信息論與編碼試卷與答案

1、一、概念簡答題（每題5分，共40分）1.什么是平均自信息量與平均互信息，比較一下這兩個概念的異同？2.簡述最大離散熵定理。對于一個有m個符號的離散信源，其最大熵是多少？3.解釋信息傳輸率、信道容量、最佳輸入分布的概念，說明平均互信息與信源的概率分布、信道的傳遞概率間分別是什么關系？4.對于一個一般的通信系統(tǒng)，試給出其系統(tǒng)模型框圖，并結(jié)合此圖，解釋數(shù)據(jù)處理定理。5.寫出香農(nóng)公式，并說明其物理意義。當信道帶寬為5000Hz，信噪比為30dB時求信道容量。6.解釋無失真變長信源編碼定理。7.解釋有噪信道編碼定理。8.什么是保真度準則？對二元信源，其失真矩陣，求a>0時率失真函數(shù)的和？二、綜合題

2、（每題10分，共60分）1.黑白氣象傳真圖的消息只有黑色和白色兩種，求：1） 黑色出現(xiàn)的概率為0.3，白色出現(xiàn)的概率為0.7。給出這個只有兩個符號的信源X的數(shù)學模型。假設圖上黑白消息出現(xiàn)前后沒有關聯(lián)，求熵；2） 假設黑白消息出現(xiàn)前后有關聯(lián)，其依賴關系為：，求其熵 ；2.二元對稱信道如圖。；1）若，求和； 2）求該信道的信道容量和最佳輸入分布。3.信源空間為，試分別構(gòu)造二元和三元霍夫曼碼，計算其平均碼長和編碼效率。4.設有一離散信道，其信道傳遞矩陣為，并設，試分別按最小錯誤概率準則與最大似然譯碼準則確定譯碼規(guī)則，并計算相應的平均錯誤概率。5.已知一（8，5）線性分組碼的生成矩陣為。求：1）輸入為

3、全00011和10100時該碼的碼字；2）最小碼距。6.設某一信號的信息傳輸率為5.6kbit/s，在帶寬為4kHz的高斯信道中傳輸，噪聲功率譜NO=5×106mw/Hz。試求：（1）無差錯傳輸需要的最小輸入功率是多少？（2）此時輸入信號的最大連續(xù)熵是多少？寫出對應的輸入概率密度函數(shù)的形式。一、 概念簡答題（每題5分，共40分）1.答：平均自信息為表示信源的平均不確定度，也表示平均每個信源消息所提供的信息量。平均互信息表示從Y獲得的關于每個X的平均信息量，也表示發(fā)X前后Y的平均不確定性減少的量，還表示通信前后整個系統(tǒng)不確定性減少的量。2.答：最大離散熵定理為：離散無記憶信源，等概率分

4、布時熵最大。最大熵值為。3.答：信息傳輸率R指信道中平均每個符號所能傳送的信息量。信道容量是一個信道所能達到的最大信息傳輸率。信息傳輸率達到信道容量時所對應的輸入概率分布稱為最佳輸入概率分布。平均互信息是信源概率分布的型凸函數(shù)，是信道傳遞概率的U型凸函數(shù)。4.答：通信系統(tǒng)模型如下：數(shù)據(jù)處理定理為：串聯(lián)信道的輸入輸出X、Y、Z組成一個馬爾可夫鏈，且有，。說明經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，一般只會增加信息的損失。5.答：香農(nóng)公式為，它是高斯加性白噪聲信道在單位時間內(nèi)的信道容量，其值取決于信噪比和帶寬。由得，則6.答：只要，當N足夠長時，一定存在一種無失真編碼。7.答：當RC時，只要碼長足夠長，一定能找到一種編碼方

