立體幾何中的向量方法解析

1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法1.理解直線的方向向量與平面的法向量；2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系；3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理；4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量直線l上的向量e或與e共線的向量叫做直線l的方向向量，顯然一條直線的方向向量有無數(shù)個.(2)平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作n，此時向量n叫做平面的法向量.顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，且它們

2、是共線向量.(3)設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為u，v，則lmabakb，kR；lmaba·b0；laua·u0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvu·v0.2.空間向量與空間角的關(guān)系(1)兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則cos|cos|(其中為異面直線a，b所成的角).的取值范圍是.(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin|cos|.的取值范圍是.(3)求二面角的大小如圖甲，AB、CD是

3、二面角l的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，.如圖乙、丙，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足coscosn1，n2或cosn1，n2.的取值范圍是0，.3.空間向量與距離的關(guān)系(1)點到平面的距離如圖，設(shè)AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點B到平面的距離d.(2)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距進行求解.1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)平面的單位法向量是唯一確定的.()(3)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行.()(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的

4、角就是直線與平面所成的角.()(5)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1,1,1)B.(1，1,1)C.D.解析設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的法向量，則化簡得xyz.故選C.答案C3.若平面的一個法向量為(1,2,0)，平面的一個法向量為(2，1,0)，則平面和平面的位置關(guān)系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合解析由(1,2,0)·(2，1,0)0，可知平面平面

5、，選C.答案C4.如圖所示，若M，N分別是棱長為1的正方體ABCDABCD的棱AB，BB的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析以A為原點，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，M，C(1,1,0)，N，所以，所以cos，.答案D5.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是()A.B. C.D.解析如圖建立坐標(biāo)系.則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的法向量n(x，y，z)，則即令z1，得n(1,1,1).D1到平面

6、A1BD的距離d.故選D.答案D6.正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_.解析如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.則(2a,0,0)，(a，a,0).設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60°，直線BC與平面PAC所成的角為90°60°30°.答案30°考點一 向量法證明垂直與平行關(guān)系互動型如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰

7、直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點.求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4).(1)取AB中點為N，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，.DENC，又NC在平面ABC內(nèi)，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，·(2)×22×(2)(4)×(2)0，則，B1FE

8、F，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.(1)用向量證明平行的方法線線平行：證明兩直線的方向向量共線.線面平行：a.證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；b.證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行.面面平行：a.證明兩平面的法向量為共線向量；b.轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.(2)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐?/p>

9、定定理用向量表示.(2016·青島模擬)如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點.求證：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.證明由題意，AB，AD，AE兩兩垂直，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形邊長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，·0，.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一個法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個法向

10、量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).(1，1,1)，(1,0,0)，由n1·n1·0，得解得令x11，則n1.同理可得n2(0,1,1).n1·n20，平面MDF平面EFCD.考點二向量法求空間角共研型角度1：向量法求異面直線所成的角(2016·西安模擬)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A.B. C.D.解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，設(shè)BC2，則B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2

11、)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM與AN所成角的余弦值cos.答案C角度2：向量法求斜線與平面所成的角(2016·全國卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點.(1)證明：MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解(1)證明：由已知得AMAD2.取BP的中點T，連接AT，TN.由N為PC的中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，所以MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取B

12、C的中點E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，且AE.以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1).于是直線AN與平面PMN所成角的正弦值為|cosn，|.角度3：向量法求二面角(2016·全國卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90°，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60°.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2

13、)求二面角EBCA的余弦值.解(1)證明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)過D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60°，則DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，).由已知，ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF

14、的平面角，故CEF60°.從而可得C(2，0，).所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0).設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3,0，).設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4).所以cosn，m.故二面角EBCA的余弦值為.求空間角的向量方法(1)求異面直線所成的角利用直線的方向向量將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成向量所成的角，即若異面直線a，b的方向向量為a，b，所成的角為，則cos.(2)求斜線與平面所成的角分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(銳角或直角時)或其補角(鈍角時).通過平面的法向量來

15、求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線與平面所成的角.(3)求二面角分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.1.角度1如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角是_.解析以D為原點，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長為1，則

