工程中的數(shù)值分析

1、.工程中的數(shù)值分析開(kāi)放性考試題 目：工程中的數(shù)值分析分 院：建筑與土木工程系班 級(jí)：14土木工程本一姓 名：陳凱學(xué) 號(hào)：完成日期：2016年12月14日XX大學(xué)甌江學(xué)院教務(wù)部二一二年十一月制1.1 二分法的和算法及Excel實(shí)現(xiàn)原理:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),且f(a)·f(b)<0由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及定理2-1可知,方程(2.2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.二分法的基本思想是:逐步二分區(qū)間a,b,通過(guò)判斷兩端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào),進(jìn)一步縮小有根區(qū)間,將有根區(qū)間的長(zhǎng)度縮小到充分小,從而求出滿(mǎn)足精度要求的根的近似值.算法:給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步

2、驟如下:確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f(a)·f(b)<0,給定精確度.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.計(jì)算f(c).(1) 若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);(2) 若f(a)·f(c)<0,則令b=c;(3) 若f(c)·f(b)<0,則令a=c.(4) 判斷是否達(dá)到精確度:即若|a-b|<,則得到零點(diǎn)近似值a(或b),否則重復(fù)2-4.Excel實(shí)現(xiàn):單元格內(nèi)分別輸入?yún)^(qū)間a,b的左右端點(diǎn)值,中點(diǎn)值=(a+b)/2,依次計(jì)算出各點(diǎn)代入公式的f(x)值,用IF函數(shù)比較單元格內(nèi)輸入“=IF(f(中點(diǎn)值)<0”,中點(diǎn)值,a)如果f(中點(diǎn)值)0,則下個(gè)

3、左端點(diǎn)取原來(lái)的中點(diǎn)值(a+b)/2.同理“=IF(f(中點(diǎn)值)<0,b,中點(diǎn)值)”下個(gè)右端點(diǎn)取原來(lái)的右點(diǎn)值b.如此循環(huán)往下,直至某個(gè)中點(diǎn)值代入f(x)得到的解滿(mǎn)足題目要求的近似解或者零點(diǎn)即f(c)=0則該值則為零點(diǎn)。1.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法的原理和算法及Excel實(shí)現(xiàn)，并分析不同迭代格式的收斂性原理:將線(xiàn)性方程f(x)=0化為一個(gè)同解方程x=(x),并且假設(shè)(x)為連續(xù)函數(shù),任取初值x0,代入方程得到 x1=(x0),x2=(x1)····xk+1=(xk),k=0,1,2,····稱(chēng)為求解非線(xiàn)性方程組的簡(jiǎn)單迭代法

4、,稱(chēng)(x)為迭代函數(shù),xk稱(chēng)為第k步迭代值.若xk收斂,則稱(chēng)迭代法收斂,否則稱(chēng)迭代法發(fā)散.算法：（1） 確定初值在B2和D2分別輸入左端點(diǎn)a和右端點(diǎn)b在A5中輸入公式：=B2，A6輸入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下復(fù)制下去在B5輸入f(x)方程并代入求值，并往下復(fù)制下去做散點(diǎn)圖，找到圖接近x軸的f值，作為迭代的初始值。（2） 方程化為等價(jià)方程，并定義迭代格式（3） 迭代輸入初值x，輸入迭代格式，并往下復(fù)制下去（4） 在輸入f的計(jì)算公式，往下復(fù)制下去，通過(guò)觀察數(shù)值是否收斂，若收斂，則取收斂到后面的數(shù)值；若發(fā)散，則更改定義迭代格式，再重新重復(fù)以上步驟進(jìn)行計(jì)算。Excel實(shí)現(xiàn):x3-x+

5、1區(qū)間端點(diǎn)a=-1b=0xf(x)-1-1-0.9-0.629-0.8-0.312-0.7-0.043-0.60.184-0.50.375-0.40.536-0.30.673-0.20.792-0.10.899迭代式:xk+1=(xk-1)1/311-0.4999938 1.37499844812-0.4999979 1.37499948313-0.4999993 1.37499982814-0.4999998 1.37499994315-0.4999999 1.37499998116-0.5000000 1.37499999417-0.5000000 1.37499999818-0.5000

