第11章穩(wěn)恒電流磁場

1、11-1求圖中各種情況下0點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：(a)連接A和D兩點(diǎn)，電流a可以看成是由 直線電流和矩形電流合成的。直線電流在0點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度011(2 (a/2)，方向垂直紙面向外。矩形電流由兩條長度為a、兩條長度為b的直線電流組成，在0點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：1#。14 (a/2)sin( / 2) sin(/2)oI4 (b/2)si n( /2) sin(/2)丄前(/2)罕sin( / 2) 2 ol 聲 aba ,a2b22_olab . a2b2#一(-a) 方向垂直紙面向內(nèi)。.a2 b2 a bO點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B一2ol (- a)衛(wèi)2 ol . a2 b2 aJa2

2、b2 a b a ab(b)電流b由兩條直線電流和一個(gè)圓弧電流組成：ol 1352R 36o2(sin9o4 Rsin o)3 ol16Ro12 R0.35#(c)電流c中兩條直線電流的延長線都過圓心，由畢-薩定律知道在圓心處產(chǎn)生 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0,圓弧產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為o1 1l12R 2 R0丨2 丨22R 2 R由于兩端的電壓相同，有V知牛2帶入上式得到B=o11-2.如圖所示，一扇形薄片，半徑為 R，張角為，其上均勻分布正電荷，電 荷密度為，薄片繞過角頂O點(diǎn)且垂直于薄片的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，求O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解答1：將扇形薄片分割成半徑為r的圓弧形面積元，電荷量為：dq r dr轉(zhuǎn)動(dòng)

3、時(shí)相當(dāng)于園電流，對應(yīng)的電流強(qiáng)度為:“ dq r dr dlT 2 /2rdr產(chǎn)生的磁場為 dBodl 2r 4dr圓心處的磁場為Bdro4解答2:以o為圓心，采用極坐標(biāo)系將扇形薄片分割成小的面積元dq ds rd dr利用運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生磁場的公式dB0 dqv0 rd drrd dr對上式積分得：BdrRd dr0 011-3在半徑R 1.0cm的無限長半圓柱形金屬薄片中，自下而上地通有電流I 5.0A，求圓柱軸線上任一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（這 里把自上而下改為自下而上，求解時(shí)對應(yīng)右圖。如不改 時(shí)方向相反。）解：從電流的頂上看是個(gè)半圓形，在其上取一段圓弧（對 應(yīng)于一無限長載流直導(dǎo)線），電流強(qiáng)度為

4、：dl JRRdId3#產(chǎn)生的磁場方向如圖，由此可見合磁場方向沿水平向右為:dBx0dI2 R°ld22 cos( / 22R)竺-sin2 R#磁感應(yīng)強(qiáng)度為:BBx0Id0 22Rsin0I2 2R眷6.37X 10-5t方向沿x軸正向。#11-4圖中所示為實(shí)驗(yàn)室中用來產(chǎn)生均勻磁場的亥姆霍茲圈。它由兩個(gè)完全相同的匝數(shù)為N的共軸密繞短線圈組成（N匝線圈可近似視為在同一平面內(nèi)）。兩線圈中心Oi, O2間的距離等于線圈半徑R，載有同向平行電流 J。以O(shè)i, O2連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求軸線上在01和02之間、坐標(biāo)為x的任一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，并算出B。、B°i、B02進(jìn)行

5、比較解：由圓電流在軸線上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式:oIR22(R2 x2)3/2線圈1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度線圈2產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度oNIR2223/22(R2 (x R/2)2)20NIR22(R2 (x R/2)2)3/2Bo2Bi0NIR2(R2(R/2)2)3/2oNI(5/4)3/2R0.715oNIRBoiBo2oNIoNIR22R2(R2 R2)3/23/2R 22(2)o.678oNIR兩個(gè)圓環(huán)之間的磁場變化緩慢11-5有一半徑為R的半圓形電流，求在過圓心O垂直于圓 面的軸線上離圓心距離為x處P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：如右圖利用畢-薩定律分析可知z方向的B分量為o：dBoIRd4 r2x軸分量

6、為:dBJRd4cos( /2 roIRd2 sin r/2Bx/24cos(4 r/2 )oIR .尹sin4r2oIR24r34#y軸分量為:#dBy哼sin( /24 r)cosoIRd2 cos cos4 roIRd xcos4 r r#12By12°IRd4 r2x cos roIRx4 r3/2cos d/2oIRx2PoIR24r3oIRx2 r3這里r 、R2 x2是圓環(huán)到軸線的距離11-6半徑為R的均勻帶電球面的電勢為U，圓球繞其直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由球面的電勢表示式 uq4°R得到球面電荷量q 40RU電荷面密度oUq4 R2 R