5、法和譯碼規(guī)則，使譯碼錯誤概率無窮小。8.答：1）保真度準則為：平均失真度不大于允許的失真度。2）因為失真矩陣中每行都有一個0，所以有，而。二、綜合題（每題10分，共60分）1.答：1）信源模型為2）由得則2.答：1） 2），最佳輸入概率分布為等概率分布。3.答：1）二元碼的碼字依序為：10，11，010，011，1010，1011，1000，1001。平均碼長，編碼效率2）三元碼的碼字依序為：1，00，02，20，21，22，010，011。平均碼長，編碼效率4.答：1）最小似然譯碼準則下，有，2）最大錯誤概率準則下，有，5.答：1）輸入為00011時，碼字為00011110；輸入為10100

6、時，碼字為10100101。2）6.答：1）無錯傳輸時，有即則2）在時，最大熵對應的輸入概率密度函數(shù)為信息論習題集一、名詞解釋（每詞2分）（25道）1、“本體論”的信息（P3） 2、“認識論”信息（P3） 3、離散信源（11）4、自信息量（12） 5、離散平穩(wěn)無記憶信源（49） 6、馬爾可夫信源（58） 7、信源冗余度 （66） 8、連續(xù)信源 （68） 9、信道容量 （95） 10、強對稱信道 （99） 11、對稱信道 （101-102）12、多符號離散信道（109）13、連續(xù)信道 （124） 14、平均失真度 （136） 15、實驗信道 （138）16、率失真函數(shù) （139） 17、信息價值

7、率 （163） 18、游程序列 （181）19、游程變換 （181） 20、L-D編碼（184）、 21、冗余變換 （184）22、BSC信道 （189） 23、碼的最小距離 （193）24、線性分組碼 （195）25、循環(huán)碼 （213）二、填空（每空1分）（100道）1、 在認識論層次上研究信息的時候，必須同時考慮到 形式、含義和效用 三個方面的因素。2、 1948年，美國數(shù)學家 香農(nóng) 發(fā)表了題為“通信的數(shù)學理論”的長篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。3、 按照信息的性質(zhì)，可以把信息分成 語法信息、語義信息和語用信息 。4、 按照信息的地位，可以把信息分成 客觀信息和主觀信息 。5、 人們研究信息論

8、的目的是為了 高效、可靠、安全 地交換和利用各種各樣的信息。6、 信息的 可度量性 是建立信息論的基礎。7、 統(tǒng)計度量 是信息度量最常用的方法。8、 熵 是香農(nóng)信息論最基本最重要的概念。9、 事物的不確定度是用時間統(tǒng)計發(fā)生 概率的對數(shù) 來描述的。10、單符號離散信源一般用隨機變量描述，而多符號離散信源一般用 隨機矢量 描述。11、一個隨機事件發(fā)生某一結(jié)果后所帶來的信息量稱為自信息量，定義為 其發(fā)生概率對數(shù)的負值 。12、自信息量的單位一般有 比特、奈特和哈特 。13、必然事件的自信息是 0 。14、不可能事件的自信息量是 。 15、兩個相互獨立的隨機變量的聯(lián)合自信息量等于 兩個自信息量之和 。

9、16、數(shù)據(jù)處理定理：當消息經(jīng)過多級處理后，隨著處理器數(shù)目的增多，輸入消息與輸出消息之間的平均互信息量 趨于變小 。17、離散平穩(wěn)無記憶信源X的N次擴展信源的熵等于離散信源X的熵的 N倍 。 18、離散平穩(wěn)有記憶信源的極限熵，。19、對于n元m階馬爾可夫信源，其狀態(tài)空間共有 nm 個不同的狀態(tài)。20、一維連續(xù)隨即變量X在a，b區(qū)間內(nèi)均勻分布時，其信源熵為 log2（b-a） 。21、平均功率為P的高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵，Hc（X）=。22、對于限峰值功率的N維連續(xù)信源，當概率密度 均勻分布 時連續(xù)信源熵具有最大值。23、對于限平均功率的一維連續(xù)信源，當概率密度 高斯分布 時，信源熵有最大值

