第10講一元一次方程奧數(shù),學(xué)而思,超常班

1、2011春季班三年級(jí)超常班7而思侯曉卅第十講一元一次方程一、一元一次方程的解法相關(guān)概念：等式性質(zhì)：（1）等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；（2）等式兩邊同時(shí)乘以或除以（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，等式 仍然成立。方程：含有未知數(shù)的等式。（兩個(gè)注意：（1）含有未知數(shù)：（2）等式。）元：未知數(shù)的個(gè)數(shù)（兒種木知數(shù)就是兒元）；次：未知數(shù)最高次項(xiàng)的次數(shù)。解一元一次方程步驟：（1）去括號(hào)（注意乘；丿、分配律;括號(hào)前是減號(hào)要變號(hào)）（2）移項(xiàng)（過橋變號(hào)）（3）合并（4）求解前兩步易錯(cuò)。例 1： ®2X+12=4X-12解：12+12=4X-2X （移項(xiàng)注意過橋變號(hào)：未知數(shù)放左邊不夠減就放右邊）

2、 24=2X （合并）X=12 （求解；最后一步建議把X寫左邊）10 （X+2） =4 （2X+7）解:10X+20=8X+28 （去搖號(hào),注意乘法分配律）10X-8X=28-20 （移項(xiàng)，注意變號(hào)）2X=8X=4超常學(xué)案1：8X2 （7+X） =4解：8X-14-2X=4 （注意去括號(hào)更同時(shí)完成兩個(gè)任務(wù)乘法分配 律：括號(hào)前是減號(hào)要變號(hào)8X-2X=4+146X=18X=3補(bǔ)充題：6 （3-X） -5 （X-1） =1 X=23X+2-2 （2X-1） =0 X=4二、列方程解應(yīng)用題步驟：設(shè)、列、解、（檢驗(yàn)）、答。我們學(xué)習(xí)方程具以后，復(fù)雜的應(yīng)用題不需要繞來繞去分析。K接根據(jù)題意 列方程求解即可。

3、設(shè)未知數(shù)有血接設(shè)耒知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)。(一)直接設(shè)未知數(shù)例2：(年齡問題)今年，爺爺?shù)哪挲g是小李的5倍，小李發(fā)現(xiàn)，12年后， 爺爺?shù)哪挲g將是他的3倍，試求出今年小李的年齡。解:設(shè)小李今年X歲，爺爺今年5X今年的年齡12年后的年齡小李XX+12爺爺5X5X+12根據(jù)“12年后，爺爺?shù)哪挲g將是他的3倍，” 列得方程：5X+12=3 (X+12) 解得X“2答：小李今年12歲。注：表格助r分析整理?xiàng)l件，熟悉后可略去。例4：(盈,j問題)一個(gè)工人接到加工一批零件的任務(wù)，限期完成。如果每 天做10個(gè)，還差3個(gè)完成任務(wù)：如果每天做11個(gè)，就可以提前1天完成。他的 工作期限是多少天？解:設(shè)工作期限是X天。(

4、根據(jù)總量相等列方程)10X+3=ll (X-1)解得，X=14答：工作期限是14天?！靖?本題的算術(shù)解法:(11+3) 4- (11-10) =14 (天)而解方程的過程10X+3=ll (X-1)1OX+3=11X-1111+3=11X-1OXX= (11+3) 4- (11-10)冷見算術(shù)方法和方程是對(duì)W的。算術(shù)方法對(duì)應(yīng)著解方程的過程。有的題冃有 多種并術(shù)方法就可以列得多個(gè)不同的方程。如雞兔同籠，有興趣的同學(xué)可以試試, 有助丁加深對(duì)方程的理解C】例5：(和差問題)把161分成兩個(gè)數(shù)，使兩數(shù)之和是兩數(shù)之差的7倍，求 這兩個(gè)數(shù)各是多少？解：兩數(shù)差為1617=23,設(shè)較小數(shù)為X,則大數(shù)為X+23

