導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)題及答案

1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)題答案1 .下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數(shù)值(1)f (x) 2x2 x 31,1.52,2; f(x) x ,3-x0,3；x2(4)f(x) ex11,1解：(1)f(x) 2x2 x1,1.5該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f (x)4x 1,在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且f( 1) 0, f(1.5)0,滿足羅爾定理，至少有一點使f ( ) 41 0,解出(1,1.5),1o42,2該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)為f(x)2x72T2(1 x )1 一 一,在開區(qū)間上可導(dǎo)， 而且f( 2) - , f (2)5滿足羅爾定理，至少有一點(2

2、,2),一2一使f ( ) k0 ,解出(12)20。解：(3)f(x) x . 3 x0,3該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為(x)_x ,在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且 f (0)2、x 30,f (3) 0,滿足羅爾定理，至少有一點(0,3),使 f ( )- 32.2。2解：(4)f(x) ex 11,1該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)為f(x) 2xex ,在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且f( 1) e 1, f (1) e 1,滿足羅爾定理，至少有一點，使 f ()0。2 .下列函數(shù)在給定區(qū)域上是否滿足拉格朗日定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數(shù)值(1)f(x) x30,a (a 0)；(2) f

3、(x) In x 1,2；3 3) f (x) x3 5x2 x 2 1,0該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f (x) 3x2 ,在開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點(0, a)，使 f (a)f(0) f ( )(a 0),即 a3 0 3 2(a 0),解出a3解：(2)f(x) Inx 1,2該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為11，_ ,f (x),即在開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，至少有 x一點一 r1(1,2),使 f(2)f(1) f ( )(2 1),即 ln2 ln1 1 (2 1),解出1ln2解：(3)f(x) x3 5x2 x 21,0該函數(shù)在給定閉區(qū)

4、間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為5 .433f (x) 3x2 10x 1,即在開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點 (1,0)，使 f (0) f( 1) f ( )(0 1),即 2 ( 9) (3 2 101)(0 1),解出3.不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f(x) (x 1)(x 2)(x答案：有三個本艮分別在 (1,2),(2,3),(3,4)3)(x 4)的導(dǎo)數(shù)有幾個實根及根所在的范圍。2x2 x成立且 F (x)21 x2212(1 x2) 2x 2x1 (1)1 x21 x221 x24證明：當(dāng)x 1時，恒等式2arctan x arcsin -12x證：設(shè) F (x) 2arctan x

5、arcsin彳1 x2當(dāng)x 1時，F(xiàn)(x)連續(xù)，當(dāng)x 1時，F(xiàn)(x)可導(dǎo)即當(dāng) x 1 時，F(xiàn)(x) C,即 F(x) F(1) 2 -4 22x故當(dāng) x 1 時， 2arctan x arcsin21 x25設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f (0) 0,證明在(0,1)內(nèi)存在一點c,使 cf (c) 2f (c) f (c).F(1)證明：令F(x) (x 1)2f(x),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且因f (0) 0,則F(0) 0即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條彳%則至少存在c (0,1)使F(c) 0又 F(x) 2(x 1)f (x) (x 1)

6、2f(x),即 2(c 1)f (c) (c 1)2f (c) 0而 c (0,1),得 cf(c) 2f (c) f (c)6.已知函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0) 1,f(1) 0 ,證明在(0,1)內(nèi)至少存在一點使得f ()f()證明：令F(x) xf(x),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0) 0 F(1)即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條件，則至少存在(0,1)使尸()0又 F(x) f (x) xf(x),即 f() f ( ) 0,故 f()工).7 .證明不等式：sin x2 sin x,x2 x,證明：設(shè)函數(shù) f (x) si

7、nx ,x1,x2 R,不妨設(shè)x x2,該函數(shù)在區(qū)間x，x2上連續(xù)，在(x，x2)上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理有f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1)，(x1x2)即 sinx2 sin x1cos (x2 x1),1,所以有 sin x2 sin x1x2x1故 sinx2 sinx cos (x2 x1),由于 cos8 .證明不等式：nbn 1 (a b) an bn nan 1 (a b) (n 1,a b 0)證明：設(shè)函數(shù)f (x) xn,在b, a上連續(xù)，在(b, a)內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，故n nn 1n 1 n 1 n 1a b n (a b),其中 0 ba,