10、。24、對于均值為0，平均功率受限的連續(xù)信源，信源的冗余度決定于平均功率的限定值P和信源的熵功率 之比 。25、若一離散無記憶信源的信源熵H（X）等于2.5，對信源進行等長的無失真二進制編碼，則編碼長度至少為 3 。26、m元長度為ki，i=1，2，···n的異前置碼存在的充要條件是：。27、若把擲骰子的結(jié)果作為一離散信源，則其信源熵為 log26 。28、同時擲兩個正常的骰子，各面呈現(xiàn)的概率都為1/6，則“3和5同時出現(xiàn)”這件事的自信息量是 log218（1+2 log23）。29、若一維隨即變量X的取值區(qū)間是0，其概率密度函數(shù)為，其中：，m是X的數(shù)學期望，則X

11、的信源熵。30、一副充分洗亂的撲克牌（52張），從中任意抽取1張，然后放回，若把這一過程看作離散無記憶信源，則其信源熵為 。31、根據(jù)輸入輸出信號的特點，可將信道分成離散信道、連續(xù)信道、半離散或半連續(xù) 信道。32、信道的輸出僅與信道當前輸入有關，而與過去輸入無關的信道稱為 無記憶 信道。33、具有一一對應關系的無噪信道的信道容量C= log2n 。34、強對稱信道的信道容量C= log2n-Hni 。35、對稱信道的信道容量C= log2m-Hmi 。36、對于離散無記憶信道和信源的N次擴展，其信道容量CN= NC 。37、對于N個對立并聯(lián)信道，其信道容量 CN = 。38、多用戶信道的信道容

12、量用 多維空間的一個區(qū)域的界限 來表示。39、多用戶信道可以分成幾種最基本的類型： 多址接入信道、廣播信道 和相關信源信道。40、廣播信道是只有 一個輸入端和多個輸出端 的信道。41、當信道的噪聲對輸入的干擾作用表現(xiàn)為噪聲和輸入的線性疊加時，此信道稱為 加性連續(xù)信道 。42、高斯加性信道的信道容量C=。43、信道編碼定理是一個理想編碼的存在性定理，即：信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是 信息率小于信道容量 。44、信道矩陣代表的信道的信道容量C= 1 。45、信道矩陣代表的信道的信道容量C= 1 。46、高斯加性噪聲信道中，信道帶寬3kHz，信噪比為7，則該信道的最大信息傳輸速率Ct= 9 kHz 。

13、47、對于具有歸并性能的無燥信道，達到信道容量的條件是 p（yj）=1/m） 。 48、信道矩陣代表的信道，若每分鐘可以傳遞6*105個符號，則該信道的最大信息傳輸速率Ct= 10kHz 。49、信息率失真理論是量化、數(shù)模轉(zhuǎn)換、頻帶壓縮和 數(shù)據(jù)壓縮 的理論基礎。50、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的 極小值 。51、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就 越大 ，獲得的信息量就越小。52、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大道傳輸消息所需的信息率 也越小 。53、單符號的失真度或失真函數(shù)d（xi，yj）表示信源發(fā)出一個符號x

14、i，信宿再現(xiàn)yj所引起的 誤差或失真 。54、漢明失真函數(shù) d（xi，yj）= 。55、平方誤差失真函數(shù)d（xi，yj）=（yj- xi）2。56、平均失真度定義為失真函數(shù)的數(shù)學期望，即d（xi，yj）在X和Y的 聯(lián)合概率空間P（XY）中 的統(tǒng)計平均值。57、如果信源和失真度一定，則平均失真度是 信道統(tǒng)計特性 的函數(shù)。58、如果規(guī)定平均失真度不能超過某一限定的值D，即：。我們把稱為 保真度準則 。59、離散無記憶N次擴展信源通過離散無記憶N次擴展信道的平均失真度是單符號信源通過單符號信道的平均失真度的 N 倍。60、試驗信道的集合用PD來表示，則PD= 。61、信息率失真函數(shù)，簡稱為率失真函數(shù)

