第9講一次函數(shù)與方程

1、第9講一次函數(shù)與方程、不等式考點(diǎn)方法破譯1一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化成kx+ b = 0（ k、b為常數(shù)，k0的形式，可見一元一次方程是一次函數(shù)的一個(gè)特例即在y= kx+ b中，當(dāng)y=0時(shí)則為一元一次方程.2 一次函數(shù)與二元一次方程 （組）的關(guān)系：任何二元一次方程 ax+ by = c（a、b、c為常數(shù)，且a0, b工0都可以化為y=b b 的形式，因而每個(gè)二元一次方程都對應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)；從數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于求兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等時(shí)自變量的取值，以及這個(gè)函數(shù)值是什么；從 形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的坐標(biāo).3.次函數(shù)與一元一次不等式的

2、關(guān)系：由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化成ax + b>0或ax+ bv 0（ a、b為常數(shù)，a0的形式，所以解一元一次不等式可以看成是當(dāng)一次函數(shù) 的函數(shù)值大于或小于 0時(shí)，求相應(yīng)自變量的取值范圍.經(jīng)典考題賞析【例1】直線li: y= kix+ b與直線12： y= k2x在同一平面直角坐 標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式kix + b> k2x的解為（）A. x> 1B. xv 1C. xv 2D.無法確定【解法指導(dǎo)】由圖象可知 11與12的交點(diǎn)坐標(biāo)為（一1 , - 2），即當(dāng) x=- 1時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值相等；當(dāng) x>- 1時(shí)，12的位置比11高，因 而k2x&

3、gt;k1x+ b;當(dāng)當(dāng)xv - 1時(shí)，A的位置比12高，因而kzxv k1x+ b.因 此選A.【變式題組】第2題圖第1題圖01.（咸寧）直線11： y= k1x + b與直線12： y= k2X在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示, 貝U關(guān)于x的不等式k2x> k1x+ b的解集為 .第3題圖第4題圖02.（浙江金華）一次函數(shù)y1 = kx+ b與y2= x+ a的圖象如圖，則下列結(jié)論：kv 0；a>0;當(dāng)xv3時(shí)，y1v y2中，正確的個(gè)數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D . 303.如圖，已知一次函數(shù)y= 2x+ b和y= ax- 3的圖象交于點(diǎn) P（ 2,- 5），則根據(jù)

4、圖象可得不等式2x+ b>ax- 3的解集是.104.（武漢）如圖，直線y = kx+ b經(jīng)過A（ 2, 1） , B（ 1, - 2）兩點(diǎn)，則不等式"x> kx+ b > 2的解集為.【例2】若直線11： y= x-2與直線12： y= 3-mx在同一平面直角坐標(biāo)系的交點(diǎn)在第一 象限，求m的取值范圍.X，從而求出m解:八 x2,Jy =3 -mn5x 二1 +m3 _2m y =1 +m0i 5 >0x-01 m, _ ,一|32m 門0 1m，即 1 m 0,3 _2m >0< 3.2【變式題組】01.如果直線 y= kx+ 3與y= 3x-

5、2b的交點(diǎn)在x軸上，當(dāng)k= 2時(shí),C.工2b等于（）A. 9()02.1 1若直線y =qX-2與直線y二一乂 a相較于x軸上一點(diǎn)，則直線1-4x a不經(jīng)過03.因抄錯(cuò)了04.A.第四象限B .第三象限C.第二象限兩條直線y1 = ax+ b, y = cx+ 5,學(xué)生甲解出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 c而解出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,丄），則這兩條直線的解析式為44已知直線y= 3x和y = 2x+ k的交點(diǎn)在第三象限，則 k的取值范圍是 .D.第一象限 （3, - 2），學(xué)生乙【解法指導(dǎo)】直線交點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限，即對應(yīng)方程組的解滿足 的取值范圍.【例3】（四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）在直角坐標(biāo)系中，若一點(diǎn)的

