全國(guó)各省市高考數(shù)學(xué)試題及答案匯總

1、. 2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分。請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相印位置上。1函數(shù)的最小正周期為 【答案】【解析】T|2設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為 【答案】5【解析】z34i，i21，| z |5YN輸出n開(kāi)始結(jié)束（第5題）3雙曲線的兩條漸近線的方程為 【答案】【解析】令：，得4集合共有 個(gè)子集【答案】8【解析】2385右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是 【答案】3【解析】n1，a2，a4，n2；a10，n3；a28，n46抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)員的5此訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第一次第二次第三次第四次第五次甲8

2、791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為 【答案】2【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：方差為：7現(xiàn)在某類(lèi)病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為 【答案】【解析】m取到奇數(shù)的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數(shù)的有1，3，5，7，9共5種情況，則都取到奇數(shù)的概率為8如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 【答案】1：24【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：249拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角

3、形區(qū)域?yàn)?包含三角形內(nèi)部和邊界) 若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 【答案】2，【解析】拋物線在處的切線易得為y2x1，令z，yx畫(huà)出可行域如下，易得過(guò)點(diǎn)(0，1)時(shí)，zmin2，過(guò)點(diǎn)(，0)時(shí)，zmaxyxOy2x1yx10設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，若（為實(shí)數(shù)），則的值為 【答案】【解析】所以，11已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，則不等式 的解集用區(qū)間表示為 【答案】(5，0) (5，)【解析】做出 ()的圖像，如下圖所示。由于是定義在上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)做出x0的圖像。不等式，表示函數(shù)y的圖像在yx的上方，觀察圖像易得：解集為(5，0) (5，)。xyyxyx24 xP(5

4、,5)Q(5, 5)12在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 yxlBFOcba【答案】【解析】如圖，l：x，c，由等面積得：。若，則，整理得：，兩邊同除以：，得：，解之得：，所以，離心率為：13在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)（）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)之間的最短距離為，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的所有值為 【答案】1或【解析】14在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的值為 【答案】12【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為a1，公比為q，則：，得：a1，q2，an26n記，則，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)n12時(shí)，當(dāng)n13時(shí)，故n

5、max12二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿(mǎn)分14分）已知，（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值解：（1）ab(coscos，sinsin)，|ab|2(coscos)2(sinsin)222(cos·cossin·sin)2，所以，cos·cossin·sin0，所以，（2），22得：cos()所以，帶入得：sin()sincossinsin()1，所以，所以，16（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，過(guò)作，垂足為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)求證：（1）平面平面；（2

6、）證：（1）因?yàn)镾AAB且AFSB，所以F為SB的中點(diǎn)又E，G分別為SA，SC的中點(diǎn)，所以，EFAB，EGAC又ABACA，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面（2）因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，平面SAB平面SBCBC，AF平面ASB，AFSB所以，AF平面SBC又BC平面SBC，所以，AFBC又ABBC，AFABA，所以，BC平面SAB又SA平面SAB，所以，17xyAlO（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線設(shè)圓的半徑為，圓心在上（1）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線， 求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐 標(biāo)的取值范圍解：（1）聯(lián)立：，得圓心為：C(3，

7、2)設(shè)切線為：，d，得：故所求切線為：（2）設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由，知：，化簡(jiǎn)得：，即：點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切故：1|CD|3，其中解之得：0a18（本小題滿(mǎn)分16分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車(chē)到，然后從沿直線步行到現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為在甲出發(fā)后，乙從乘纜車(chē)到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械郊僭O(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量，（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在

8、處互相等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘，CBADMN 乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解：（1）如圖作BDCA于點(diǎn)D，設(shè)BD20k，則DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn)M，此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn)，如圖所示則：AM130x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AM·ANcosA7400 x214000 x10000，其中0x8，當(dāng)x(min)時(shí)，MN最小，此時(shí)乙在纜車(chē)上與甲的距離最短（3）由（1）知：BC500m，甲到C用時(shí)：(min)若甲等乙3分鐘，則乙到C用時(shí)：3 (min)，在BC上用時(shí)： (min) 此