15、，即：試驗信道中的平均互信息量的 最小值 。62、平均失真度的下限取0的條件是失真矩陣的 每一行至少有一個零元素 。63、平均失真度的上限D(zhuǎn)max取Dj：j=1，2，···，m中的 最小值 。64、率失真函數(shù)對允許的平均失真度是 單調(diào)遞減和連續(xù)的 。65、對于離散無記憶信源的率失真函數(shù)的最大值是 log2n 。66、當失真度大于平均失真度的上限時Dmax時，率失真函數(shù)R（D）= 0 。67、連續(xù)信源X的率失真函數(shù)R（D）= 。68、當時，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函數(shù)為 。69、保真度準則下的信源編碼定理的條件是 信源的信息率R大于率失真函數(shù)R（D） 。

16、70、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的Dmax= a/2 。71、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的Dmin= 0 。72、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的R（D）= 1-H（D/a） 。73、按照不同的編碼目的，編碼可以分為三類：分別是 信源編碼、信道編碼和安全編碼 。74、信源編碼的目的是： 提高通信的有效性 。75、一般情況下，信源編碼可以分為 離散信源編碼、連續(xù)信源編碼和相關信源編碼 。 76、連續(xù)信源或模擬信號的信源編碼的理論基礎是 限失真信源編碼定理 。77、在香農(nóng)編碼中，第i個碼字的長度ki和p（xi）之間有 關系。78、對信源進行二進制費諾編碼，其編碼效率為 1 。7

17、9、對具有8個消息的單符號離散無記憶信源進行4進制哈夫曼編碼時，為使平均碼長最短，應增加 2 個概率為0的消息。80、對于香農(nóng)編碼、費諾編碼和哈夫曼編碼，編碼方法惟一的是 香農(nóng)編碼 。81、對于二元序列0011100000011111001111000001111111，其相應的游程序列是 23652457 。82、設無記憶二元序列中，“0”和“1”的概率分別是p0和p1，則“0”游程長度L（0）的概率為 。83、游程序列的熵 等于 原二元序列的熵。84、若“0”游程的哈夫嗎編碼效率為0，“1”游程的哈夫嗎編碼效率為1，且0>1對應的二元序列的編碼效率為，則三者的關系是 0>>

18、;1 。85、在實際的游程編碼過程中，對長碼一般采取 截斷 處理的方法。86、“0”游程和“1”游程可以分別進行哈夫曼編碼，兩個碼表中的碼字可以重復，但 C碼 必須不同。87、在多符號的消息序列中，大量的重復出現(xiàn)的，只起占時作用的符號稱為 冗余位 。88、“冗余變換”即：將一個冗余序列轉(zhuǎn)換成一個二元序列和一個 縮短了的多元序列 。89、L-D編碼是一種 分幀傳送冗余位序列 的方法。90、L-D編碼適合于冗余位 較多或較少 的情況。91、信道編碼的最終目的是 提高信號傳輸?shù)目煽啃?。92、狹義的信道編碼即：檢、糾錯編碼 。93、BSC信道即：無記憶二進制對稱信道 。94、n位重復碼的編碼效率是

19、1/n 。95、等重碼可以檢驗 全部的奇數(shù)位錯和部分的偶數(shù)位錯 。96、任意兩個碼字之間的最小漢明距離有稱為碼的最小距dmin，則dmin=。97、若糾錯碼的最小距離為dmin，則可以糾正任意小于等于t= 個差錯。98、若檢錯碼的最小距離為dmin，則可以檢測出任意小于等于l= dmin-1 個差錯。99、線性分組碼是同時具有 分組特性和線性特性 的糾錯碼。100、循環(huán)碼即是采用 循環(huán)移位特性界定 的一類線性分組碼。三、判斷（每題1分）（50道）1、 必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。錯2、 自信息量是的單調(diào)遞減函數(shù)。對3、 單符號離散信源的自信息和信源熵都具有非負性。對4、 單符號離散