6、縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)，則 稱該點(diǎn)為整點(diǎn)，設(shè) k為整數(shù)，當(dāng)直線y= x 2與y= kx+ k的交點(diǎn)為整點(diǎn)時(shí)，k的取值可以取 （）A. 4個(gè)B. 5個(gè)C. 6個(gè)【解法指導(dǎo)】兩直線的交點(diǎn)為整點(diǎn)即對應(yīng)方程組的解均為整數(shù).k 2八x -2得 y = kx kx =解：由1 -kk 2 Jy21 k01.兩直線交點(diǎn)為整數(shù)，x、y均為整數(shù)， 又當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，y為整數(shù)， k 2為整數(shù)即可，1 - k/ k- 1是整數(shù)， k- 1 = ±1, ±3 時(shí)， k= 2, 0, 2, 4. 所以選A.【變式題組】（廣西南寧）從2, 3,k 2_k 2_k-飛一 31 -k 一 k -1 一 k-1 一

7、 k -1 'x、y為整數(shù),4, 5這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)p和q（p為），構(gòu)成函數(shù)y= px- 2x= 2的右側(cè)，則這樣的有序數(shù)對 （p,和y= x+ q,并使這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)在直線q）共有（）A. 12 對B . 6 對C. 5 對D . 3 對02.（浙江競賽試題）直線I: y= px（p是不等于0的整數(shù)）與直線y= x+ 10的交點(diǎn)恰好是整 點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)），那么滿足條件的直線I有（）A. 6條B . 7條C. 8條D .無數(shù)條03.（荊州競賽試題）點(diǎn)A、B分別在一次函數(shù)y= x, y= 8x的圖像上，其橫坐標(biāo)分別是 a、b（a> 0, b> 0）.若

8、直線AB為一次函數(shù)y= kx+ m的圖象，則當(dāng)-是整數(shù)時(shí)，求滿足條a件的整數(shù)k的值.co【例4】已知x、y、z都為非負(fù)數(shù)，滿足x+ y z= 1, x+ 2y+ 3z= 4,記o= 3x+ 2y+ z.求 的最大值與最小值.【解法指導(dǎo)】將x、y、z中的三個(gè)未知量選定一個(gè)看成已知，則關(guān)于 x、y、z的三元方程可變成關(guān)于x、y的二元方程，從而求出 x與y,然后代入 o= 3x+ 2y+ z中，可得o與z 的一次函數(shù)關(guān)系式，然后再求出 z的取值范圍，即可求出 o的最大值與最小值.-o= 3x + 2y + z= 3( 5z 2) + 2( 3 4z)解：由已知得:x y =1 zx =5z _22

9、, 2 ,x n 2y =4 -3zJy =3 _4z+ z= 8z.v x、y、z都為非負(fù)數(shù)， 2一一3545z _203 -4z0 ,.二WzW54'z> 0 o的最大值為8X3 = 6, o的最小值為8X?=4【變式題組】01.（荊州競賽試題）已知x滿足不等式:5 : 2x,|x 3| |x + 2|的最大值為p,02.03.最小值為q，則pq的值是（）A. 6B. 5已知非負(fù)數(shù) a、b、c滿足條件：3a + 2b + c= 4, 2a+ b+ 3c= 5.設(shè)S= 5a + 4b + 7c的最 大值為 m,最小值為 n,貝U n m =.（黃岡競賽試題）若x+ y+ z=

10、30, 3x+ y z= 50, x、y、z均為非負(fù)數(shù)，則 M = 5x+ 4y + 2z的取值范圍是（）A. 100W MW 110D. 130W M W 140B. 110W M < 120C. 5C. 120W M< 1304個(gè)單位后得到12,12與11的交點(diǎn)是點(diǎn)C,2與x軸的交點(diǎn)是點(diǎn)B,【例5】已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)（2, 5）和（一1 , 1）兩點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)是點(diǎn)A，將直線y 6x+ 5的圖象向上平移求厶ABC的面積.【解法指導(dǎo)】設(shè)直線2 k b = 5' f亠 ，解得、-k +b =111的解析式為y= kx+ b, V 11經(jīng)過(2, 5), ( 1, 1)兩點(diǎn)