8、因此 ba有 nbn 1(a b) n n 1(a b) nan 1(a b)所以 nbn 1(a b) an bn nan 1(a b)9 .利用洛必達(dá)法則求下列極限:(1)limx 0limx 1ln xx 1解:ln x limx 1 x 11lim x 1x 1 1則32x 3x 2lim13x22x 1(4) limx _ 2tanx解:limx _2tanxlimx _2x 一212- cos xlimx _n x lim - axx e(a0,n為正整數(shù))解:limxn xax elimxn 1 nxax elimxn!ax e2cos xlimx _22cosx ( sin x

9、)(6) lim xx 0mln(m0)；解：lim xx 0ln xlimIn xlimx 0xm mxlimx 0解：lim(”)e 1xm0x(ex 1)lim 一 x 0 exexm0x xexm01顧(1 sin x)x ;1解：lim(1 sin x)xlim(11 sin x)s1nxsin x(9) lim xsinxx 0sin x斛：lim xx 0elim：0sin xln xln x lim _10 sin xlimex 01xsin 2 x cosxlimx 0sin2xx cosxexsin x sin x lim0 x cosxln(1kx)10.設(shè)函數(shù)f (x)

10、解：由于函數(shù)在limx 0ln(1 kx),若f (x)在點x 0處可導(dǎo)，求k與f (0)的值。0處可導(dǎo),kx lim 一 x 0 x因此函數(shù)在該點連續(xù)，由連續(xù)的概念有k f (0)1 ,即 k 11 cosx2x11.設(shè)函數(shù)f(x) k11一x x e 1解：函數(shù)連續(xù)定義,lim f (x)x 0limx 0(1xlimx 0ex 1 xx(ex 1)limx 0xe 1xxe 1 xelimx 0xxelim x 0 2 x按導(dǎo)數(shù)定義有l(wèi)n(1 x) 1_X 1f (x) f (0)xln(1 x) x 1 x1f (0) lim - lim x lim2-lim1xlimx 0 x 0

11、x 0 x x 0 x x 0 2x x 0 2(1 x)x 0x 0 ,當(dāng)k為何值時，f (x)在點x 0處連續(xù)。x 0lim f (x) lim f (x) f (0), x 0x 01 cosx 11lim f (x) lim 2 一，而 f (0) k lim f (x) 一;x 0x 0 x2x02i. 1.即當(dāng)k 時，函數(shù)f (x)在x 0點連續(xù)。212.求下列函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間:，一一 2 一(1)y 3x6x 5；解：y 6x 6 0,有駐點x 1 ,由于當(dāng)x 1時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)減少;由于當(dāng)x 1時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)增加; y x4 2x2 2；解：y 4x3 4x

12、 4x(x2 1),令 y 0 ,有 x 0,x 1,x1 ,當(dāng)x 1時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)較少；當(dāng) 1 x 0時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0 x 1時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)較少；當(dāng) x 1時，y 0 ,此時函數(shù)單調(diào)增加2 x y :； 1 x2 c2解：y 2x(1 x)2x 2x x2 ,令y 0,有x 0,x2,此外有原函數(shù)知 x 1,(1 x) (1 x)當(dāng)x 2時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng) 2 x 1時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)減少;當(dāng)1 x 0時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng) x 0時，y 0,此時函數(shù)單調(diào)增加；13.證明函數(shù)y x ln(1 x2)單調(diào)增加。證明:y 14少

13、。,等號僅在x 1成立，所以函數(shù)y x ln(12x)在定義區(qū)間上為單調(diào)增加。14.證明函數(shù)y解：y cosx等號僅在孤立點sin x0,2n15.證明不等式:2、x證明:設(shè) f(x)2.xx單調(diào)減少。(n 0, 1, 2L L )成立,所以函數(shù)y sin xx在定義域內(nèi)為單調(diào)減少。1時，fx 1時,(x) 0,f (x)所以對一切x0,且16.證明：當(dāng)x0時,解：設(shè)f(x) exf (x)所以0,ex所以0, f (x)x 0,exx0,e17.證明：當(dāng)解：設(shè)f(x)x.0時,f (x)所以x3 1 (x 0,x x函數(shù)單調(diào)增加，因此1)f(1)f(x) f(1) 0;0 ,函數(shù)單調(diào)減少，因