20、信源的自信息和信源熵都是一個確定值。錯5、 單符號離散信源的聯(lián)合自信息量和條件自信息量都是非負的和單調(diào)遞減的。對6、 自信息量、條件自信息量和聯(lián)合自信息量之間有如下關系： 對7、 自信息量、條件自信息量和互信息量之間有如下關系： 對8、 當隨即變量X和Y相互獨立時，條件熵等于信源熵。對9、 當隨即變量X和Y相互獨立時，I（X；Y）=H（X） 。錯10、信源熵具有嚴格的下凸性。錯11、平均互信息量I（X；Y）對于信源概率分布p（xi）和條件概率分布p（yj/xi）都具有凸函數(shù)性。 對12、m階馬爾可夫信源和消息長度為m的有記憶信源，其所含符號的依賴關系相同。 錯13、利用狀態(tài)極限概率和狀態(tài)一步轉(zhuǎn)

21、移概率來求m階馬爾可夫信源的極限熵。 對14、N維統(tǒng)計獨立均勻分布連續(xù)信源的熵是N維區(qū)域體積的對數(shù)。 對15、一維高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵只與其均值和方差有關。 錯16、連續(xù)信源和離散信源的熵都具有非負性。 錯17、連續(xù)信源和離散信源都具有可加性。 對18、連續(xù)信源和離散信源的平均互信息都具有非負性。 對19、定長編碼的效率一般小于不定長編碼的效率。 對20、若對一離散信源（熵為H（X）進行二進制無失真編碼，設定長碼子長度為K，變長碼子平均長度為，一般>K。 錯21、信道容量C是I（X；Y）關于p（xi）的條件極大值。 對22、離散無噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消

22、息個數(shù)。 錯23、對于準對稱信道，當時，可達到信道容量C。錯24、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表。 對25、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表，但信道的信息率可以用一個數(shù)來表示。錯26、高斯加性信道的信道容量只與信道的信噪有關。 對27、信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是信息率小于信道容量。對28、最大信息傳輸速率，即：選擇某一信源的概率分布（p（xi），使信道所能傳送的信息率的最大值。 錯29、對于具有歸并性能的無燥信道，當信源等概率分布時（p（xi）=1/n），達到信道容量。 錯30、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的極小值。對31、信源的消息通過信道傳輸后的誤

23、差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就越小，獲得的信息量就越小。 錯32、當p（xi）、p（yj/xi）和d（xi，yj）給定后，平均失真度是一個隨即變量。 錯33、率失真函數(shù)對允許的平均失真度具有上凸性。對34、率失真函數(shù)沒有最大值。 錯35、率失真函數(shù)的最小值是0 。對36、率失真函數(shù)的值與信源的輸入概率無關。錯37、信源編碼是提高通信有效性為目的的編碼。 對38、信源編碼通常是通過壓縮信源的冗余度來實現(xiàn)的。 對39、離散信源或數(shù)字信號的信源編碼的理論基礎是限失真信源編碼定理。 錯40、一般情況下，哈夫曼編碼的效率大于香農(nóng)編碼和費諾編碼。 對41、在編m（m>2）進制的哈

24、夫曼碼時，要考慮是否需要增加概率為0的碼字，以使平均碼長最短。 對42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵與“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。 錯43、在游程編碼過程中，“0”游程和“1”游程應分別編碼，因此，它們的碼字不能重復。 錯44、L-D編碼適合于冗余位較多和較少的情況，否則，不但不能壓縮碼率，反而使其擴張。 對45、狹義的信道編碼既是指：信道的檢、糾錯編碼。 對46、對于BSC信道，信道編碼應當是一對一的編碼，因此，消息m的長度等于碼字c的長度。 錯47、等重碼和奇（偶）校驗碼都可以檢出全部的奇數(shù)位錯。 對48、漢明碼是一種線性分組碼。對49、循環(huán)碼也是一種線性分組碼。