16、D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135°，異面直線EF和CD所成的角是45°.答案45°2.角度2(2016·江西九校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，過A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于點D.(1)求證：CDAB；(2)若四邊形BCC1B1是正方形，且A1D，求直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值.解(1)證明：連接AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點E，連接DE，則E為AC1的中點.BC1平面A1CD，平面A1CD平面ABC1DE，DEBC1，D為AB的中點.又A

17、BC為正三角形，CDAB.(2)AD2A1A25A1D2，A1AAD.又B1BBC，B1BA1A，A1ABC.又ADBCB，A1A平面ABC.設(shè)BC的中點為O，B1C1的中點為O1，連接AO，OO1，以O(shè)為原點，OB所在的直線為x軸，OO1所在的直線為y軸，OA所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A1(0,2，)，D.易得平面CBB1C1的一個法向量為n(0,0,1)，|cos，n|.故直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為.3.角度3如圖，幾何體EFABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90°.(1)

18、求證：ACFB；(2)求二面角EFBC的大小.解(1)證明：由題意得，ADDC，ADDF，且DCDFD，AD平面CDEF，ADFC，四邊形CDEF為正方形，DCFC.DCADD，F(xiàn)C平面ABCD，F(xiàn)CAC.又四邊形ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，則有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)由(1)知AD，DC，DE所在直線相互垂直，故以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得D(0,0,0)，F(xiàn)(0,2,2)，B(2,4,0)，E(0,0,2)，C(0,2,0)，A(2,0

19、,0)，(0,2,0)，(2,2，2)，設(shè)平面EFB的法向量為n(x，y，z)，則有令z1，則n(1,0,1)，由(1)知平面FCB的一個法向量為(2,2,0)，設(shè)二面角EFBC的大小為，由圖知，cos|cosn，|，.考點三向量法求距離自練型(1)在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為()A.B.a C.D.a(2)在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90°，PAABBC2，AD1，則點D到平面PBC的距離是_.解析(1)根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.Pxyz，則P(0,0,0)

20、，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a).過點P作PH平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離.PAPBPC，H為ABC的外心.又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得H點的坐標(biāo)為.PHa.點P到平面ABC的距離為a.(2)分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0).設(shè)n(x，y，z)為平面PBC的法向量，則即取x1，則n(1,0,1).又(2,1,0)，點D到平面PBC的距離為.答案(1)B(2)空

21、間距離的求法(1)兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模.(2)求點P到平面的距離，先在平面內(nèi)取一點A，確定向量的坐標(biāo)，再確定平面的法向量n，最后代入公式d求解.方法技巧易錯點睛1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.2.用向量來求空間角，都需將各類角轉(zhuǎn)化成對應(yīng)向量的夾角來計算，問題的關(guān)鍵在于確定對應(yīng)的向量.3.建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系，在沒有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個合理的位置

22、建立空間直角坐標(biāo)系.利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面，的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補.課題43：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系名師導(dǎo)學(xué)：利用向量方法解決立體幾何問題的前提是恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，關(guān)鍵是確定明確的線線垂直關(guān)系，即“墻角”模型，另外，坐標(biāo)系建立的是否合適，直接影響計算的速度與結(jié)果.(2016·云南畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一測試)如圖，在三棱錐ABCD中，CDBD，ABAD，E為BC的中點.(1)求證：AEBD；(2)設(shè)平面ABD平面BCD，ADCD2，BC4，求二面角BACD的平面角的正

23、弦值.切入點取BD的中點O，通過證明OE、OD、OA兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系.關(guān)鍵點先進行幾何關(guān)系的證明，具備建系條件時才能建系.解(1)證明：設(shè)BD的中點為O，連接AO，EO.ABAD，AOBD.又E為BC的中點，EOCD.CDBD，EOBD.OAOEO，BD平面AOE.又AE平面AOE，AEBD.(2)由(1)知，AOBD，EOBD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD.EO平面BCD，AOEO，OE，OD，OA兩兩互相垂直.CDBD，BC4，CD2，BD2.由O為BD的中點，AOBD，AD2，得BOOD，OA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則O(0,0,