9、時(shí)乙的速度最小，且為：500÷m/min若乙等甲3分鐘，則乙到C用時(shí)：3 (min)，在BC上用時(shí)： (min) 此時(shí)乙的速度最大，且為：500÷m/min故乙步行的速度應(yīng)控制在，范圍內(nèi)19（本小題滿(mǎn)分16分）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和記，其中為實(shí)數(shù)（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：證：（1）若，則，當(dāng)成等比數(shù)列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差數(shù)列，則型觀察()式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而0，故經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列20（本小題滿(mǎn)分16分）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最

10、小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解：（1）0在上恒成立，則， 故：1，若1e，則0在上恒成立，此時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，無(wú)最小值，不合；若e，則在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，滿(mǎn)足故的取值范圍為：e（2）0在上恒成立，則ex，故：()若0，令0得增區(qū)間為(0，)；令0得減區(qū)間為(，)當(dāng)x0時(shí)，f(x)；當(dāng)x時(shí)，f(x)；當(dāng)x時(shí)，f()lna10，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故：當(dāng)時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)()若a0，則f(x)lnx，易得f(x)有1個(gè)零點(diǎn)()若a0，則在上恒成立，即：在上是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)；當(dāng)x時(shí)，f(x

11、)此時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)綜上所述：當(dāng)或a0時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷文科）試卷總評(píng)2013年安徽文科卷相對(duì)于2012年安徽文科卷的難度來(lái)說(shuō)有所加大。從試卷命題特點(diǎn)方面：（1）對(duì)主干知識(shí)（函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、立體幾何、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)）的重點(diǎn)考查，尤其是函數(shù)，考了四道小題，一道大題，而且函數(shù)小題兩道是以壓軸題的形式出現(xiàn)；（2）注重能力的考查：一方面在知識(shí)的交匯處命題，如第19題；另一方面重視對(duì)數(shù)學(xué)能力和思想方法的考查，如計(jì)算能力考查（第9,13,17,21題），轉(zhuǎn)化思想的考查（第8,10,20題），數(shù)形結(jié)合的考查（第6，

12、8，10題）等等；（3）注重理論聯(lián)系實(shí)際，如第17題概率統(tǒng)計(jì)；（4）注重對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查，如第21題。從試卷難度方面：選擇填空跟以往的試卷一樣從易到難，但在做的過(guò)程中不是那么順暢。第1題考查復(fù)數(shù)，難度不大；第2題考查集合的交與補(bǔ)以及不等式求法；第3題程序框圖，簡(jiǎn)單；第4題充分必要條件，容易題；第5題古典概型，只要考生能夠理解題意，基本沒(méi)問(wèn)題；第6題直線與圓的方程，考查圓中弦長(zhǎng)的求法，第7題等差數(shù)列基本量的求解，簡(jiǎn)單；第11題考查函數(shù)定義域的求法，簡(jiǎn)單；第12題常規(guī)的線性規(guī)劃題，難度不大；第14題，抽象函數(shù)解析式的求解，難度中等。選擇題第8,9,10題，填空題第13,15題難度加大。第8題考查函

13、數(shù)轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合，難度很大，考生不一定能想到方法；第9題三角函數(shù)，對(duì)正弦余弦定理的考查，計(jì)算量大；第10題函數(shù)零點(diǎn)的考查，難度很大，不容易做好；第13題平面向量，數(shù)量積的運(yùn)算，需要細(xì)心；第15題立體幾何的截面問(wèn)題，是考生平時(shí)學(xué)習(xí)中最不容易弄明白的地方。大題第16題三角函數(shù)：容易，主要考查恒等變形，三角函數(shù)圖像變換，考生需注意圖像變換時(shí)語(yǔ)言的描敘；大題第17題概率統(tǒng)計(jì)：難度不大，對(duì)計(jì)算的要求很高，在那種高壓環(huán)境下必須有個(gè)良好的心態(tài)才能做好；大題第18題立體幾何：難度中等，常規(guī)性的考查了三棱錐體積的求法，在選擇頂點(diǎn)的過(guò)程中，需要考生注意看清垂直關(guān)系；大題第19題數(shù)列：綜合性強(qiáng)，將函數(shù)求導(dǎo)利用

