2014人教A版高中數(shù)學必修四1.3《三角函數(shù)的導公式》示范教案

1、1.3 三角函數(shù)的誘導公式整體設計教學分析 本節(jié)主要是推導誘導公式二、三、四,并利用它們解決一些求解、化簡、證明問題.本小節(jié)介紹的五組誘導公式在內容上既是公式一的延續(xù),又是后繼學習內容的基礎,它們與公式一組成的六組誘導公式,用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關三角函數(shù)的化簡、證明等問題. 在誘導公式的學習中,化歸思想貫穿始末,這一典型的數(shù)學思想,無論在本節(jié)中的分析導入,還是利用誘導公式將求任意角的三角函數(shù)值轉化為求銳角的三角函數(shù)值,均清晰地得到體現(xiàn),在教學中注意數(shù)學思想滲透于知識的傳授之中,讓學生了解化歸思想,形成初步的化歸意識,特別是在本課時的三個轉化問題引入后,為什么確定180

2、76;+角為第一研究對象,-角為第二研究對象,正是化歸思想的運用. 公式二、公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導入時為不大于90°的非負角,但是在推導中卻把拓廣為任意角,這一思維上的轉折使學生難以理解,甚至會導致對其必要性的懷疑,因此它成為本課時的難點所在. 課本例題實際上是誘導公式的綜合運用,難點在于需要把所求的角看成是一個整體的任意角.學生第一次接觸到此題型,思維上有困難,要多加引導分析,另外,誘導公式中角度制亦可轉化為弧度制,但必須注意同一個公式中只能采取一種制度,因此要加強角度制與弧度制的轉化的練習.三維目標 1.通過學生的探究,明了三角函數(shù)的誘導公式的來龍去脈,理解誘導公

3、式的推導過程;培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及運算能力,滲透轉化及分類討論的思想. 2.通過誘導公式的具體運用,熟練正確地運用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題,體會數(shù)式變形在數(shù)學中的作用. 3.進一步領悟把未知問題化歸為已知問題的數(shù)學思想,通過一題多解,一題多變,多題歸一,提高分析問題和解決問題的能力.重點難點 教學重點:五個誘導公式的推導和六組誘導公式的靈活運用,三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等. 教學難點:六組誘導公式的靈活運用.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課 思路1.利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值. 復習誘導公式一及其用途. 思路2.在前面的學習中,我們知道終邊相同的角的同

4、名三角函數(shù)值相等,即公式一,并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函數(shù)轉化為0°到360°(0到2)內的角的三角函數(shù)值,求銳角三角函數(shù)值,我們可以通過查表求得,對于90°到360°(到2)范圍內的角的三角函數(shù)怎樣求解,能不能有像公式一那樣的公式把它們轉化到銳角范圍內來求解,這一節(jié)就來探討這個問題.推進新課新知探究提出問題 由公式一把任意角轉化為0°,360°)內的角后,如何進一步求出它的三角函數(shù)值? 活動:在初中學習了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函數(shù)值學生記住了,對非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查數(shù)學用表或是

5、用計算器求得.教師可組織學生思考討論如下問題:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角能否與銳角相聯(lián)系?通過分析與的聯(lián)系,引導學生得出解決設問的一種思路:若能把求90°,360°)內的角的三角函數(shù)值,轉化為求有關銳角的三角函數(shù)值,則問題將得到解決,適時提出,這一思想就是數(shù)學的化歸思想,教師可借此向學生介紹化歸思想.圖1討論結果:通過分析,歸納得出:如圖1.=提出問題銳角的終邊與180°+角的終邊位置關系如何?它們與單位圓的交點的位置關系如何?任意角與180°+呢? 活動:分為銳角和任意角

6、作圖分析:如圖2.圖2 引導學生充分利用單位圓,并和學生一起討論探究角的關系.無論為銳角還是任意角,180°+的終邊都是的終邊的反向延長線,所以先選擇180°+為研究對象. 利用圖形還可以直觀地解決問題,角的終邊與單位圓的交點的位置關系是關于原點對稱的,對應點的坐標分別是P(x,y)和P(-x,-y).指導學生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義,導出公式二: sin(180°+)=-sin,cos(180°+)=-cos. 并指導學生寫出角為弧度時的關系式: sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan. 引導學生觀察公式的特點

7、,明了各個公式的作用. 討論結果:銳角的終邊與180°+角的終邊互為反向延長線. 它們與單位圓的交點關于原點對稱. 任意角與180°+角的終邊與單位圓的交點關于原點對稱.提出問題有了以上公式,我們下一步的研究對象是什么?-角的終邊與角的終邊位置關系如何?活動:讓學生在單位圓中討論-與的位置關系,這時可通過復習正角和負角的定義,啟發(fā)學生思考:任意角和-的終邊的位置關系;它們與單位圓的交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公式二的推導過程,由學生自己完成公式三的推導,即:sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.教師點撥學生注意:無論是銳角還是任意