5、,根據(jù)兩數(shù)和為161 解方程 X+ (X+23) =161解得X=69則較大數(shù)為69+23=92答：大數(shù)為92,小數(shù)為69。例6：(迎春杯真題)土二小放一群鴨子到池塘，鄰居李大媽問二小一共有 2011祚乍班三年級(jí)超簾班7而思侯曉卅多少只鴨子。二小答道“頭數(shù)加只數(shù)，只數(shù)減頭數(shù)，只數(shù)乘頭數(shù)，只數(shù)除頭數(shù), 把四個(gè)得數(shù)相加恰好是100王二小一共有多少只鴨子？解：設(shè)王二小有X只鴨子。根抑“頭數(shù)加只數(shù)只數(shù)減頭數(shù).只數(shù)乘頭數(shù).只數(shù)除頭數(shù).把四個(gè)得數(shù)相加恰好是100”.列方程： X+X + X-X + XXX + X4-X = 100化簡(jiǎn)得，X'+2X+l=1.00此方程為一元二次方程，一般看到都感覺

6、不太會(huì)解。可以采用如下三種方法：方法一：嘗試法由于數(shù)字不太大，可以嘗試得X=9方法二：X2+2X+l=100X:+2X=99X (X+2) =99X與X+2是兩個(gè)相差二的門然數(shù)，乘積為99,只能分解為9X11X=9,X+2=11方法三：(完全平方公式)(a + b) =cF + 2ab + b(o + by =a2 + 2ah + h2(X4-1)2 = X2+2XX1+12 = X2 +2X+1原方程華為(X+1)=100CP(X+l)2=10:X+l=10X=9答：王二小有9只鴨子。【附：完全平方公式的證明：如圖所示：正方形邊長(zhǎng)為a+b,而積為(d + b門又可以如圖分割：面積為，+ 2a

7、b+b所以(d + b) = d' + 2ab+b2口訣：首平方，尾平方；二倍乘積在中央?！垦a(bǔ)充兩道小升初真題：補(bǔ)充1：大小兩池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸 水：若從人池抽水將小池注滿，則人池還剩30噸水。已知人池容最是小池的1.5 倍，問：兩池中共有多少噸水？解：設(shè)兩池中共有水X噸。若從小池抽水將人池注滿，則小池還剩5噸水，說明人池容臺(tái)為X-5： 若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水，說明小池容鼠為X30。根據(jù)“大池容最是小池的1.5倍，”列方程：X-5=1.5 (X-30 )解,得X=80答：兩池中共有80噸水.補(bǔ)允2： 群學(xué)生進(jìn)行籃球測(cè)驗(yàn)，每人投10次

8、，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分 情況如下表：進(jìn)球數(shù)0128910人數(shù)754341還知道至少投進(jìn)3個(gè)球的人平均投進(jìn)6個(gè)球，投進(jìn)球不到8個(gè)球的人平均投進(jìn)3 個(gè)球，問：共有多少人參加測(cè)驗(yàn)？分析與答：【平均數(shù)問題：總數(shù)二平均數(shù)X數(shù)最本題乍一看毫無頭緒，就是因?yàn)橹虚g的信息不全，但從條件入手，就可以巧 妙的回避省略號(hào)處不全的信息。列方程解應(yīng)用題定耍找到等量關(guān)系，同個(gè)量, 用兩種不同的表達(dá)方式把它表示出來，就得到方程。本題中：投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個(gè)球的 人的進(jìn)球數(shù)，也等進(jìn)球數(shù)不到8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個(gè)球的人的進(jìn) 球數(shù)。設(shè)共有X人參加測(cè)驗(yàn)。至少投進(jìn)3個(gè)球的人數(shù)為(X

9、-7-5-4)人，已知至少投進(jìn)3個(gè)球的人平均投進(jìn) 6個(gè)球，則至少投進(jìn)3個(gè)球的人共投進(jìn)6X (X-7-5-4)個(gè)球，則投中的總球數(shù)(等 丁進(jìn)球數(shù)不到3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù))為0X7+1 X5f2X4+6X (X-7-5-4) =6X-83；投進(jìn)不到不到8個(gè)球的人數(shù)為(X-341)人，己知投進(jìn)球不到8個(gè)球的人平 均投進(jìn)3個(gè)球，則投進(jìn)球不到8個(gè)球的人共投進(jìn)3X (X-3-4-1)個(gè)球，則投球的 總數(shù)(等丁進(jìn)球數(shù)不到8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù))為 3X (X-3-4-1) +8X3+9X4+10Xl=3X+46：列方程 6X-83=3X+46解：設(shè)共有X人參

