形對(duì)頂三線形 xyz請(qǐng)課后畫(huà)圖，熟悉圖形及名稱(chēng). 今后將專(zhuān)門(mén)研究其重要性質(zhì)思考：試證明任一完全四點(diǎn)形的三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)必定不共線.例 1作下列圖形的對(duì)偶圖形(P.32，例1.12).點(diǎn)點(diǎn)QP,2個(gè)直線直線dcbal,5條關(guān)聯(lián)關(guān)系關(guān)聯(lián)關(guān)系(1) P,Q在l上；(2) a,b,l共點(diǎn)于P; c,d,l共點(diǎn)于Q直線直線qp,2條點(diǎn)點(diǎn)DCBAL,5個(gè)關(guān)聯(lián)關(guān)系關(guān)聯(lián)關(guān)系(1) p,q過(guò)點(diǎn)L；(2) A,B,L共線于p; C,D,L共線于q一、平面對(duì)偶原則一、平面對(duì)偶原則2、對(duì)偶圖形舉例1、基本概念3、作一圖形的對(duì)偶圖形教材P.32：4個(gè)一般步驟, 請(qǐng)?jiān)趯?shí)踐中進(jìn)

7、一步體會(huì).翻譯翻譯一、平面對(duì)偶原則一、平面對(duì)偶原則2. 基本對(duì)偶圖形舉例1. 基本概念3. 作一圖形的對(duì)偶圖形4. 平面對(duì)偶原則(1) 射影命題 在射影平面上，若命題A僅與點(diǎn)和直線的關(guān)聯(lián)、順序關(guān)系有關(guān)，則稱(chēng)A為一個(gè)射影命題射影命題.(2) 對(duì)偶命題射影命題A射影命題PA作對(duì)偶變換互為對(duì)偶命題(3) 平面對(duì)偶原則定理1.9 (平面對(duì)偶原則)在射影平面上，射影命題A成立射影命題PA成立一、平面對(duì)偶原則一、平面對(duì)偶原則2. 基本對(duì)偶圖形舉例1. 基本概念3. 作一圖形的對(duì)偶圖形4. 平面對(duì)偶原則例例 2 對(duì)偶命題舉例 (1) A 過(guò)相異二點(diǎn)有且僅有一條直線. (1) PA 兩相異直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

8、. (2) A 如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，則其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)必定共線. (2) PA 如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線，則其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線必定共點(diǎn).注注1 只有射影命題才有對(duì)偶命題.注注2對(duì)偶原則是一個(gè)雙射F：點(diǎn)幾何線幾何 因此, 對(duì)偶原則可以使得點(diǎn)幾何問(wèn)題與線幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化, 可以起到事半功倍的作用.二、代數(shù)對(duì)偶二、代數(shù)對(duì)偶考察方程. 0321CBA視),(321為點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo)，則方程表示直線.,CBA視,321為直線的流動(dòng)坐標(biāo)，則方程表示點(diǎn)).,(CBA考察方程組00322212312111CBACBA點(diǎn)幾何觀點(diǎn)點(diǎn)幾何觀點(diǎn)：方程組表示兩直線交點(diǎn)，解出坐標(biāo)為.,CBA線幾何觀點(diǎn)線幾何觀

9、點(diǎn)：方程組表示兩點(diǎn)的連線，解出坐標(biāo)為).,(CBA規(guī)定令坐標(biāo)相同的點(diǎn)與直線為一對(duì)相互對(duì)偶的代數(shù)對(duì)偶元素. 得代數(shù)對(duì)偶原則代數(shù)對(duì)偶原則 注：事實(shí)上, 可以有許多種不同的代數(shù)對(duì)偶映射. 比如將在第四章學(xué)習(xí)的配極變換. 二、代數(shù)對(duì)偶二、代數(shù)對(duì)偶例例 3代數(shù)對(duì)偶結(jié)論舉例.(1) 點(diǎn)),(CBA. 0321CuBuAu(1) 直線,CBA. 0321CxBxAx(2) 原點(diǎn)) 1 , 0 , 0(. 03u(2) 無(wú)窮遠(yuǎn)直線 1 , 0 , 0. 03x(3) 無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的點(diǎn))0 ,(BA. 021 BuAu(3) 過(guò)原點(diǎn)的直線0 ,BA. 021 BxAx(4)(8) Thm. 1.5Thm. 1.

10、9(4)(8) Thm. 1.5Thm. 1.9請(qǐng)?jiān)谡n后盡可能多地練習(xí)畫(huà)出已知圖形的對(duì)偶圖形、寫(xiě)出已知命題的對(duì)偶命題，并從對(duì)偶原則出發(fā)，重新審視前面所學(xué)知識(shí).一、一、Desargues定理定理一個(gè)古老、美麗、實(shí)用的重要定理！1、兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)關(guān)系 若兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則稱(chēng)這對(duì)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形具有透視中心透視中心，透視中心也稱(chēng)為Desargues 點(diǎn)點(diǎn). 若兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則稱(chēng)這對(duì)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形具有透視軸透視軸，透視軸也稱(chēng)為Desargues 線線.問(wèn)題存在透視軸？存在透視中心有趣請(qǐng)問(wèn)你是怎樣畫(huà)出這兩個(gè)圖的？畫(huà)圖過(guò)程演示一、一、Desargues定理定理1、兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)關(guān)系2

11、、Desargues定理定理(Desargues定理及其逆定理).存在透視軸存在透視中心對(duì)于兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形，證明：代數(shù)法. 請(qǐng)認(rèn)真自學(xué).納悶納悶 這張美麗的圖是如何畫(huà)的？ 注1、僅用綜合法，Desargues定理不可能在平面內(nèi)獲得證明，只能作為公理. 注2、Desargues定理與其逆定理實(shí)際是一對(duì)對(duì)偶命題. 注3、滿足Desargues定理的一對(duì)三點(diǎn)形稱(chēng)為透視的透視的三點(diǎn)形.Desargues定理畫(huà)圖過(guò)程演示 提示：從現(xiàn)在起，畫(huà)圖要預(yù)先設(shè)計(jì)、思考，否則天大的紙也擺不下一張圖！真尷尬耶！一、一、Desargues定理定理2、Desargues定理 注注4、關(guān)于Desargues構(gòu)圖. 左圖表示了一對(duì)透視的三點(diǎn)形ABC, ABC.AABCB CXBBOCA C AYCCABA BZ共點(diǎn)于三點(diǎn)共線 左圖中共