8、角,公式均成立.并進一步引導學生觀察分析公式三的特點,得出公式三的用途:可將求負角的三角函數(shù)值轉化為求正角的三角函數(shù)值.討論結果:根據(jù)分析下一步的研究對象是-的正弦和余弦.-角的終邊與角的終邊關于x軸對稱,它們與單位圓的交點坐標的關系是橫坐標相等,縱坐標互為相反數(shù).提出問題下一步的研究對象是什么?-角的終邊與角的終邊位置關系如何? 活動:討論-與的位置關系,這時可通過復習互補的定義,引導學生思考:任意角和-的終邊的位置關系;它們與單位圓的交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公式二、三的推導過程,由學生自己完成公式四的推導,即:sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-t

9、an.強調無論是銳角還是任意角,公式均成立.引導學生觀察分析公式三的特點,得出公式四的用途:可將求-角的三角函數(shù)值轉化為求角的三角函數(shù)值.讓學生分析總結誘導公式的結構特點,概括說明,加強記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一四:+k·2(kZ),-,±的三角函數(shù)值,等于的同名函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步簡記為:“函數(shù)名不變,符號看象限”.點撥、引導學生注意公式中的是任意角.討論結果:根據(jù)分析下一步的研究對象是-的三角函數(shù);-角的終邊與角的終邊關于y軸對稱,它們與單位圓的交點坐標的關系是縱坐標相等,橫坐標互為相反數(shù).示例應用思路1例1 利用公式求下列

10、三角函數(shù)值:(1)cos225°(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040°). 活動:這是直接運用公式的題目類型,讓學生熟悉公式,通過練習加深印象,逐步達到熟練、正確地應用.讓學生觀察題目中的角的范圍,對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(4)=-sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5+)=-(-sin)=;(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360

11、76;-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=.點評:利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉化為已知的轉化與化歸的思想方法.變式訓練 利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos(-510°15);(2)sin().解:(1)cos(-510°15)=cos510°15=cos(360°+150°15)=cos150°15=cos(180°-29°45)=-cos29°4

12、5=-0.868 2;(2)sin()=sin(-3×2)=sin=.例2 2007全國高考,1cos330°等于( )A. B. C. D.答案:C變式訓練化簡:解:=.例3 化簡cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活動:這是要求學生靈活運用誘導公式進行變形、求值與證明的題目.利用誘導公式將有關角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),再求值、合并、約分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)

13、-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)-sin45°+cos120°=cos45°+cos(180°-60°)=-cos60°=-1.點評:利用誘導公式化簡,是進行角的轉化,最終達到統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓練求證:.分析:利用誘導公式化簡較繁的一邊,使之等于另一邊.證明:左邊=tan=右邊.所以原式成立.規(guī)律總結:證明恒等式,一般是化繁為簡,可以化簡一邊,也可以兩邊都化簡.知能訓練課本本節(jié)練習13.解答:1.(1)-co

14、s;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6.點評：利用誘導公式轉化為銳角三角函數(shù).2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).點評：先利用誘導公式轉化為銳角三角函數(shù),再求值.3.(1)-sin2cos;(2)sin4.點評：先利用誘導公式變形為角的三角函數(shù),再進一步化簡.課堂小結 本節(jié)課我們學習了公式二、公式三、公式四三組公式,這三組公式在求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式時是經(jīng)常用到的,為了記牢公式,我們總結了“函數(shù)名不變,符號看象限”的簡便記法,同學們要正確理解這句話的含義,不過更重要的還是應用,我們要多加練習,切實掌握由未知向已知轉化的化歸思想.

15、作業(yè)課本習題1.3 A組2、3、4.設計感想一、有關角的終邊的對稱性(1)角的終邊與角+的終邊關于原點對稱.(2)角的終邊與角-的終邊關于x軸對稱.(3)角的終邊與角-的終邊關于y軸對稱.二、三角函數(shù)的誘導公式應注意的問題(1)+k·2(kZ),-,±的三角函數(shù)值等于的同名函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)的符號;可簡單記憶為:“函數(shù)名不變,符號看象限.”(2)公式中的是任意角.(3)利用誘導公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值.基本步驟是:任意負角的三角函數(shù)相應的正角的三角函數(shù)0到2角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)三角函數(shù).即負化正,大化小,化

16、為銳角再查表.(設計者：沈獻宏)第2課時導入新課上一節(jié)課我們研究了誘導公式二、三、四.現(xiàn)在請同學們回憶一下相應的公式.提問多名學生上黑板默寫公式.在此基礎上,我們今天繼續(xù)探究別的誘導公式,揭示課題.推進新課新知探究提出問題 終邊與角的終邊關于直線y=x對稱的角有何數(shù)量關系? 活動:我們借助單位圓探究終邊與角的終邊關于直線y=x對稱的角的數(shù)量關系.教師充分讓學生探究,啟發(fā)學生借助單位圓,點撥學生從終邊關于直線y=x對稱的兩個角之間的數(shù)量關系,關于直線y=x對稱的兩個點的坐標之間的關系進行引導.圖3 討論結果:如圖3,設任意角的終邊與單位圓的交點P1的坐標為(x,y),由于角-的終邊與角的終邊關于