14、此 f (x)1 ,都有 f (x) 0 ,即 26f(1)3 - x0;(x0, ff(x)ln(1 x)1(1 x)20, f(x)f(0)(x) 0，所以ln(1 x)x2 ,(1 x)f (x)，所以x0, f(x) f(0)當(dāng) x 0, f (x)0, f(x)f(0)f(x)0,即x 0 , ln(1 x)18.證明方程x33x 10在(0,1)內(nèi)只有一個實根。證明：令f (x)x3 3x1, f (x)在0,1上連續(xù)，且 f (0) 1,f (1)由零點定理存在0,x1,1)(0,1),使f() 0,所以 是方程x3 3x 1 0在(0,1)內(nèi)的一個根。又因為 f (x) 3x2

15、 3 3(x2 1),當(dāng) x (0,1)時 f(x)0 ,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng) x 時，f(x) f ( ) 0 ,當(dāng) x 時，f (x) f()0 ,所以在(0,1)內(nèi)只有一個實根或用羅爾定理證明只有一個實根19.求下列函數(shù)的極值:(1)y x3 3x2 7；解：y 3x2 6x 3x(x 2),令 y 3x2 6x 3x(x2) 0,解出駐點為x 0;x 2,函數(shù)在定義(,0)(0, 2)2(2,)f (x)一一0f(x)單調(diào)增加極大7單調(diào)減小極小3單調(diào)增加域內(nèi)的單調(diào)性與極值見圖表所示:x(2)y2x1 x2 2(1 x)(12x)(1 x )x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)極小極大

16、f(x)單調(diào)減小1單調(diào)增加1單調(diào)減少解：y,駐點為x 1,x1,函數(shù)的單調(diào)性與極值見表(3)y解：yxe x(2x),駐點為二階導(dǎo)數(shù)為y ex / 2(x 4x2),顯然 y (0) 2, y (2)4函數(shù)在x0點取極小值0,在x 2處取極大值2 ex3(x 2)2；2 一， 一 一 ，一 x(,2)2(2,)f (x)不存在f(x)單調(diào)增加極大3單調(diào)減少解：y一2一1,函數(shù)在x 2處不可導(dǎo)，以此點為界劃分區(qū)間并給出函數(shù)單調(diào)性與極值。x3(x 2)3(5)y (x 1)3x2；示。5x 22解：函數(shù)導(dǎo)數(shù)為 y ,解出駐點為x -,不可導(dǎo)點為x 0,函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性見表格所 c 353x3

17、x(,0)0(0,1)_5 _25另)f (x)不存在0f(x)單調(diào)增加極大0單調(diào)減少極小 20 25單調(diào)增加(6)y3 x解：y(x 1)22 /x (x 3 ,駐點為x 0,x 3,不可導(dǎo)點為x 1 ,劃分區(qū)間并判斷增減性與極值 (x 1)x(,0)0(0,1)(1,3)3(3,)f (x)00f(x)單調(diào)增加無極 值單調(diào)增加單調(diào)減少極小27單調(diào)增加20 .設(shè)y ln(1 x2),求函數(shù)的極值，曲線的拐點。 2x解：y 5 0 ,解出 x 0, x 0, y 0 , y1 x22(1 x2),a2、2(1 x )x 0, y 0 , y ,極小值 f (0) 0x(,1)1(1,1)1(1

18、,)y0+0y凸ln2凹ln2凸0,解出x1,拐點(1,ln2), ( 1,ln2)21 .利用二階導(dǎo)數(shù)，判斷下列函數(shù)的極值： _ 2_(1)y (x 3) (x 2);解：y (3x 7)(x 3), y 2(3x 8),駐點：x x 3,3八一，7 4y 72 0,因此在x 一點函數(shù)取極大值一；x 3327y|x 3 2 0,因此在x 3點函數(shù)取極小值0； y 2ex e x解：y 竺，y 2ex ex,駐點為x , e2由于y x %2 2yli 0,因此在x旭處函數(shù)取得極小值 2及。x. in 222.曲線 y ax3bx2cxd過原點，在點(1,1)處有水平切線，且點(1,1)是該曲

