第國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔測(cè)試三解答

1、第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔測(cè)試三解答第一天2012年3月25日 上午8：0012：301.如圖,銳角中,為的垂心,點(diǎn)、分別在邊、上，,為的外心.點(diǎn)與在直線的同側(cè)，使得為正三角形.證明：、三點(diǎn)共線.證法一：如圖, 設(shè)為的垂心, 延長(zhǎng)、交于點(diǎn), 延長(zhǎng)、交于點(diǎn),易知、四點(diǎn)共圓.由知：,即.設(shè)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),則.由知：.因此為正三角形.由及知：與相似,因此與（順）相似,由此推出與（順）相似.用表示向量與的夾角（逆時(shí)針方向?yàn)檎?由于,因此,而與均為正三角形,所以與全等.因此.由此可知,即 . 由、即知, 、三點(diǎn)共線, 得證.證法二：以為原點(diǎn)建立復(fù)平面，以每點(diǎn)的字母表示這點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，設(shè)

2、，則，且. 由得：， 同理. 由為正三角形知：，所以，要證、三點(diǎn)共線,即證，也就是證明.將，代入得到，.只需證明 ，比較左右兩邊的實(shí)部與虛部即知這是成立的，得證.2. 證明：對(duì)任意給定的整數(shù), 存在個(gè)互不相同的正整數(shù), 使得對(duì)任意整數(shù), , , 以及任意非負(fù)整數(shù), 只要, 就有證明： 我們證明更強(qiáng)的命題：對(duì)任意正實(shí)數(shù), 以及任意正整數(shù), 都存在個(gè)正整數(shù), 滿足, , 且對(duì)任意實(shí)數(shù), , , 以及任意非負(fù)整數(shù), 只要, 就有 不妨設(shè), 對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述命題. 時(shí), , 只需取即可. 假設(shè)結(jié)論對(duì)成立, 我們有滿足要求, 且, , 現(xiàn)考慮的情形. 先取定一個(gè)正整數(shù), 滿足,再令, , 取充分大

3、的正整數(shù), 使得, 以及 . 下面證明這組滿足要求. 設(shè)實(shí)數(shù)(注意到此時(shí)有), 以及非負(fù)整數(shù),滿足.若, 則(這里用到式)若, 則(這里用到式)這不可能.若, 再考慮三種情況, 若, 則 (這里用到式)這不可能. 若, 則, 注意到, , 由歸納假設(shè)知若, 則 (這里用到式)這樣便驗(yàn)證了所取的滿足條件，結(jié)論證畢.3. 求滿足下面條件的最小實(shí)數(shù): 對(duì)任意一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的2012次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,都可以將其中的一些系數(shù)乘以, 其余的系數(shù)不變, 使得新得到的多項(xiàng)式的每個(gè)根都滿足, 這里和分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.解答：首先我們說明. 考慮多項(xiàng)式, 通過改變的系數(shù)符號(hào), 得到4個(gè)多項(xiàng)式, , 和. 注

4、意到與有相同的根, 其中之一為, 此外與有相同的根, 且為的所有根的相反數(shù), 故有一根, 由此得下面證明滿足題目要求. 對(duì)任意,將其系數(shù)適當(dāng)改變符號(hào)后可以得到多項(xiàng)式,其中，；對(duì)，我們證明的每一個(gè)根, 都滿足. 用反證法：假設(shè)有一個(gè)根, 使得, 則, 并且要么與的夾角小于, 要么與的夾角小于. 假設(shè)與的夾角小于, 另一種情況只需考慮的共軛虛根. 分兩種情形：若在第一象限(或虛軸上), 設(shè), 其中為將逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與相同方向的最小角度. 對(duì), 若, 則; 若, 則, 又, 故每個(gè)的輻角主值在中, 此角狀區(qū)域的頂角為, 又, 不全為0, 它們的和不能等于0. 若在第二象限, 設(shè), 若, 則; 若,

5、 則, 于是每個(gè)的輻角主值都在中, 由于, 而, , 不全為0, 它們的和不能等于0.綜上所述, 所求最小實(shí)數(shù)為.第二天2012年3月26日 上午8：0012：304. 給定整數(shù)，設(shè)，已知對(duì)任意，為平方數(shù)，證明：證明：引理：設(shè)正整數(shù)為中元素，為中元素，則引理的證明：首先注意（這等價(jià)于）故但由條件，此式左右兩邊均為整數(shù)，由此得到將上式兩邊展開，得到因，故，結(jié)合上式得到，故回到原題， 設(shè)， ，不妨設(shè)由于為平方數(shù)，故若，不妨設(shè)，則由均為平方數(shù)及，易知，從而因此，或者有，或者有應(yīng)用引理可知，從而，若，則有，若，則有，故總有5. 求所有具有下述性質(zhì)的整數(shù)：存在整數(shù)，滿足, , , , 且.證: 若有平方