25、對50、卷積碼是一種特殊的線性分組碼。 錯四、簡答（每題4分）（20道）1、 信息的主要特征有哪些？（4）2、 信息的重要性質(zhì)有哪些？（4）3、 簡述幾種信息分類的準則和方法。（5）4、 信息論研究的內(nèi)容主要有哪些？（8）5、 簡述自信息的性質(zhì)。（13）6、 簡述信源熵的基本性質(zhì)。（23）7、 簡述信源熵、條件熵、聯(lián)合熵和交互熵之間的關系。（48）8、 信道的分類方法有哪些？（93-94）9、 簡述一般離散信道容量的計算步驟。（107）10、簡述多用戶信道的分類。（115-116）11、簡述信道編碼定理。（128）12、簡述率失真函數(shù)的性質(zhì)。（140-145）13、簡述求解一般離散信源率失真函

26、數(shù)的步驟。（146-149）14、試比較信道容量與信息率失真函數(shù)。（164）15、簡述編碼的分累及各種編碼的目的。（168）16、簡述費諾編碼的編碼步驟。（170）17、簡述二元哈夫曼編碼的編碼步驟。（173）18、簡述廣義的信道編碼的分類及各類編碼的作用。（188）19、簡述線性分組碼的性質(zhì)。（196）20、簡述循環(huán)碼的系統(tǒng)碼構(gòu)造過程。（221）“信息論與編碼”試題2007級碩士研究生2008年6月14日一、基本概念題（閉卷部分，每題4分，共40分。1小時內(nèi)完成并交卷）1.試證明n維隨機變量的共熵，不大于它們各自的熵之和。證明：即證明因為0 £ I (X; Y) = H(X) H(

27、X/Y)，所以H(X/Y) £H(X)。由共熵的定義和熵的鏈接準則，有H(X 1, X 2) = H(X 1) +H(X 2/ X 1) H(X 1, X 2, X 3) = H(X 1)+H(X 2, X 3/ X 1) = H(X 1)+H(X 2/ X 1)+H(X 3/ X 2, X 1) £ H(X 1)+H(X 2) +H(X 3)證畢。2.請給出信源編碼器的主要任務以及對信源編碼的基本要求。解：信源編碼器的主要任務是完成輸入消息集合與輸出代碼集合之間的映射。對信源編碼有如下基本要求：（1）選擇合適的信道基本符號，以使映射后的代碼適應信道。例如，ASCII碼選用

28、了16進制數(shù)。（2）尋求一種方法，把信源發(fā)出的消息變換成相應的代碼組。這種方法就是編碼，變換成的代碼就是碼字。（3）編碼應使消息集合與代碼組集合中的元素一一對應。3.請給出平均碼長界定定理及其物理意義。解：平均碼長界定定理：若一個離散無記憶信源X，具有熵H(X)，對其編碼用D種基本符號，則總可以找到一種無失真信源編碼，構(gòu)成單義可譯碼，使其平均碼長滿足平均碼長界定定理的物理意義：編碼所追求的，是在單義可譯前提下尋求盡可能小的平均碼長。平均碼長界定定理指出，平均碼長的下界值。對于給定信源空間X，P(X)的離散信源，其熵H(X)是確定的數(shù)值，如果信道基本符號也是確定的，即D也是給定的，則也就定了。這

29、意味著，如果不改變信源的統(tǒng)計特性，減小的潛力，到了其下界值也就到了極限了。因此，如果要進一步提高編碼效率，必須對信源本身進行研究，例如改變信源本身的統(tǒng)計特性，對其進行擴展。4.請給出連續(xù)信源分別為均勻分布、高斯分布和指數(shù)分布時信源的相對熵。解：（1）均勻分布連續(xù)信源的相對熵為（2）高斯分布連續(xù)信源X的相對熵為中間步驟可以省略（3）指數(shù)分布連續(xù)信源X的相對熵為中間步驟可以省略5.請給出失真函數(shù)、平均失真度、保真度準則、信息率失真函數(shù)的定義。解：失真函數(shù)定義：對于有失真的信息傳輸系統(tǒng)，對應于每一對（ai, bj）（n = 1, 2, r；j=1, 2, , s），定義一個非負實值函數(shù)表示信源發(fā)出符