17、直線y=x對稱,角-的終邊與單位圓的交點P2與點P1關于直線y=x對稱,因此點P2的坐標是(y,x),于是,我們有sin=y,cos=x,cos(-)=y,sin(-)=x.從而得到公式五:cos(-)=sin,sin(-)=cos. 提出問題 能否用已有公式得出+的正弦、余弦與的正弦、余弦之間的關系式? 活動:教師點撥學生將+轉化為-(-),從而利用公式四和公式五達到我們的目的.因為+可以轉化為-(-),所以求+角的正余弦問題就轉化為利用公式四接著轉化為利用公式五,這時可以讓學生獨立推導公式六.討論結果:公式六Sin(+)=cos,cos(+)=-sin. 提出問題 你能概括一下公式五、六嗎

18、? 活動:結合上一堂課研究公式一四的共同特征引導學生尋求公式五、六的共同特征,指導學生用類比的方法即可將公式五和公式六進行概括.討論結果:±的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步可以簡記為:函數(shù)名改變,符號看象限.利用公式五或公式六,可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉化.公式一六都叫做誘導公式.提出問題 學了六組誘導公式及上例的結果后,能否進一步歸納概括誘導公式,怎樣概括?討論結果:誘導公式一四,函數(shù)名稱不改變,這些公式左邊的角分別是2k+(kZ),±,-(可看作0-).其中2k,0是橫坐標軸上的角,因此,上述公式

19、可歸結為橫坐標軸上的角±,函數(shù)名稱不改變.而公式五、六及上面的例1,這些公式左邊的角分別是±,-.其中,是縱坐標軸上的角,因此這些公式可歸結為縱坐標上的角±,函數(shù)名稱要改變.兩類誘導公式的符號的考查是一致的,故而所有的誘導公式可用十個字來概括:縱變橫不變,符號看象限. 教師指點學習方法:如果我們孤立地記憶這么多誘導公式,那么我們的學習將十分苦累,且效率低下.學習過程中,能挖掘各個公式的本質特征,尋求它們之間的共性,那么我們對數(shù)學公式的記憶就不再是負擔了.因此,要求大家多做這方面的工作,以后數(shù)學的學習就不再是枯燥無味的了.示例應用思路1例1 證明(1)sin(-)=

20、-cos;(2)cos(-)=-sin. 活動:直接應用公式五、六或者通過轉化后利用公式五、六解決化簡、證明問題.證明:(1)sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=-cos;(2)cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-sin.點評:由公式五及六推得±的三角函數(shù)值與角的三角函數(shù)值之間的關系,從而進一步可以推廣到(kZ)的情形.本例的結果可以直接作為誘導公式直接使用.例2 化簡 活動:仔細觀察題目中的角,哪些是可以利用公式二四的,哪些是可以利用公式五、六的.認真應用誘導公式,達到化簡的目的.解:原式=-tan.思路2例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求證:f

21、(sinx)=sin17x;(2)對于怎樣的整數(shù)n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx? 活動:對誘導公式的應用需要較多的思維空間,善于觀察題目特點,要靈活變形.觀察本例條件與結論在結構上類似,差別在于一個含余弦,一個含正弦,注意到正弦、余弦轉化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于觀察條件和結論的結構特征,找出它們的共性與差異;要注意誘導公式可實現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間的轉移.證明:(1)f(sinx)=fcos(-x)=cos17(-x)=cos(8+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.

22、(2)f(cosx)=fsin(-x)=sinn(-x)=sin(-nx)=故所求的整數(shù)n=4k+1(kZ).點評:正確合理地運用公式是解決問題的關鍵所在.變式訓練 已知cos(-)=m(m1),求sin(-)的值.解:-(-)=,-=+(-).sin(-)=sin+(-)=cos(-)=m.點評:(1)當兩個角的和或差是的整數(shù)倍時,它們的三角函數(shù)值可通過誘導公式聯(lián)系起來.(2)化簡已知與所求,然后探求聯(lián)系,這是解決問題的重要思想方法.例2 已知sin是方程5x2-7x-6=0的根,且為第三象限角,求的值. 活動:教師引導學生先確定sin的值再化簡待求式,從而架起已知與未知的橋梁.解:5x2-

23、7x-6=0的兩根x=2或x=,-1x1,sin=.又為第三象限角,cos=.tan=.原式=tana=點評:綜合運用相關知識解決綜合問題.變式訓練 若函數(shù)f(n)=sin(nZ),則f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=_.解:=sin(+2)=sin,f(n)=f(n+12).從而有f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2f(1)+f(2)+f(3)=2+.例3 已知函數(shù)f(x)=asin(x+)+bcos(x+).其中a,b,都是非零實數(shù),又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值. 活動:尋求f(2 003)=-1與f(2 004)之間的聯(lián)系,這個聯(lián)系就是我們解答問題的關鍵和要害. 解:f(2 003)=asin(2 003+)+bcos(2 003+)=asin(2 002+)+bcos(2 002+)=asin(+)+bcos(+)=-asin-bcos=-(asin+bcos),f(2 003)=-1,asin+bcos=1.f(2 004)=asin(2 004+)+bcos(2 004+)=asin+bcos=1. 點評:解決問題的實質就是由未知向已知轉化的過程,在這個過程中一定要抓住關鍵和要害,