6、000 1.37499999919-0.5000000 1.37520-0.5000000 1.37521-0.5000000 1.375f(x19)=1.375不同迭代格式的收斂性：假定迭代函數(shù)(1) 對(duì)任意(2) 存在正數(shù)L<1，使對(duì)任意則迭代過(guò)程對(duì)于任意初值(3) 若方程有根，。1.3 Newton迭代法的原理和算法及Excel實(shí)現(xiàn)。原理：Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，將f（x）=0在每一步近似為線(xiàn)性方程來(lái)求解，具體方法如下：將f（x）在xk作Taylor一階展開(kāi)f(x)=f(xk)+f(xk)(x-xk)+1/2!f(§)(x-xk)2,§介于x

7、和xk之間.略去上式中的二次項(xiàng)，得到線(xiàn)性方程，解出x，作為新的近似根xk+1：xk+1=xk-f(xk)/f(xk),k=0,1,2,3······稱(chēng)為Newton迭代法算法:先假定方程的有根區(qū)間為a,b，計(jì)算a,b區(qū)間內(nèi)各個(gè)點(diǎn)（整數(shù)點(diǎn)）的函數(shù)值，當(dāng)函數(shù)值出現(xiàn)f（a0）<0,f（b0）>0時(shí)，a0,b0即為方程的有根區(qū)間。將有根區(qū)間的長(zhǎng)度若干等分，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的函數(shù)值。將此數(shù)據(jù)繪圖，并根據(jù)所繪的圖求得初始值。求得方程f（x）的一次求導(dǎo)公式f´（x），得到迭代公式xk+1=xk-f（xk）/f´（xk），

8、將初始值代入迭代公式中計(jì)算出下一項(xiàng)的x值，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，新的x值代入迭代公式中繼續(xù)計(jì)算出下一項(xiàng)的x值，重復(fù)步驟，直到x的值相同不再變化，此x值即為方程的近似解。Excel實(shí)現(xiàn):迭代法求方程x3-x-1確定初值在B2和D2分別輸入左端點(diǎn)a和右端點(diǎn)b在A5中輸入公式：=B2，A6輸入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下復(fù)制下去在B5輸入f(x)方程并代入求值，并往下復(fù)制下去做散點(diǎn)圖，找到圖接近x軸的f值，作為迭代的初始值。方程化為等價(jià)方程，并定義迭代公式為x-(x3-x-1)/3x2-1上圖知迭代初值1.4區(qū)間端點(diǎn)a=1b=2作圖數(shù)據(jù)區(qū)xf(x)1-11.1-0.7691.2-0.47

9、21.3-0.1031.40.3441.50.8751.61.4961.72.2131.83.0321.93.95925迭代公式為x-(x3-x-1)/3x2-1不動(dòng)點(diǎn)迭代kxkf(xk)01.40.34411.3295081970.02051991621.3247392029.06038E-0531.3247179581.79368E-0941.324717957051.3247179570F(x4)=0,方程解為1.3247179572.1 線(xiàn)性方程組的數(shù)值求解的原理和算法及Excel實(shí)現(xiàn)。Gauss消去法原理: 設(shè)有線(xiàn)性方程組，將其增廣矩陣（A丨b）通過(guò)初等行變化為（A(n)丨b（n），

10、A(n)為上三角陣，在經(jīng)過(guò)回代解除與原方程組同解的三角形方程組A(n)x=b(n)的解，得到方程組的解。算法：把方程組化為上三角形方程組，做消元的步驟，再做回帶的步驟，解上三角形方程組A(n)x=b(n)。Excel實(shí)現(xiàn)：x1+x2-4x4=1-x1+4x2+x3+3x4=-2x1+3x2+5x3-4x4=-42x2+2x3-3x4=-2Ab120-41-1413-2135-4-4022-3-2120-41-161-1-11150-5022-3-2120-4161-1-10.1666666674.8333333330.166666667-4.8333333330.3333333330.3333

11、33333-3-0.333333333120-41161-1-104.8333333331-4.833333333-10.068965517-3.01149425300三角分解法原理：將系數(shù)矩陣A分解為兩個(gè)三角形矩陣的乘積A=LU，進(jìn)而將原方程組的求解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形方程組的求解。若有三角陣LU,使A=LU,則方程組Ax=b與方程組LUx=b等價(jià)，而后者等價(jià)于兩個(gè)三角形線(xiàn)性方程組：Ly=b，Ux=y。算法：將線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣A分解為三角形方程組的乘積LU，稱(chēng)為矩陣A的LU分解；再將線(xiàn)性方程組的求解轉(zhuǎn)換為三角形方程組的求解。A稠密-LU分解法A對(duì)稱(chēng)-LDL分解法A正定-LL分解法A三對(duì)角線(xiàn)-