14、到數(shù)列求通項(xiàng)中，只要學(xué)生能夠細(xì)心，拿下這道題還是沒(méi)有問(wèn)題的；大題第20題函數(shù)：題型新穎，考查考生對(duì)新問(wèn)題冷靜處理的能力，對(duì)區(qū)間長(zhǎng)度的準(zhǔn)確理解；大題第21題：難度較大，計(jì)算量大，點(diǎn)比較多，也容易把考生繞進(jìn)去，要將這題做好，需要一定的計(jì)算基本功。詳細(xì)解析一選擇題選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D【解析】，所以a=3，故選擇D【考點(diǎn)定位】考查純虛數(shù)的概念，及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.（2）已知，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【

15、解析】A：，所以答案選A【考點(diǎn)定位】考查集合的交集和補(bǔ)集，屬于簡(jiǎn)單題.（3）如圖所示，程序據(jù)圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果為（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】； ； ，輸出所以答案選擇C【考點(diǎn)定位】本題考查算法框圖的識(shí)別，邏輯思維，屬于中等難題.（4）“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以答案選擇B【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.（5） 若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被 錄用的概率為 （A） (B) (C) （D）【答案】

16、D【解析】總的可能性有10種，甲被錄用乙沒(méi)被錄用的可能性3種，乙被錄用甲沒(méi)被錄用的可能性3種，甲乙都被錄用的可能性3種，所以最后的概率【考點(diǎn)定位】考查古典概型的概念，以及對(duì)一些常見(jiàn)問(wèn)題的分析，簡(jiǎn)單題.（6）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 （A）1 （B）2 （C）4 （D）【答案】C【解析】圓心，圓心到直線的距離，半徑，所以最后弦長(zhǎng)為.【考點(diǎn)定位】考查解析幾何初步知識(shí)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，簡(jiǎn)單題.（7）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則= （A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】 【考點(diǎn)定位】考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及數(shù)列基本量的求解.(8) 函數(shù)的圖像如圖所示，在區(qū)間

17、上可找到個(gè)不同的數(shù)，使得，則的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】表示到原點(diǎn)的斜率； 表示與原點(diǎn)連線的斜率，而在曲線圖像上，故只需考慮經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)有幾個(gè)，很明顯有3個(gè)，故選B.【考點(diǎn)定位】考查數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，對(duì)函數(shù)的圖像認(rèn)識(shí).(9) 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若,則角=(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由正弦定理，所以； 因?yàn)?，所以，所以，答案選擇B【考點(diǎn)定位】考查正弦定理和余弦定理，屬于中等難度.（1） 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則關(guān)于的方程 的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】，是方程的兩

18、根，由，則又兩個(gè)使得等式成立，其函數(shù)圖象如下：如圖則有3個(gè)交點(diǎn)，故選A.【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解.2. 填空題（11） 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi).【答案】【解析】，求交集之后得的取值范圍【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)定義域的求解，對(duì)數(shù)真數(shù)位置大于0，分母不為0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非負(fù)數(shù)變量滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi).【答案】4【解析】由題意約束條件的圖像如下：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，取得最大值.【考點(diǎn)定位】考查線性規(guī)劃求最值的問(wèn)題，要熟練掌握約束條件的圖像畫(huà)法，以及判斷何時(shí)取最大.（13）若非零向量滿(mǎn)足，則夾角的余弦值為_(kāi).【答案】【解析】等式平方得：則，即得【考點(diǎn)定位】考

19、查向量模長(zhǎng)，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量最基本的化簡(jiǎn).（14）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足.若當(dāng)時(shí)。， 則當(dāng)時(shí)，=_.【答案】【解析】當(dāng)，則，故又，所以【考點(diǎn)定位】考查抽象函數(shù)解析式的求解.（15） 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是 （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）。當(dāng)時(shí)，為四邊形當(dāng)時(shí)，為等腰梯形當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，為六邊形當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】【解析】（1），S等腰梯形，正確，圖如下：（2），S是菱形，面積為，正確，圖如下：（3），畫(huà)圖如下：，正確（4），如圖是五邊形，不正確；（5），如下圖，是四邊形，故正確【考點(diǎn)定位】考查立體幾何中關(guān)于