7、取球坐標(biāo)系，將圓球分割成圓環(huán),圓環(huán)帶電量為dq2 Rsin Rd圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的等效電流為 dIdq 2 Rsi n RdT2/R2 sin d利用圓電流軸線上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式,得到分割出的圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為dB 2(Rsin2 20( R sin d )(Rsin )2 (Rcos )23/20 Rsin3 d2（本題中圓環(huán)半徑為Rsin ，待求點(diǎn)球心到圓環(huán)中心的距離為y R cos )B 0亦3 sin0(12 cos)dcos-(cos2-cos3 )3R2(1-)211-7地球上某處的磁感應(yīng)強(qiáng)度水平分量為1.7 10 5T，試計(jì)算該處沿水平方向的磁場強(qiáng)度解:51.7

8、 1041013.5A/m611-8螺線環(huán)中心周長I 10cm，環(huán)上線圈匝數(shù) N 200匝，線圈中通有電流I 100mA。(1)求管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，及磁場強(qiáng)度H ; (2)若管內(nèi)充滿相對磁導(dǎo)率r 4200的鐵磁質(zhì)時(shí)，管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度為多大 ？( 3)鐵磁質(zhì)內(nèi)由傳導(dǎo)電流I產(chǎn)生的磁場B，與由磁化電流產(chǎn)生的磁場 B'各為多大?解：(1)由安培環(huán)路定律-H ?dl I ii選擇螺線環(huán)中心為環(huán)路路徑：H?dl HI NI得到磁場強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B0(2)管內(nèi)充滿相對磁導(dǎo)率NI200 0.10.1200A/mcNII744102002.5 10 T4200的鐵磁質(zhì)時(shí)磁場強(qiáng)度不變，磁感應(yīng)強(qiáng)

9、度為r oNIl44200 2.5 10 41.06T7#(3)傳導(dǎo)電流I產(chǎn)生的磁場B0為：B0 型 2.5 10 4T磁化電流產(chǎn)生的磁場B'為：B' B B01.06T11-9在半徑為R的長圓柱導(dǎo)體內(nèi)與軸線平行地挖去一個(gè)半徑為 r的圓柱形空腔.兩圓柱形軸線之間的距離為d(d r)。電流I在 截面內(nèi)均勻分布，方向平行于軸線。求：(1)實(shí)心圓柱軸線上磁 感應(yīng)強(qiáng)度的大??；(2)空心部分中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：(1)這個(gè)電流可以看成是：在空腔內(nèi)補(bǔ)上同樣電流密度的電流，在于同一位 置再加上一條方向相反的電流，這時(shí)磁場是這兩個(gè)電流各自產(chǎn)生的磁場的矢量 和。柱體的電流密度為j 2。在實(shí)心

10、圓柱軸線上大圓柱產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)(R2 r )度為0,小圓柱產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度由安培環(huán)路定律求解。2 2 B?dl B 2 d 0j r2求得：B°jr°Ir2d 2 d(R2 r2)(2)空心部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度由大圓柱與小圓柱各自產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和大圓柱產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度由安培環(huán)路定律求解B ?dlB1 2 r10j r121得到 Bi2 ojri同樣可得小圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2 1 0jD2如下圖，合場強(qiáng)為：BBiB212 oj1 (sin icos j)0 j a (sincos j)2 ojr1(yi2r1xj)r12ojdjold22 j2 (R r )11-10、半

11、徑為R的無限長半圓柱形金屬棒中， 通有自下而上沿長度方向電流I，且橫截面上 電流分布均勻。試求該半圓柱軸線上的磁感應(yīng) 強(qiáng)度。解：電流密度:_l_2IR2/2R2j利用11-3的結(jié)果，磁感應(yīng)強(qiáng)度在x軸方向，選擇如右圖所示的半圓弧電流元dl j rdr在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:dBodl2r002 j rdr jdr rRB jdr00jR 2 0I2r11-11根據(jù)安培環(huán)路定理v v0 I，求得磁感應(yīng)強(qiáng)度為:R)方向垂直紙面向里，取矩形法線方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶颮)v vBgdSoFR2gjr2RRoI4In 211-12把圓盤割成許多圓環(huán)，其中對單個(gè)小圓環(huán)，設(shè)它的半徑為dqdt電為dq，貝U d