12、追趕法Excel實(shí)現(xiàn):新建Excel表格,依次按順序輸入矩陣數(shù)據(jù)一句矩陣與逆矩陣相乘為單位矩陣原理,依次從A-D列數(shù)據(jù)從下至上依照公式計(jì)算逆矩陣數(shù)據(jù)上三角形矩陣求逆U4232103114U-10.25-0.5-0.750.437510-0.751-0.250.253.1 Lagrange插值的原理和算法及Excel實(shí)現(xiàn)；原理:將待求的n次多項(xiàng)式插值函數(shù)pn(x）改寫(xiě)成另一種表示方式，再利用插值條件確定其中的待定函數(shù)，從而求出插值多項(xiàng)式。n=1時(shí)，設(shè).作直線(xiàn)方程：令，稱(chēng)為兩點(diǎn)式插值或線(xiàn)性插值.時(shí)，設(shè)令：稱(chēng)為三點(diǎn)式插值或拋物插值.算法:先建立一個(gè)Excle數(shù)據(jù)表:插值節(jié)點(diǎn)xiABCDyiEFGH插

13、值點(diǎn)與函數(shù)計(jì)算值xL0L1L2L3L3(x)a在單元格中輸入插值點(diǎn)a求基函數(shù)L0=(a-B)*(a-C)*(a-E)/(E-F)/(E-G)/(E-H) L1=(a-A)*(a-C)*(a-D)/(F-E)/(F-G)/(F-H)以此類(lèi)推求至L3,再求出L3(x).再輸入最后一個(gè)基函數(shù)L3(x)的計(jì)算公式：=SUMPRODUCT公式得到f（x）的近似值Excel實(shí)現(xiàn):插值節(jié)點(diǎn)xi1234yi18201517插值點(diǎn)與函數(shù)計(jì)算值xL0L1L2L3L3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062517.5作圖數(shù)據(jù)區(qū)點(diǎn)數(shù):100xL0L1L2L3L3(x)11000181.030.9

14、4589550.0877635-0.04321350.009554518.2956131.060.8935640.171108-0.0829080.01823618.5727041.090.84297850.2501145-0.11916450.026071518.8316511.120.7941120.324864-0.1520640.03308819.0728321.150.74693750.3954375-0.18168750.039312519.2966251.180.7014280.461916-0.2081160.04477219.5034083.2 Newton插值的原理和算法及

15、Excel實(shí)現(xiàn)。原理：牛頓插值通過(guò)求各階差商，遞推得到的一個(gè)公式：f(x)=fx0+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+.fx0,.xn(x-x0).(x-xn-1)+Rn(x)。改寫(xiě)記則兩點(diǎn)公式可改為：三點(diǎn)公式可改為：這種插值形式的基函數(shù)為，.，系數(shù)稱(chēng)為差商（均差）. 算法:先建立一個(gè)Excle數(shù)據(jù)表:插值節(jié)點(diǎn)xi123456yiABCDEFxl0一階二階三階四階五階1A2B3C4D5E6F（1） 計(jì)算差商表假設(shè)n次輸入一階差商的計(jì)算公式“=(B-A)/(2-1)”以此類(lèi)推往下拉輸入二階差商的計(jì)算公式用一階的值相隔兩數(shù)相減除以x對(duì)應(yīng)相隔兩數(shù)相減的值,以此類(lèi)推

16、往下拉三階,四階,N階如此算下去(2) 計(jì)算插值點(diǎn)處的函數(shù)值輸入插值點(diǎn)；分別輸入Newdon插值函數(shù)N1，N2···N-1的計(jì)算公式；分別得到插值點(diǎn)處的1階至n-1階插值函數(shù)值.插值節(jié)點(diǎn)xi123456yi122021112415差商表xifi1128-3.5-0.6666666671.583333333-0.9752201-5.55.666666667-3.291666667321-1011.5-7.541113-11524-9615插值點(diǎn)與函數(shù)計(jì)算值xN1N2N3N43.733.617.53515.39313.866825作圖數(shù)據(jù)區(qū)100xN1N2N3N411