20、切割的問(wèn)題，以及如何確定平面。3. 解答題（16）（本小題滿(mǎn)分12分） 設(shè)函數(shù). （）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （）不畫(huà)圖，說(shuō)明函數(shù)的圖像可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到.【解析】（1） 當(dāng)時(shí)，此時(shí)所以，的最小值為，此時(shí)x 的集合.(2) 橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得； 然后向左平移個(gè)單位，得【考點(diǎn)定位】本題主要考查三角恒等變形、三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)與三角函數(shù)圖像的變換.考查邏輯推理和運(yùn)算求解能力，中等難度.（17）（本小題滿(mǎn)分12分） 為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（百分制）作為樣本，樣本

21、數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0（）若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（60分及60分以上為及格）；（）設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為，估計(jì)的值.【解析】（1） （2） = =【考點(diǎn)定位】考查隨機(jī)抽樣與莖葉圖等統(tǒng)計(jì)學(xué)基本知識(shí)，考查用樣本估計(jì)總

22、體的思想性以及數(shù)據(jù)分析處理能力.（18）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，.已知 .（）證明：（）若為的中點(diǎn)，求三菱錐的體積.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn) 又是菱形 而 面 (2) 由（1）面 = 【考點(diǎn)定位】考查空間直線與直線，直線與平面的位置，.三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間觀念，推理論證能力和運(yùn)算能力.（19）（本小題滿(mǎn)分13分） 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，,且對(duì)任意，函數(shù) 滿(mǎn)足 ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】由 所以， 是等差數(shù)列.而 （2） 【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列基本量的求解.并考查邏輯推理能力

23、和運(yùn)算能力.（1） （本小題滿(mǎn)分13分） 設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間.（）求的長(zhǎng)度（注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為；（）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)度的最小值.【解析】（1）令 解得 的長(zhǎng)度（2） 則 由 （1），則故關(guān)于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 【考點(diǎn)定位】考查二次不等式的求解，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，并考查分類(lèi)討論思想和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.（21）（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).（）求橢圓C的方程；（）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為。取點(diǎn),連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)。點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作直線，問(wèn)這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由.【解析】 （1）因?yàn)闄E

24、圓過(guò)點(diǎn) 且 橢圓C的方程是（2）由題意，各點(diǎn)的坐標(biāo)如上圖所示，則的直線方程：化簡(jiǎn)得又，所以帶入求得最后所以直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，并考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力及運(yùn)算能力.絕密啟封并使用完畢前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷1至3頁(yè)，第卷3至5頁(yè)。2. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置。3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效。4. 考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本大題共12小題。每小題5

25、分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，,則（ ）（A）0 （B）-1，,0 （C）0，1 （D）-1，,0，1（2）（ ）（A） （B） （C） （D）（3）從中任取個(gè)不同的數(shù)，則取出的個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）（4）已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）（5）已知命題，；命題，則下列命題中為真命題的是：（ ）（A） （B） （C） （D）（6）設(shè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）（A） （B） （C） （D）（7）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（A） （B）（

26、C）（D）（8）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）（9）函數(shù)在的圖像大致為（ ）（10）已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則（ ）（A） （B） （C）（D）（11）某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為（ ）（A） （B）（C） （D）（12）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）（A） （B） (C) (D) 第卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第（13）題-第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第（22）題-第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二填空題：本大題共四小題，每小題5分。（13）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，若，則_。（1

27、4）設(shè)滿(mǎn)足約束條件 ，則的最大值為_(kāi)。（15）已知是球的直徑上一點(diǎn)，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，則球的表面積為_(kāi)。（16）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則_.三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿(mǎn)分12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，。（）求的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和。18（本小題滿(mǎn)分共12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱(chēng)為藥，藥）的療效，隨機(jī)地選取位患者服用藥，位患者服用藥，這位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：），試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：服用藥的位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2