6、因子, 設(shè), , 取即滿足條件.下設(shè)無平方因子.若存在兩個(gè)素?cái)?shù), 使得，設(shè)，兩兩不同，. 由于與中至少有1個(gè)數(shù)與互素（否則整除它們的差，即，矛盾），取這個(gè)數(shù)為，則，. 同理可在與兩數(shù)中取一個(gè)數(shù)，使，. 從而，且.這樣的滿足條件.若不存在兩個(gè)素?cái)?shù), 使，易驗(yàn)證這樣的整數(shù)只可能等于15, 30或者形如（其中為奇素?cái)?shù)）. 易知時(shí)，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，滿足條件.綜上所述，整數(shù)滿足題設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)不是奇素?cái)?shù)、奇素?cái)?shù)的兩倍及30.6. 由個(gè)單位方格構(gòu)成的正方形棋盤的一些小方格中停有甲蟲, 一個(gè)小方格中至多停有一只甲蟲. 某一時(shí)刻, 所有的甲蟲飛起并再次全部落在這個(gè)棋盤的方格中, 每一個(gè)小方格中仍至多停有一

7、只甲蟲. 一只甲蟲飛起前所在小方格的中心指向再次落下后所在小方格的中心的向量稱為該甲蟲的“位移向量”, 所有甲蟲的“位移向量”之和稱為“總位移向量”. 就甲蟲的個(gè)數(shù)及始、末位置的所有可能情況, 求“總位移向量”長(zhǎng)度的最大值.解答: 以棋盤中心為原點(diǎn), 平行于格線建立直角坐標(biāo)系, 將所有小方格的中心點(diǎn)記為集合, 初始時(shí)停有甲蟲的小方格中心點(diǎn)記為集合, 再次落下后停有甲蟲的小方格中心點(diǎn)記為集合, 同一甲蟲前后兩次停留的小方格給出了到的一一對(duì)應(yīng), 于是總位移向量等于. 注意到式與無關(guān), 因此只需對(duì)所有, 求式的最大值. 可不妨設(shè), 否則將同時(shí)減去它們的交集后式不改變. 由于的選取方式有限, 設(shè)對(duì)某一

8、對(duì), 取得最大值. 顯然，過作垂直于的直線.引理一: 不過中任意一點(diǎn), 且為某一側(cè)的所有中的點(diǎn)，為另一側(cè)的所有中的點(diǎn).引理一的證明: 首先, 否則由于為偶數(shù), 至少有兩個(gè)點(diǎn)不在中, 不妨設(shè)與的夾角不超過, 則, 故將加入, 加入后, 嚴(yán)格增大, 這與的最大性矛盾. 于是互為補(bǔ)集. 其次, , 如若不然, 則中都包含一對(duì)對(duì)稱點(diǎn), 即存在, 使得, . 不妨設(shè)與的夾角不超過, 則與的最大性矛盾, 故是對(duì)稱的點(diǎn)集. 不過中任意一點(diǎn)，如若不然，設(shè)過, ，則將換入, 換入后, 總位移向量為, 注意與的夾角等于，則, 矛盾. 最后我們說明，是一側(cè)的所有中的點(diǎn)（指向的那一側(cè)），是另一側(cè)的所有中的點(diǎn)如若不然，

9、在指向的一側(cè)有，另一側(cè)有，則與的夾角小于，這樣將換入，換入，變?yōu)?，長(zhǎng)度嚴(yán)格變大，與的最大性矛盾. 至此引理一獲證.引理二: 設(shè), 是過的一條直線, 且不過中點(diǎn). 在一側(cè)的所有點(diǎn)記為, 另一側(cè)的所有點(diǎn)記為, 則的最大值在水平(或垂直)時(shí)取得, 此時(shí)的方向?yàn)榇怪?或水平).引理二的證明: 的點(diǎn)落在一個(gè)正方形邊界上, 每邊上有個(gè)點(diǎn). 設(shè)該正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為, , , . 由對(duì)稱性, 不妨設(shè)過AD內(nèi)部, 且斜率非負(fù), 這樣設(shè)與AD的交點(diǎn)在AD上從上往下第個(gè)中的點(diǎn)和第個(gè)中的點(diǎn)之間. 此時(shí)算得， 其中分別表示水平和垂直單位向量. 記，則.上式作為關(guān)于的二次函數(shù), 對(duì)稱軸在處, 易知當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值, 此時(shí)，即是水平直線