30、號ai而經(jīng)信道傳輸后再現(xiàn)成信道輸出符號集合中的bj所引起的誤差或失真，稱之為ai和bj之間的失真函數(shù)（Distortion Function），簡寫為dij。平均失真度定義：若信源和信宿的消息集合分別為X:a1, a2, , ar和Y:b1, b2, , bs，其概率分別為P (ai)和P (bj) (i=1, 2, , r ; j=1, 2, , s )，信道的轉(zhuǎn)移概率為P (bj /ai)，失真函數(shù)為d (ai, bj)，則稱隨機變量X和Y的聯(lián)合概率P (ai bj )對失真函數(shù)d (ai, bj)的統(tǒng)計平均值為該通信系統(tǒng)的平均失真度。保真度準則定義：從平均的意義上來說，信道每傳送一個符號

31、所引起的平均失真，不能超過某一給定的限定值D，即要求，稱這種對于失真的限制條件為保真度準則。信息率失真函數(shù)定義：用給定的失真D為自變量來描述的信息傳輸速率，稱為信息率失真函數(shù)，用R(D)表示。6. 試證明(n, k)循環(huán)碼的生成多項式g(x)是xn+1的因式。證明：將生成多項式g (x)乘以，得由于次數(shù)為n，故上式中q(x) = 1，而是g (x)循環(huán)左移k次所得，它是g(x)的倍式，設，故有證畢。7. 請給出域的定義并說明集合0, 1, 2可否構(gòu)成域及其理由。解：域的定義：非空元素集合F，若在F中定義了加和乘兩種運算，且滿足(1) F關于加法構(gòu)成Abel 群，其加法恒元記為0；(2) F中非

32、零元素全體對乘法構(gòu)成Abel 群，其乘法恒元記為1；(3) 加法和乘法間有如下分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca，則稱F是一個域?；蛘哒f，域是一個可換的、有單位元的、非零元素有逆元的環(huán)。集合0, 1, 2可以構(gòu)成域。對該集合中的元素定義模3加和模3乘這兩種運算，完全符合域必須滿足的3個條件。8. 請給出本原多項式的定義，并用一個實例來說明它的性質(zhì)。解：本原多項式的定義：若m次既約多項式p(x)除盡的xn+1的最小正整數(shù)n滿足n=2m1，稱p(x)為本原多項式。用實例來說明本原多項式有如下性質(zhì)：1）本原多項式一定是既約的（因為它是用既約多項式來定義的），但既約多項式不一定

33、是本原的。例如：4次既約多項式x4+x+1能除盡x15 +1，但除不盡任何1 n < 15的xn +1，所以x4 +x +1是本原的；但同樣是4次既約多項式x4+x3 +x2+x+1，能除盡x15 +1，但也能除盡 x5+1，所以x4+x3 +x2+x+1是既約的但不是本原的。2）對于給定的m，可能有不止一個m次本原多項式。例如，對于m = 5，x5+x3 +1是本原多項式，x5 +x2 +1也是。9. 試說明循環(huán)碼對突發(fā)錯誤的檢測能力。解：（1）循環(huán)碼能檢測長為n k或更短的任何突發(fā)錯誤，包括首尾相接突發(fā)錯誤。（2）循環(huán)碼對n k +1位長的突發(fā)錯誤不能被檢出所占的概率最大是2 ( n

34、 k +1)。（3）如果l > n k +1，則循環(huán)碼不能檢測長為l的突發(fā)錯誤所占的比值為2 ( n k )。因此，循環(huán)碼檢測突發(fā)錯誤非常有效。10. 請給出最佳自由距離卷積碼的定義并簡要說明如何獲得具有最佳自由距離的卷積碼。解：最佳自由距離卷積碼的定義：對于相同的碼率R和相同的電路復雜性（存儲單元總數(shù)m等）的各種卷積碼，使得自由距離df最大的編碼稱為最佳自由距離（OFD，Optimal Free Distance）碼。為了得到各種OFD碼，通常采用計算機搜索的方法，即對于給定的存儲單元總數(shù)m所有可能的卷積碼編碼器，首先排除惡性卷積碼，然后對應每一可能的卷積碼編碼器求其自由距離df，逐一