10、加測(cè)驗(yàn)。0X7+1X5+2X4+6X (X-7-5-4) =3X (X-3-4-1) +8X3+9X4+10X1解，得X=43答：共有43人參加測(cè)驗(yàn)。(二)間接設(shè)未知數(shù)超常123學(xué)案3：水果店運(yùn)來的西瓜個(gè)數(shù)是哈密瓜個(gè)數(shù)的4倍，如果每天賣 130個(gè)西瓜和36個(gè)哈密瓜，那么哈密瓜買完后還剩下70個(gè)西瓜。問：水果店運(yùn) 來的西瓜和哈密瓜共多少個(gè)？解：設(shè)賣了 X天。(由丁兩種水果賣的個(gè)數(shù)和天數(shù)緊密相關(guān)，故選擇設(shè)天數(shù)2011祚季班三年級(jí)超常班7而思侯曉卅為未知數(shù)）賣剩共西瓜130X70130X+70哈密瓜36X036X根據(jù)“水果店運(yùn)來的西瓜個(gè)數(shù)是哈密瓜個(gè)數(shù)的4倍，”列方程:130X+70=4 X36X解得

11、X=5西瓜：130X5+70=720 （個(gè)）哈密瓜:36X5=180 （個(gè)）共 720+180=900 （個(gè)）答：水果店運(yùn)來的西瓜和哈密瓜共900個(gè)。例7： 次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，某校八年級(jí)學(xué)生參加的人數(shù)是未參加的3倍，如果六 年級(jí)人數(shù)學(xué)生減少16人，耒參加的學(xué)生增加8人，那么參加的是耒參加的2倍。 六年級(jí)總?cè)藬?shù)是多少？解：根據(jù)“六年級(jí)學(xué)生參加的人數(shù)是未參加的3倍”，選擇設(shè)未參加的人數(shù) 為X,參加的為3X。變化前變化后參加3X4X-16-( X+8)=3X-24未參加XX+8一共4X4X-16根據(jù)“參加的是未參加的2倍”得方程:3X-24=2 （X+8）解得，X=40總?cè)藬?shù)4X=160 （人）答：六年級(jí)

12、總?cè)藬?shù)160人。超常123班學(xué)案4：今年兄弟倆的年齡和是55歲，曾經(jīng)有一年，哥哥的年 齡剛好是弟弟今年的年齡，而那時(shí)哥哥的年齡恰好是弟弟年齡的2倍。兄弟倆今 年分別多少歲？解：根據(jù)“那時(shí)躡盼的年齡恰好是弟弟年齡的2倍”設(shè)那時(shí)弟弟年齡為X, 則那時(shí)哥哥年齡為2X。隱含信息：年齡差為X哥哥弟弟曾經(jīng)有一年2XX今年2X+X=3X （年齡公不變?yōu)閄）2X （曾經(jīng)有一年,哥哥的年齡剛 好足弟處今年的年齡）今年兄弟倆的年齡和是55歲，列方程3X+2X=55解得X=ll哥哥今年:3X=33；弟弟今年：2X=22答：哥哥今年33歲；弟弟今年22歲。例8：甲乙內(nèi)三人，當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)，丙是22歲；當(dāng)乙的年齡是 丙的2倍時(shí)，甲是31歲；當(dāng)甲60歲時(shí)，丙是多少歲？解：由“當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)，”可知年齡：屮乙； 由“當(dāng)乙的年齡是丙的2倍時(shí)，”可知年齡：乙內(nèi)1 綜上，甲乙丙根據(jù)“當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)，內(nèi)是22歲”設(shè)這時(shí)乙X歲，則甲2X。 隱含條件甲乙年齡差：甲-乙二X；甲丙年齡差:甲丙=2X22.甲乙丙年份12XX22年份23131-X(甲乙年齡基：