28、.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用藥的位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？（3）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？19.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，三棱柱中，。（）證明：；（）若，求三棱柱的體積。（20）（本小題滿(mǎn)分共12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為。（）求的值；（）討論的單調(diào)性，并求的極大

29、值。(21)(本小題滿(mǎn)分12分)已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線。（）求的方程；（）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)是，求。請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的 方框涂黑。（22）（本小題滿(mǎn)分10分）選修41：幾何證明選講 如圖，直線為圓的切線，切點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，的角平分線交圓于點(diǎn)，垂直交圓于點(diǎn)。 （）證明：； （）設(shè)圓的半徑為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求外接圓的半徑。（23）（本小題10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的參

30、數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。（）把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)（）。 （24）（本小題滿(mǎn)分10分）選修45：不等式選講已知函數(shù)，。（）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1已知集合，則（ ）A B C D2設(shè)，且，則（ ）A B C D3下列

31、函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）A B C D4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5在中，則（ ）A B C D6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）A B C D7雙曲線的離心率大于的充分必要條件是A BC D8如圖，在正方體中，為對(duì)角線的三等分點(diǎn)，則到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)第二部分（選擇題 共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ，準(zhǔn)線方程為 。10某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 。 11若等比數(shù)列滿(mǎn)足，則公比 ；前項(xiàng)和 。12設(shè)為不等式組所

32、表示的平面區(qū)域，區(qū)域上的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最小值為 。13函數(shù)的值域?yàn)?。14向量，若平面區(qū)域由所有滿(mǎn)足（，）的點(diǎn)組成，則的面積為 。三、解答題（共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，演算步驟）15（本小題共13分） 已知函數(shù)（1）求的最小正周期及最大值。（2）若，且，求的值。16（本小題共13分） 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染。某人隨機(jī)選擇3月1日至14日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天。（1）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率。（2）求此在在該市停留期間只有一天空氣重度污染的概率。（3）由

33、圖判斷，從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面底面，和分別是和的中點(diǎn)，求證：（1）底面（2）平面（3）平面平面18（本小題共13分）已知函數(shù)（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求與的值。（2）若曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍。19（本小題共14分）直線（）：相交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且四邊形為菱形時(shí)，求的長(zhǎng)。（2）當(dāng)點(diǎn)在上且不是的頂點(diǎn)時(shí)，證明四邊形不可能為菱形。20（本小題共13分）給定數(shù)列，。對(duì)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)，的最小值記為，。（1）設(shè)數(shù)列為，寫(xiě)出，的值。（2）設(shè)，（）是公比大于的等比數(shù)列，

34、且，證明，是等比數(shù)列。（3）設(shè)，是公差大于的等差數(shù)列，且，證明，是等差數(shù)列。2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9， 10 11，12 13 14三、解答題（共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，演算步驟）15（本小題共13分） 解：（1） 所以，最小正周期當(dāng)（），即（）時(shí) （2）因?yàn)?所以 因?yàn)?，所?所以，即16（本小題共13分）解：（1）因?yàn)橐Ａ?天，所以應(yīng)該在3月1日至13日中的某天到達(dá)，共有13種選擇，其間重度

35、污染的有兩天， 所以概率為（2）此人停留的兩天共有13種選擇，分別是：，其中只有一天重度污染的為，共4種，所以概率為（3）因?yàn)榈?，6，7三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動(dòng)最大，所以方差最大。17（本小題共14分）證明：（1）因?yàn)?，平面底面且平面底?所以底面（2）因?yàn)楹头謩e是和的中點(diǎn)，所以，而平面，平面，所以平面（3）因?yàn)榈酌妫?平面 所以，即因?yàn)?，所以而平面，平面，且所以平面因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面?所以平面平面， 所以平面 又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?8（本小題共13分）解：（1）因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線為所以，即，解得（2）因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，單

