第4講(4)Matlab中的矩陣分解命令

1、(1) 矩陣的LU分解4 6矩陣分解的Matlab命令(2) 矩陣的QR分解(3 )矩陣的Cholesky分解(4) 矩陣的奇異值分解(5) 矩陣的特征值分解(6) 矩陣的Schur分解(7) 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型分解25656(1)矩陣的LU分解在Matlab中用函數(shù)lu來實(shí)現(xiàn)矩陣的LU分解,其命令格式為：L, U=lu(X)說明：U矩陣為上三角矩陣，滿足X=L*U.L,U,P=lu(X)說明：返回的P矩陣是置換矩陣，矩陣U是上三角矩 陣，矩陣L滿秩矩陣，滿足L*U=P*X.5656例4.1>>a=1,2,4;2,-1,5;-1,10,4;>> b,c,p=lu(

2、a)運(yùn)行結(jié)果：b =1.0000 0 0-0.50001.000000.50000.26321.0000c =2.0000 -1.00005.000009.50006.500000 -0.2105P =0100011005656(2)矩陣的QR分解在Matlab中，矩陣的QR分解可由函數(shù)qr來實(shí)現(xiàn)，其 常用的調(diào)用格式如下：B,C=qr(A)說明：返回的C矩陣為上三角矩陣，矩陣 B為滿秩矩 陣。Q,R,E=qr(A)說明：返回的矩陣E是置換矩陣，矩陣R是上三角矩 陣，矩陣Q是滿秩矩陣，上述矩陣滿足關(guān)系A(chǔ)*E=Q*R.例4.2>> a=1,2,4;2,-1,5;-1,10,4;>

3、> b,c,e=qr(a)運(yùn)行結(jié)果：b =-0.1952 -0.5068 -0.83970.0976 -0.86190.4976-0.97590.01520.2177811#c =-10.2470 -4.19640.97590 -6.2762 -2.24580 0 -0.0622e =0011000109(3 )矩陣的Cholesky分解在Matlab中用函數(shù)chol對(duì)矩陣進(jìn)行Cholesky分解，函數(shù)chol的調(diào)用格式為：1. R=chol(X)說明：矩陣X必須是正定矩陣，否則會(huì)返回錯(cuò)誤信 息，返回的矩陣R是上三角矩陣。2. R,p=chol(X)說明：此調(diào)用格式不管矩陣 X是否正定，

4、都不會(huì)返 回錯(cuò)誤信息。如果矩陣X正定，則返回上三角矩陣 R, p為零；如果矩陣X非正定，則返回的矩陣R也是上 三角矩陣，但p為正數(shù)。#例4.4>> a=3,-1,1;-1,5,2;1,2,4;>> b=chol(a)運(yùn)行結(jié)果：b =1.7321 -0.57740.57740 2.1602 1.0801001.5811(4) 矩陣的奇異值分解在Matlab中，矩陣的奇異值分解則由函數(shù)svd來實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：b,c,d=svd(A)說明：返回的矩陣b為左奇異矩陣，矩陣d為右奇異 矩陣，矩陣c為奇異值矩陣。例4.5>> a=1,2,4;2,-1,5;-1,10

5、,4;>> b,c,d=svd(a)12d =-0.02910.3954 -0.91800.8640 -0.4518 -0.22200.50260.79970.328514運(yùn)行結(jié)果：b =0.32490.4385-0.83800.13930.85420.50100.9354 -0.27950.2164c =11.41700006.13590000.05711317#(5) 矩陣的特征值分解Matlab中求矩陣的特征值的函數(shù)是 eig和eigs,其中 函數(shù)eigs主要用于稀疏矩陣。函數(shù)eig主要有以下幾 種調(diào)用格式：1. D=eig(A)說明：矩陣D為矩陣A的特征向量矩陣。2. D=

6、eig(A,B)說明：矩陣D為矩陣A,B的廣義特征向量矩陣。3. V,D=eig(A)說明：矩陣V,D為矩陣A的特征值矩陣和特征向量矩 陣。154. V,D=eig(A ，'nobalance ')說明：nobalance表示在求矩陣A的特征值矩陣和 特征向量矩陣時(shí)禁止平衡”程序的運(yùn)行。當(dāng)矩陣A中有元素小到與截?cái)嗾`差相當(dāng)時(shí)，這樣做可以減少 計(jì)算的誤差。5. V,D=eig(A,B)說明：矩陣V,D為矩陣A,B的廣義特征值矩陣和特征 向量矩陣，滿足A*V=B*V*D.16#6.V,D=eig(A,B,flag)說明：使用某種確定的分解算法來計(jì)算矩陣的特征 值和特征向量，參數(shù)fla

7、g可以取” chol或” qz”當(dāng) 參數(shù)flag取” chol時(shí)，表示對(duì)B使用喬累斯基分解算 法來計(jì)算矩陣A,B的特征值和特征向量，若矩陣 A為 對(duì)稱矩陣，矩陣B為對(duì)稱正定矩陣，此算法為默認(rèn) 算法；當(dāng)參數(shù)flag取” qz時(shí)，則忽略對(duì)稱性。例4.6>> B=3,-2,-0.9,2*eps;-2,4,-1,-eps;-eps/4,eps/2,-1,0;- 0.5,-0.5,0.1,1;>> VB,DB=eig(B)運(yùn)行結(jié)果：VB =#0.6153-0.4176-0.0000-0.3305-0.7881-0.3261-0.0000-0.2949-0.0000-0.00000

8、.0000-0.81360.01890.84811.0000-0.37651818DB =5.561600001.4384000 0 1.000000 0 0 -1.0000(6) 矩陣的 Schur分解Matlab中矩陣的Schur分解用函數(shù)schur來實(shí)現(xiàn)，其 調(diào)用格式為：b,c=schur(A)說明：矩陣c為Schur矩陣。例4.7>> a=1,2,4;2,-1,5;-1,10,4;>> b,c=schur(a)2023#運(yùn)行結(jié)果：b =-0.2204 -0.97190.0821-0.68210.21380.69940.6973 -0.09810.7100c =-5.46543.90743.790900.0780 -4.5123009.387421矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型分解Matlab中矩陣的jordan標(biāo)準(zhǔn)型分解用函數(shù)jordan來 實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：V,J=jordan(A)說明：返回的矩陣V為矩陣A的相似變換矩陣，矩陣J為矩陣A的jordan標(biāo)準(zhǔn)型。>> a=1,2,4;2,-1,5;-1,10,4;>> V,J=jordan(a)#運(yùn)行結(jié)果：V =0.0431 + 0.0000i -0.0939 - 0.0000i 1.0508 - 0.0000i0