初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解題方法

1、初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解法指導(dǎo)廣南縣篆角鄉(xiāng)初級中學(xué) 郭應(yīng)龍新課標(biāo)中明確要求：用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系及所反映的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。根據(jù)一列數(shù)或一組圖形的特例進(jìn)行歸納，猜想，找出一般規(guī)律，進(jìn)而列出通用的代數(shù)式，稱之為規(guī)律探究。在歷年的中考或?qū)W業(yè)水平考試中屢見不鮮，頻繁考查，考生大都感到困難重重，無從下手，導(dǎo)致丟分。解決此類問題的關(guān)鍵是：“細(xì)心觀察，大膽猜想，精心驗(yàn)證”。筆者認(rèn)為：只要善于觀察，細(xì)心研究，知難而進(jìn)，就會走出“山窮水盡疑無路”的困惑，收獲“柳暗花明又一村”的喜悅。一、數(shù)式規(guī)律探究通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)

2、生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。數(shù)式規(guī)律探究是規(guī)律探究問題中的主要部分，解決此類問題注意以下三點(diǎn)：1.一般地，常用字母n表示正整數(shù)，從1開始。 2.在數(shù)據(jù)中，分清奇偶，記住常用表達(dá)式。 正整數(shù)n-1,n,n+1 奇數(shù)2n-3,2n-1,2n+1,2n+3 偶數(shù)2n-2,2n,2n+2 3.熟記常見的規(guī)律 1、4、9、16. n2 1、3、6、10 1、3、7、152n -1 1+2+3+4+n= 1+3+5+(2n-1)= n2 2+4+

3、6+2n=n(n+1) 12+22+32.+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+33.+n3=n2(n+1） 數(shù)字規(guī)律探究反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，解決此類問題常用的方法有以下兩種：1.觀察法例1.觀察下列等式：1×=1- 2×=2- 3×=3- 4×=4-猜想第幾個(gè)等式為 （用含n的式子表示）分析：將等式豎排：1×=1- 觀察相應(yīng)位置上變化的數(shù)字與序列號2×=2- 的對應(yīng)關(guān)系（注意分清正整數(shù)的奇偶）3×=3- 易觀察出結(jié)果為：4×=4- n×=n-例2.探索規(guī)律：31=3，32=9，33=2

4、7，34=81，35=243，36=729，那么32009的個(gè)位數(shù)字是 。分析：這類問題，主要是通過觀察末位數(shù)字，找出其循環(huán)節(jié)共幾位，然后用指數(shù)除以循環(huán)節(jié)的位數(shù)，結(jié)果余幾，就和第幾個(gè)數(shù)的末位數(shù)字相同，易得出本題結(jié)果為：32.函數(shù)法例3.將一正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形，再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成更小的正三角形，如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表：所剪次數(shù)1234n正三角形個(gè)數(shù)471013an則an= （用含n的代數(shù)式表示）分析：對結(jié)果數(shù)據(jù)做求差處理（相鄰兩數(shù)求差，大數(shù)減小數(shù)）正三角形個(gè)數(shù)：4、7、10、13 第一次求差結(jié)果相等，用一次函數(shù)y=kx+b第一次求差 ： 3 3 3 代入（1、4）

5、（2、7）解之得：y=3x+1an=3n+1例4.有一組數(shù)：1、2、5、10、17、26請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為 。分析：對這組數(shù)據(jù)做求差處理： 原數(shù) 1 2 5 10 17 26 第一次求差：1 3 5 7 9 第二次求差：2 2 2 2第二次求差結(jié)果相等，同二次函數(shù)y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1 當(dāng)=8時(shí)，y=50嘗試練習(xí)：1.觀察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3請將你猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n

6、(n1)的代數(shù)式表示出來： 。2.觀察下列各式：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5設(shè)n為正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為 。3.觀察下列各式：=2；=3；=4請你將猜想到的規(guī)律用含正整數(shù)n(n1)的代數(shù)式表示出來為 。4.已知：2+=22×；3+=32×；4+=42×；5+=52×，若10+=102×符合前面式子的規(guī)律，則a+b= 。5. 已知下列等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102由此規(guī)律可推 出第n等式： 。6、觀察下列算式： ，請