36、調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值， 所以的取值范圍是19（本小題共14分）解：（1）線段的垂直平分線為， 因?yàn)樗倪呅螢榱庑危灾本€與橢圓的交點(diǎn)即為，兩點(diǎn)對(duì)橢圓，令得所以（2）方法一：當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí)， 聯(lián)立方程得設(shè)，則， 若四邊形為菱形，則，即所以即因?yàn)辄c(diǎn)不是的頂點(diǎn)，所以，所以即，即所以此時(shí)，直線與軸垂直，所以為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，與已知矛盾，所以四邊形不可能為菱形方法二：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，設(shè)（）則，兩點(diǎn)為圓與橢圓的交點(diǎn)聯(lián)立方程得所以，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)。因?yàn)辄c(diǎn)在上若，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)應(yīng)為橢圓的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)。不合題意。若，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)應(yīng)為橢圓

37、的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)。不合題意。所以四邊形不可能為菱形。20（本小題共13分）解：（1），（2）因?yàn)椋ǎ┦枪却笥诘牡缺葦?shù)列，且 所以所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以，是等比數(shù)列。（3）若，是公差大于的等差數(shù)列，則 ，應(yīng)是遞增數(shù)列，證明如下： 設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng)，則 ，所以，與已知矛盾。 所以，是遞增數(shù)列再證明數(shù)列中最小項(xiàng)，否則（），則顯然，否則，與矛盾因而，此時(shí)考慮，矛盾因此是數(shù)列中最小項(xiàng)綜上，（）于是，也即，是等差數(shù)列絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo)卷)數(shù) 學(xué) (文科)注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答卷前考生將自己的姓名準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和

38、答題卡相應(yīng)位置。2. 回答第卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)標(biāo)黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3. 答第卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4. 考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回。第卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因?yàn)椋?所以，選C.2、（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，所以，選C.3、設(shè)滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是（ ）（A） （B） （

39、C） （D）【答案】B【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如圖,平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)取得最小值，由得，即,代入直線z=2x-3y得，選B.4、的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因?yàn)?所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面積為.因?yàn)?，所以，選B.5、設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，則的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因?yàn)?所以。又，所以，即橢圓的離心率為，選D.6、已知，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，選A.7、

40、執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，第四次循環(huán)，此時(shí)滿(mǎn)足條件輸出，選B.8、設(shè)，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因?yàn)?，又，所以最大。又，所以，即，所以，選D.9、一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到正視圖可以為（ ）(A)(B) (C) (D)【答案】A【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，先畫(huà)出四面體的直觀圖，以zOx平面為投影面，則得到正視圖(坐標(biāo)系中紅色部分),所以選A. 10、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且與交于，兩

41、點(diǎn)。若，則的方程為（ ）（A）或 （B）或（C）或 （D）或【答案】C【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則因?yàn)閨AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2因?yàn)閨y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，當(dāng)x1=3時(shí)，所以此時(shí)，若，則,此時(shí),此時(shí)直線方程為。若，則,此時(shí),此時(shí)直線方程為。所以的方程是或，選C.11、已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）（A），（B）函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形（C）若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減（D）若是的極值點(diǎn)，則【答案】C【解析】若則有，所以A正確。由

42、得，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（0,0），所以的對(duì)稱(chēng)中心為,所以B正確。由三次函數(shù)的圖象可知，若是f(x)的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間（-, ）單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的，D正確。選C.12、若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因?yàn)椋杂傻?，在坐?biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，所以如果存在，使，則有，即，所以選D. 第卷本卷包括必考題和選考題，每個(gè)試題考生都必修作答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）從中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為的概率是_?！敬鸢浮俊窘馕觥繌?個(gè)正整中任意取出兩個(gè)不

43、同的數(shù)，有種，若取出的兩數(shù)之和等于5，則有，共有2個(gè)，所以取出的兩數(shù)之和等于5的概率為。（14）已知正方形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭谡叫沃?，,所以。（15）已知正四棱錐的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以為球心，為半徑的球的表面積為_(kāi)?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)正四棱錐的高為，則，解得高。則底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以,所以球的表面積為.（16）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖象重合，則_。【答案】【解析】函數(shù)，向右平移個(gè)單位，得到，即向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，向左平移個(gè)單位，得，即。三解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿(mǎn)分12分）已知等差數(shù)列的公差不為零，且成等比數(shù)列。（）求的通項(xiàng)公式；（）求； （18）如圖，直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)