35、比較得到自由距離df最大者即為最佳自由距離卷積碼編碼器。二、綜合題（開卷部分，每題10分，共60分。閉卷部分交卷后方可參閱參考資料）1. 某通信系統(tǒng)的信源輸出僅有2個符號a、b，擬采用Lempel-Ziv編碼后送信道傳輸，若某次通信需傳輸?shù)姆栃蛄袨椤癮aaaaaa bbbbbbb aaaaaaaa bbbbbbb a b aaaaaa bbbbbbb aaaaaaaaaaaaaaaaab”，請給出其Lempel-Ziv編碼結(jié)果并簡要說明該編碼的性能。解：編碼結(jié)果編碼包<0,7,b> <1,6,a> <15,15,b> <15,14,a> <

36、;1,15,b>內(nèi)容aaaaaaa b bbbbbb a aaaaaaab bbbbbba b aaaaaabbbbbbba a aaaaaaaaaaaaaaab碼段符號數(shù) 8 7 16 15 16如果把a、b看作為1、0，對編碼結(jié)果（即每個編碼包）可以用4+4+1=9-bit表示，傳輸該序列用5個編碼包即45-bit，而該序列有62-bit，因此該編碼起到壓縮作用。2若題1信源符合a、b的出現(xiàn)概率分別為0.9和0.1，擬對其采用3重擴展后再進行霍夫曼編碼，請給出編碼過程及結(jié)果，并求該種信源編碼的效率。解：aaa：0.729aab：0.081aba：0.081abb：0.009baa：0

37、.081bab：0.009bba：0.009bbb：0.001設aaa、aab、···bbb分別為x1、x2、···x9，按照概率大小依此排列，有x1x2x3x5x4x6x7x8具體編碼過程、結(jié)果、編碼效率略。3. 為了在有噪信道中獲得可靠的通信，擬對題2的霍夫曼編碼結(jié)果再進行信道編碼，若霍夫曼編碼的輸出序列為aabb baaa baba bbaa bbba abbb abab···，試給出采用戈萊碼（23，12）編碼的第一個碼字；如果信道編碼不是采用戈萊碼而是采用縮短的BCH（120，78）編碼，試給出

38、構(gòu)造該種編碼的生成多項式的方法以及縮短的方法，分析其糾錯和檢錯能力，簡述其編碼和譯碼過程。解：（1）對戈萊碼（23，12）采用生成多項式為g(x) = x11+ x10+ x6+ x5+ x4 + x2+1，即110001110101令a1，b0，則要編碼的序列為1100 0111 0101 0011 0001 1000 1010 ···；由于戈萊碼是非本原BCH碼，其編碼規(guī)則與BCH碼相同，現(xiàn)采用系統(tǒng)碼，第一個碼字的編碼過程如下：1100011101010000000000011000111010100000000000因此第一個戈萊碼碼字為1100011101

39、01 00000000000，即監(jiān)督位為全0（11位）。（2）縮短的BCH（120，78）原碼為BCH（127，85），構(gòu)造該種編碼的生成多項式，可以由 g(x) =LCMf 1(x) +f 2(x) + f 3(x) x6+···+f 2 t (x)對于本題，12727，fi(x)是GF(27)上的元素a i的最小多項式，求出a、a 3、a 5、a 7的最小多項式，將它們相乘即得到該種編碼能夠糾5個錯的生成多項式（次數(shù)為1278542）。縮短的方法取原碼BCH（127，85）中的一個子集，其消息位的前7位均為0，編碼方法與原碼相同，只是傳輸時前7位0不要傳送。由求其生成多項式的過程已知該種編碼的原碼能夠糾5個隨機錯誤，至少能夠檢測10個隨機錯誤，由于