19、線的拐點，求 a,b,c,d解：因為曲線y3 axbx2cxd過原點，有d 0,在點(1,1)處有水平切線， 點(1,1)是該曲線的拐點， 又因為點(1,1)在曲線上, 聯(lián)立方程組解出a 1,b(x)b3,c3a 2b c6ax 2b,c d 1 3,d 00, f (1) 6a2b0,23.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值:4_2_ _(1)y x 2x 5 2,2；解：y 4x3 4x 4x(x 1)(x 1),令 y0,x 1,x1 ,計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數(shù)值為比較上述函數(shù)值，知最大值為y( 2) y(2)y( 2) 13;13, y(1)4, y(0) 5, y(1)

20、 4, y(2) 13,最小值為y( 1) y(1) 4。 y ln(x2 1)1,2;y( 1)2x-2，x 1ln 2, y(0)0,y(2)ln5，比較上述函數(shù)值,計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數(shù)值為知最大值為y(2) ln5；最小值為y(0) 0(3)y12,1；解：y(x2)x(x 1)2令y 0 ,得駐點為x 0, x2，計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數(shù)值為y( 2)4,y(0)知最大值為y(1 110,y( -) -,y(1)一,比較上述函數(shù)值,2 221y(1)；最小值為y(0) 0。2 y x G 0,4解：y0,函數(shù)單調(diào)增加，計算端點處函數(shù)值為y(0) 0, y(4)

21、6,知最大值為y(4) 6 ;最小值為y(0) 024.已知函數(shù)f (x) ax3 6ax2 b (a 0),在區(qū)間1,2上的最大值為3,最小值為 29,求a,b的值。解：f (x) 3ax2 12ax，令 f (x) 3ax2 12ax 3ax(x 4) 0,解出駐點為 x 0,x 4(舍),且 f ( 1) b 7a , f (0) b, f (2) b 16a因為 a 0,所以 f (0) f( 1) f(2)故f(0) b 3為最大值，f(2) b 16a為最小值，即f (2) b 16a29 ,解出a 2。25 .欲做一個底為正方形，容積為108m3的長方體開口容器，怎樣做所用材料最

22、省?解：設(shè)底面正方形的邊長為 x ,高為h ,則表面積為S x2 4xh , 2V又體積為V x2h ,有h二 x2x6, h 3小 c 2 4V2 432dS得S x x , xxdx即取底面邊長為6,高為3時，做成的容器表面積最大。26 .欲用圍墻圍成面積為 216m2的一塊矩形土地，并在正中間一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬 選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最??？解：所用的建筑材料為 L 3x 2y,其中面積xy 216,因此有L3x432xdL432 30,解出x 12,即當(dāng)取寬為x 12米，長為ydxx18米時所用建筑材料最省。27 .某廠生產(chǎn)某種商品，其年銷量為100萬件，

23、每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件的庫存費(fèi)為 0.05元,如果年銷售率是均勻的，且上批銷售完成后，立即再生產(chǎn)下一批(此時商品庫存數(shù)為批量的一半)，問應(yīng)分幾批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫存費(fèi)之和最?。拷猓涸O(shè)100萬件分x批生產(chǎn)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫存費(fèi)之和為y ,則1 000 000y 1000x 0.05 1000x2x25 000y 1000 2 0 ，解出 x 5,x25 000x問5批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫存費(fèi)之和最小。28 .確定下列曲線的凹向與拐點：23(1)y x x ；21斛：y 2x 3x , y 2 6x,令 y 0,x -3 y ln(1x2)；x13)1310)f (x)0f

24、(x)凹227小凸解：y-2xr,y2 2x2 , 令 y 0,x11 x (1 x )x(,1)1_(1,1)1(1,)f (x)00f(x)凸ln2拐點凹ln2拐點凸111K解：y x 3, y3 y x3；(4)y2x1 x22人一 -1-, 令y不存在點,x 035. xx(,0)0(0,)f (x)不存在f(x)凹0拐點凸_ 22_解：y2 2x4x(x3)7L2T2，y2 3(1 x )(1 x )(5)y xex；解：yex(1+x), yex(2+x),令 y 0, x= 2令 y 0,x 0, x .3x(,拈也(石0)0（0,五）(G)f (x)000f(x)凸百 2 拐點