11、,k =2b =1 '1 1 y= 2x+ 1,.當(dāng) y= 0 時(shí)，2x+ 1 = 0, x=, A(- , 0). 又/ y= 6x+ 5的圖象向上平移4個(gè)單位后得I?,： 12的解析式為33.當(dāng) y= 0 時(shí)，6x+ 9 = 0, x=, B(2 , 0).22y =2x 1x =1 , ,y = -6x 亠9 ly =331 C(1,3)，- AB= 2 - () = 2,y= 6x+ 9, Sa abc= 1 X2 X3= 3.2【變式題組】01.已知一次函數(shù) y= ax+ b與y= bx+ a的圖象相交于 A(m, 4)，且這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別 與y軸交于B、C兩點(diǎn)(B上C下

12、)， ABC的面積為1，求這兩個(gè)一次函數(shù)的解析式.02.如圖，直線 OC、BC的函數(shù)關(guān)系式為 y= x與y= 2x+ 6.點(diǎn)P(t, 0)是線段OB上一 動點(diǎn)，過P作直線I與x軸垂直.求點(diǎn)C坐標(biāo)；設(shè) BOC中位于直線I左側(cè)部分面積為 S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)t為何值時(shí)，直線I平分 COB面積.演練鞏固反饋提咼01.已知一次函數(shù)C兩點(diǎn)，那么A. 202.已知關(guān)于x的不等式()A.3iy = x+ m,和y=x+ n的圖象交點(diǎn) A( 2, 0)，且與y軸分別交于B、22 ABC的面積是()B. 3C. 4D. 6ax+ 1 >0(a工0的解集是xv 1,則直線y= ax+ 1與x軸

13、的交點(diǎn)是集疋0)0)第6題圖A( 4, 0)，則y> 0時(shí)，x的取值范圍是()C. XV 4D . XV 003.如圖，直線y= kx+ b與x軸交于點(diǎn)A. x> 4B. x> 004.直線kx 3y= 8, 2x+ 5y= 4交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0,貝U k的值為()A. 4B. 405.直線y= kx+ b與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為的解集為()A. x>0B. x< 006.如圖是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)b2,則方程組y g 5的解是() y2= k2X + b2x 二-2A.y =2C. 2D. 2A(2,0)和 B(0, 3).則不等式 kx + b+ 3&

14、gt;0yi、C. x>2D. x< 2y 的圖象丨1、"，設(shè) y1= &x+ b1, y2= k2x+B.C.x = -3y =307. 若直線y= ax+ 7經(jīng)過一次函數(shù) y= 4 3x和y= 2x 1的交點(diǎn)，貝U a=.08.已知一次函數(shù) y= 2x+ a與y= x+ b的圖象都經(jīng)過 A（ 2, 0），且與y軸分別交于 B、 C兩點(diǎn)，貝U也ABC =09.已知直線 y= 2x+ b和y= 3bx 4相交于點(diǎn)（5, a），貝U a=.10. 已知函數(shù)y= x+ m與y= mx 4的圖象交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，則m的值為.11. 直線y= 2x 1與直線y= 3x

15、+ m相交于第三象限內(nèi)一點(diǎn)，則m的取值范圍是12. 若直線y -x V與直線y - _3x5的交點(diǎn)在第一象限，且a為整數(shù)，則a=224413. 直線11經(jīng)過點(diǎn)（2, 3）和（一1, 3），直線12與11交于點(diǎn)（一2, a），且與y軸的交點(diǎn)的縱 坐標(biāo)為7.求直線I?、h的解析式；求|2、l1與x軸圍成的三角形的面積；x取何值時(shí)I1的函數(shù)值大于I2的函數(shù)值？14. （河北）如圖，直線I1的解析式為y= 3x + 3, l1與x軸交于點(diǎn)D，直線*經(jīng)過點(diǎn)A（4,30） , B（3,-）.求直線I2的解析式；求ADC ；在直線I2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得 S adp = Sa adc , 求P點(diǎn)坐標(biāo).l2x第14題圖15. 已知一次函數(shù)圖象過點(diǎn) （4, 1）和點(diǎn)（一2, 4）.求函數(shù)的關(guān)系式并畫出圖象. 當(dāng)x為何值時(shí)，yv 0, y= 0, y> 0?當(dāng)一1 vx< 4時(shí)，求y的取值范圍； 當(dāng)1 <yv