17、21212121.0512.412.5662512.504512.071864061.112.813.11513.00112.2158251.1513.213.6462513.48912.424614061.213.614.1613.96812.69121.251414.6562514.437513.008789061.314.415.13514.89713.3708251.3514.815.5962515.34613.770989064.1 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法的原理和算法；原理:當(dāng)實(shí)驗(yàn)提供了大量數(shù)據(jù)時(shí),由于觀測(cè)數(shù)據(jù)往往不準(zhǔn)確,因此不能要求y=f(x)通過(guò)所有點(diǎn),只要求i=f(xi)-yi(

18、i=1,2,m)嚴(yán)格為零,使近似曲線(xiàn)盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)同時(shí)偏差平方和最小，常采用歐式X數(shù)作為誤差度量的標(biāo)準(zhǔn),此即稱(chēng)為最小二乘法原理。算法:關(guān)于最小二乘法的一般提法是：對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=0,1，.，m），要求在函數(shù)類(lèi)=Span0(x),1(x),2(x),n(x)中求函數(shù)（） 1使誤差平方和 2為了使問(wèn)題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和（4.3）處的數(shù)據(jù)比重不同，稱(chēng)為權(quán)系數(shù)，例如可表示在點(diǎn)處重復(fù)觀測(cè)的次數(shù)。按條件式（4.3）求函數(shù)的方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法，用幾何語(yǔ)言，即稱(chēng)為曲線(xiàn)擬合的最小二乘法。稱(chēng)為最小二乘解，S（x）為擬合。函數(shù)。4.2 直線(xiàn)

19、擬合最小二乘法的Excel實(shí)現(xiàn)建立Excle數(shù)據(jù)表,輸入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入擬合多項(xiàng)式的次數(shù)列出法方程組在B6:F9中并輸入計(jì)算公式計(jì)算出結(jié)果.之后分解方程組再回代入方程中,并且計(jì)算平方誤差,作圖X1.22.84.35.4Y2.111.528.141.9W1111次數(shù)法方程組1413.70083.613.756.9300381.810010000010解法方程組26.850041.8-11.777391963.1634632920030.182110939.5408443671000100XP(X)3.117.79922558作圖數(shù)據(jù)區(qū)點(diǎn)數(shù)100XP(X)1.2-0.3283787161.2420.0

20、723367471.2840.4730522111.3260.8737676744.3 曲線(xiàn)擬合最小二乘法的Excel實(shí)現(xiàn)。建立Excle數(shù)據(jù)表,輸入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),依照數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)設(shè)想y=f(x)的方程,再用線(xiàn)性函數(shù)S(u)來(lái)擬合數(shù)據(jù).將數(shù)據(jù)取倒數(shù)變換到下方,再有法方程組輸入公式計(jì)算,進(jìn)行矩陣分解以及回代結(jié)果.計(jì)算平方誤差最后確定初值輸出作圖數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)t12345678910111213141516y46.58.018.799.39.59.79.861010.210.3210.4210.5110.5810.6210.71111111111111111變化數(shù)據(jù)µ10.50.333333

21、3330.250.20.1666666670.1428571430.1250.1111111110.10.0909090910.0833333330.0769230770.0714285710.0666666670.0625w0.250.1538461540.1248439450.1137656430.1075268820.1052631580.1030927840.1014198780.10.0980392160.0968992250.095969290.0951474790.0945179580.0941619590.0934579441111111111111111163.3807289

22、931.8279515133.3807289931.5843465330.527343796解法方程組40.8451822480.4569878780.079977364平方誤差0.9327451420.1512800740.1621880050.000328967作圖數(shù)據(jù)區(qū)10014.1294096071.154.5246737161.34.884306231.455.2129174341.65.5143551461.755.7918560831.96.0481625452.056.285613352.26.5062154022.356.7117005595.1 數(shù)值積分的原理和算法；原理:

23、將函數(shù)圖形與x軸形成的圖形等分求面積即求其積分.算法:從不同角度出發(fā)，通過(guò)各種途徑來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式，常用的一個(gè)方法是，利用插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式，具體做法如下：在積分區(qū)間a,b上取一組點(diǎn)：a<=x0<x1<<xn<=b,做f（x）的n次插值多項(xiàng)式：其中l(wèi)k（x）（k=0,1，n）為n次Lagrange插值基函數(shù)，用Ln（x）近似代替被基函數(shù)f（x），則有：若記得數(shù)值求積公式：xk稱(chēng)為求積節(jié)點(diǎn)，Ak稱(chēng)為求積系數(shù)例如把圖形分成n份,n=1時(shí)用梯形公式,n=2時(shí)用Sinmpson公式,n=4時(shí)用Cotes公式計(jì)算代入將每一小塊求和5.2 數(shù)值積分的的Excel實(shí)

24、現(xiàn)；建立一個(gè)Excle數(shù)據(jù)表,在節(jié)點(diǎn)區(qū)輸入節(jié)點(diǎn)值于B列,之后計(jì)算積分精確值最后運(yùn)用梯形公式,Sinmpson公式與Cotes公式計(jì)算核對(duì)節(jié)點(diǎn)-2-1.5-1-0.50函數(shù)值積分值f(x)f（-2）f(-1.5)f(-1)f(-0.5)f(0)精確值梯形值Simpson值Cotes值1111112222x-2-1.5-1-0.50-2-2-2-2x242.2510.2502.66666666742.6666666672.666666667x3-8-3.375-1-0.1250-4-8-4-4x4165.062510.062506.4166.6666666676.4ex0.1353352830.2

25、23130160.3678794410.6065306610.8646647171.1353352830.8689510160.864689922比較.6. 常微分方程的數(shù)值解法的原理和算法；原理：采取“進(jìn)步式”和“離散化”。“進(jìn)步式”是指求解過(guò)程依節(jié)點(diǎn)排列的次序一步一步地向前推進(jìn)。描述這類(lèi)算法，只需給出用已知信息yn,yn-1,yn-2,計(jì)算yn+1的遞推公式.“離散化”是指通過(guò)一定的方法將連續(xù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于離散變量的相應(yīng)問(wèn)題?！半x散化”的常見(jiàn)方法有：直接用磋商代替微商發(fā)、Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法、數(shù)值積分法等。算法:一階方程的初值問(wèn)題y=f（x，y），x屬于a,b，y(a)=y0只要函數(shù)f

26、（x，y）在axb，|y|+上連續(xù)，且關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschitz條件：|f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2|,則方程存在唯一解y=y（x）。所謂微分方程數(shù)值解法，就是需求解函數(shù)y（x）在一系列離散節(jié)點(diǎn)上的近似值：yi60;y(xi),ax1<x2Xn=b.通常采用等距節(jié)點(diǎn)Xi=a+ih，i=0,1,2,n,其中h=（b-a）/n稱(chēng)為步長(zhǎng)。常微分方程的數(shù)值解法的的Excel實(shí)現(xiàn)建立Excel數(shù)據(jù)表,在基本數(shù)據(jù)區(qū)域輸入常微分方程的初步數(shù)據(jù)和步長(zhǎng)值,計(jì)算節(jié)點(diǎn)A列輸入序數(shù)值B列求出節(jié)點(diǎn)dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0,先計(jì)算節(jié)點(diǎn)之后用Euler法寫(xiě)出求解公式計(jì)算值并用改進(jìn)

27、Euler求解公式計(jì)算值各自復(fù)制后面,最后作圖基本數(shù)據(jù)x0y0h020.5數(shù)值解節(jié)點(diǎn)Euler法改進(jìn)Euler法精確解ixiyiyiy(xi)0022110.51.51.751.10653066211.51.781251.36787944131.51.751.988281251.72313016422.1252.305175781252.56252.6907348632.582084999633.031253.119209293.04978706873.53.5156253.5745058063.530197383844.00781254.0465661294.018

28、31563994.54.503906254.529103834.5111089971055.0019531255.0181898945.0067379477.1，請(qǐng)對(duì)上述數(shù)據(jù)作Lagrange插值，并繪出插值函數(shù)圖形。xi1234yi25.2550.575.75101xl0l1l2l3l3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062563.125點(diǎn)數(shù):100xL0L1L2L3L3(x)1100025.251.030.94589550.0877635-0.04321350.009554526.00751.060.8935640.171108-0.0829080.01823626.7651.090.84297850.2501145-0.11916450.0260