零點的存在性定理的幾個誤區(qū)(2)

1、2013年度安慶市數(shù)學學科教學論文評選參評論文淺談零點的存在性定理的兩個誤區(qū) 徐萌 太湖縣北中高中函數(shù)的零點，方程根的個數(shù)都是歷年高考的重要考點，題型以選擇題和填空題為主，常與函數(shù)的圖象與性質(zhì)交匯命題。而在用零點的存在性定理時，常有以下的兩個誤區(qū)。先回顧一下函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有一個零點，即存在c（a,b）。使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。誤區(qū)一：由f(a)f(b)0能推出f(x)在（a,b）內(nèi)至少有一個零點，而并不能保證零點唯一。若要證明在

2、(a,b)內(nèi)有零點且個數(shù)唯一，則還需證明f（x）在（a,b）內(nèi)具有單調(diào)性。例1：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的個數(shù)解：f(x)=lnx+2x-6的定義域（0，+）上連續(xù)且單調(diào)遞增 又f(1)f(3)0 函數(shù)f(x)=lnx+2x-6只有一個零點例2：函數(shù)f(x)=lnx-x2+2x+5的零點的個數(shù)有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.4個解析：f(x)在定義域（0，+）上有增有減（可求導），可借助圖象做y=lnx與y=x2-2x-5的圖象，可知它們的圖象有兩個交點，即函數(shù)f（x）有兩個零點，故選C 誤區(qū)二：由f(x)在(a,b)上有零點f(a)f(b)0。我們可以舉個反例，如二次函

3、數(shù)y=x2+x-2在（-3，3）上有零點，而f（3）f（-3）0,下面舉幾個相關(guān)的例子:例1：設(shè)f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若關(guān)于x的函數(shù)F（x）=g(x)-f(x)-m在1,2上有零點，求m的取值范圍。解：令F（x）=0 即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0m= log2(2x-1)- log2(2x+1)= =1x232x+15即故m的范圍是技巧：根據(jù)函數(shù)零點和方程根關(guān)系，函數(shù)零點問題和根的分布問題可以相互轉(zhuǎn)化，利用零點概念，可以得到關(guān)于參數(shù)的方程，進而可以表示參數(shù)，再結(jié)合函數(shù)值域來解決問題。例：已知函數(shù)f(x)=x3+2x2-ax+1若函數(shù)g(x)=f(x)在區(qū)間（-1，1）上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍。解：方法一g(x)=f(x)=3x2+4x-a 在區(qū)間（-1，1）上存在零點，等價于當x(-1,1)時，求a=3x2+4x=x(-1,1)即a的取值范圍是 方法二 g(x)=f(x)在區(qū)間（-1，1）上存在零點，等價于3x2+4x=a在區(qū)間（-1，1）上有