7、你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：.1、下面有8個(gè)算式，排成4行2列22， 2×23， 3×4， 4×5， 5×， （1）同一行中兩個(gè)算式的結(jié)果怎樣？（2）算式2005和2005×的結(jié)果相等嗎？（3）請你試寫出算式，試一試，再探索其規(guī)律，并用含自然數(shù)n的代數(shù)式表示這一規(guī)律。（5分）2、你能很快算出嗎？（5分）為了解決這個(gè)問題，我們考察個(gè)位上的數(shù)為5的正整數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的正整數(shù)可寫成10n5（n為正整數(shù)），即求的值，試分析，2，3這些簡單情形，從中探索其規(guī)律。通過計(jì)算，探索規(guī)律:可寫成；可寫成；可寫成；可寫成；可寫成_可寫成_根

8、據(jù)以上規(guī)律，試計(jì)算= 3（5分）已知;      （1）猜想填空：   （2）計(jì)算23+43+63+983+10031、觀察等式：1342 2，13593 2 ，1357164 2 ，13579255 2 ， 猜想：（1） 135799 ；(2) 1357（2n-1） _ . （結(jié)果用含n的式子表示，其中n =1,2,3,）。2、觀察下面一列數(shù)，根據(jù)規(guī)律寫出橫線上的數(shù)，； ； ；第2003個(gè)數(shù)是 。二、圖形規(guī)律探究由結(jié)構(gòu)類似，多少和位置不同的幾何圖案的圖形個(gè)數(shù)之間也有一定的規(guī)律可尋，并且還可以由一個(gè)通用的代數(shù)式來表

9、示。這種探索圖形結(jié)構(gòu)成元素的規(guī)律的試題，解決思路有兩種：一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，再用函數(shù)法、觀察法解決問題；另一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律，常用“拆圖法”解決問題。拆圖法例5如圖，由若干火柴棒擺成的正方形，第圖用了4根火柴，第圖用了7根火柴棒，第圖用了10根火柴棒，依次類推，第圖用 根火柴棒，擺第n個(gè)圖時(shí)，要用 根火柴棒。（1）（2）（3） 分析：本例 可拆為 即1+3=4（根）第拆為 即1+32=7（根）；第圖可拆為 即1+33=10(根)由此可知，第圖為1+310=31（根），第n個(gè)圖為：（3n+1）根。例6按如下規(guī)律擺放三角形：則第堆三角形的個(gè)數(shù)為 ；第（n）

10、堆三角形的個(gè)數(shù)為 。 分析：本例中需要進(jìn)行比較的因素較多，于是把圖拆為橫向和縱向兩部分，就橫向而言，把三角形個(gè)數(shù)抽出來，就是3，5，7這是奇數(shù)從小到大的排列，其表達(dá)式為：2n+1；就縱向而言，發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)依次增加一個(gè)：第堆有2個(gè)，第堆有3個(gè)，第堆有4個(gè)，所以第（n）堆的個(gè)數(shù)就為（n+1）個(gè)。所以第n堆三角形的總個(gè)數(shù)為：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)個(gè)。嘗試練習(xí)：1.如圖7，圖7，圖7，圖7，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照這種規(guī)律，第5個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是_，第個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是_2觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有

11、 個(gè) n=1n=2n=33圖（3）是用火柴棍擺成的邊長分別是1，2，3 根火柴棍時(shí)的正方形當(dāng)邊長為n根火柴棍時(shí)，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為，則 （用n的代數(shù)式表示）（1）（2）（3）4用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板，則第（3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚 _塊，第個(gè)圖形中需要黑色瓷磚_塊（用含的代數(shù)式表示）5如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是 通過對此專題的復(fù)習(xí)和指導(dǎo)，我想你會有所感悟，有所收獲，有所進(jìn)步.別忘記課后注意鞏固訓(xùn)練，展示你的能力，體驗(yàn)成功的快樂！三、課外拓展：1.探索規(guī)律：31=3，32

12、=9，33=27，34=81，35=243，36=729那么32008的個(gè)位數(shù)字是 。2.觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041由此可判斷7100的個(gè)位數(shù)字是 。3.瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)，中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙的大門，按此規(guī)律第七個(gè)數(shù)據(jù)是 。4.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=按此規(guī)律，則a99= 。5.已知=1-，=-，=-，則+= ；用相同思路探究：+= 。6如圖5，每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第4幅圖中有 個(gè)，第n幅圖中共有 個(gè)第1幅第2幅第3幅第n幅圖57如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由_個(gè)圓組成8將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓，依次規(guī)律，第6個(gè)圖形有 個(gè)小圓第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形第1次 第2次 第3次 第4次 ···