12、qrdr dIrdrdmr3dr則整個(gè)圓盤的磁矩為Rdm0r3drk r4drr，寬為dr，帶5垂直紙面向5平行于紙面且垂直于B向上外，所以M B511-13據(jù)霍爾效應(yīng)VIBRh 1 IB2.53 10 5(V)bqn b電場強(qiáng)度E -2.531051.27 103(N.C 1)a2.010 211-14 Uaa，6.65 103V，說明A端電勢比A'電勢高，A端積累正電荷、A'端積累負(fù)電荷。根據(jù)洛侖茲力公式 F qV B，可以判斷這塊導(dǎo)體的載流子帶負(fù)電荷，所以這塊導(dǎo)體是n型又UaaRhIBb丄IB qn b0盤；，帶入數(shù)據(jù)，得n 2.82 1020(m3)11-15 :由安培

13、力公式可知，當(dāng)兩條導(dǎo)線電流方向相同時(shí)， 兩導(dǎo)線相互吸引，如下圖，導(dǎo)線2對導(dǎo)線1單位長度的引力的大小為：仏，導(dǎo)線3對導(dǎo)線1單位2 r 2 a長度的引力f13o I2引力f13和f12正好在等邊三角形的兩條邊上，它們之間的夾角為600，而且在數(shù)值上大小相等，所以合力的大小為f1 f13cos30° f12 cos30°a0cos303.46 10 4 N / cm方向如圖911-16.在線圈的上下兩段弧da和be上，因長直電流I, 產(chǎn)生的磁場與和電流*方向平行，所以圓弧da和be 受力為零。長直電流I,在線圈的直線部ab和ed處產(chǎn) 生的磁場的方向另【J沿著y軸的正向和負(fù)向，磁感

14、應(yīng)強(qiáng)度的大小為B 旦。因此，作用在線圈上的合力為2 RF 21八山 9.33 10 4 N 沿著x軸負(fù)向2 R11-17.載流導(dǎo)線中兩段直線部分所受安培力大小相等， 方向相 反，兩力平衡。整個(gè)載流導(dǎo)線受力就是半圓形導(dǎo)線所受的磁場 力。我們知道，載流導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場中受力，等于從起點(diǎn)到終 點(diǎn)連接的一根直導(dǎo)線通過相同電流時(shí)受到的磁場力。因此整個(gè) 載流導(dǎo)線受力的大小為F 2BIR,方向豎直朝上。11-18載流的半圓形鉛絲環(huán)受到磁力的大小為：F IDB，沿著水平向右，用T表示圓弧兩端a，b受到另外半圓弧的張力，在平衡時(shí)有：2T F 0T f BIR° 7.0 °.。5 °3

15、5N相應(yīng)的拉應(yīng)力為:0.35105Ngm0.7 106X X X X XX X X X X6)11.19矩形回路的上下兩段導(dǎo)線所受安培力FnF2的矢量和為零，貝U回路所受的總安培力等于左右兩段所受的安培力f3,f4的矢量和，它的大小為10F F3 F4 晉諾2冷冊）128 10 3N方向水平向左。11-20金屬圓環(huán)徑向電阻rr2 drRi2 rd金屬環(huán)受到的磁力矩，等于沿徑向電 流所受的安培力的力矩之和。在d范圍內(nèi) 圓環(huán)上r到r dr處的小電流元為 dl I rd 丄d，該電流元所受的安2 r 2lnR2，徑向電流I 2dR1R2 dIn R2 R1培力為Bdldr，對轉(zhuǎn)軸的力矩為rBdldr

16、，因此圓環(huán)所受安培力矩為rBdldrBdIn(R2 Ri)R2rdrRiidB'R嚴(yán)2 r2)11-21線圈的磁矩為m IS方向垂直紙面朝外。方向垂直紙面朝里，與B垂直。因此，線圈所受的磁力矩的大小為:BI R2M mB -27.85 10 Ngm磁力矩的方向?yàn)樨Q直向下。211-22假設(shè)摩擦力足夠大，圓柱不向下滑動(dòng)。重力繞過切 點(diǎn)0的軸的力矩為：M g mgr sin繞組所受的磁力矩Mm mgRs inNIBg2Rls in磁力矩應(yīng)大于或等于重力矩，圓柱才不至于沿斜面向下滾動(dòng)，即Mm MgNIBg2Rlsi nmgRsin1 關(guān) 245A11-23因?yàn)閐 ? R,則通有電流I的長直導(dǎo)線在小線圈位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度近似為oI廠d方向垂直紙面朝外。線圈正法線方向與B的方向成 角時(shí)，線圈所受磁力