25、凹0拐點凸員 2 拐點凹x(,2)2(2,)f (x)0f(x)凸22 e拐點凹解：y e x, y e x 0,所以y e x在(，)內(nèi)是凹的，無拐點。29.某化工廠日產(chǎn)能力最高為 1000噸，每天的生產(chǎn)總成本 C (單位：元)是日產(chǎn)量 x (單位：噸)的函數(shù):C C(x) 1000 7x 50、&x 0,1000(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本；(2)求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時的平均單位成本。2525解：(1)邊際成本 C (x) 7 -5, C (100) 7 9.5 、.x105022C(x) 100050C(100) 1000(2)平均單位成本 AC(x) (-)7AC(100)1

26、0x x. x100100130.生廣x單位某廣品的總成本 C為x的函數(shù)：C C(x) 1100 x2,求(1)生產(chǎn)900單位時的總1200成本和平均單位成本；(2)生產(chǎn)900單位到1000單位時的總成本的平均變化率；(3)生產(chǎn)900單位和1000 單位時的邊際成本。12解：(1) C(900) 1100 9002 1775,1200C(900)1775 197900900(2) C(1000) C(900) 1 581000 900(3)邊際成本為C (x)旦， 600-900-1000C (900)1.5, C (1000)1.67600600231.設(shè)生廣x單位某廣品，總收由 R為x的函

27、數(shù)：R R(x) 200x 0.01x ,求：生廣50單位廣品時的 總收益、平均收益和邊際收益。解：總收益 R(50) 200 50 0.01 2500 9975 ,平均U益 Rx) 200 0.01x , x邊際U益 R (x) 200 0.02x ,R(50)32.生產(chǎn)x單位某種商品的利潤是x的函數(shù)：L(x) 5000 x 0.00001 x2,問生產(chǎn)多少單位時獲得的利潤最大？解：L (x) 1 0.000 02x=0,解出 x 50 000所以生產(chǎn)50 000個單位時，獲得的利潤最大？33.某廠每批生產(chǎn)某種商品 x單位的費(fèi)用為C(x) 5x 200,得到的收益是 R(x) 10x 0.0

28、1x2,問每批 生產(chǎn)多少單位時才能使利潤最大?2解：L(x) R(x) C(x) 5x 0.01x200,令 L (x) 5 0.02x=0 ,解出 x 250所以每批生產(chǎn)250個單位時才能使利潤最大。34.某商品的價格P與需求量、平均Q的關(guān)系為P 10 Q,求(1)求需求量為20及30時的總收益R5收益R及邊際收益R ; (2)Q為多少時總收益最大?解：總收益函數(shù)R(Q)QPQ (10 q)Q=10Q5Q25平均收益函數(shù)R(Q) R 10 Q, Q5邊際收益函數(shù)- 2QR(Q)=10 一,5(1) R(20)R(20)400900200 = 120,R(30) 300 二 120,55典 1

29、0 型二6,R(30) R3s 10 30=4, 2053054060R (20)=10=2,R (30)=10 = 2,55(2) R(Q)=1035.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,2Q 一八 =0,解出Q=25時總收益最大。5日總成本為C元，其中固定成本為200元，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10元。該商品的需求函數(shù)為 Q 50 2P ,求Q為多少時，工廠日總利潤 L最大?解：成本函數(shù) C C(Q) 200 10Q ,50 QQ2L(Q) PQ C(Q) Q (200 10Q) 15Q - 200,22令 L (Q) 15 Q=0,解得 Q=15, 所以Q=15 ,總利潤L最大。高二數(shù)學(xué)(文)選修1-1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用回扣練習(xí)一、選擇題1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(,11A、(x-)1xx(log 2 x)四1x In 2Cn (x2 cosx) = - 2xsin x(3x)四 3x log 3 e22、已知函數(shù)f (x)=ax+c,且f=2,則a的值為()A. 0 B .般 C .1 D . 13 .函數(shù)y= x3+ x的遞增區(qū)間是()A. (0,) B. (,1)C .(,) D.(1,)4 . (2009年