立體幾何專題講義

1、立體幾何專題講義一、考點(diǎn)分析基本圖形1棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。四棱柱 底面為平行四邊形 平行六面體 側(cè)棱垂直于底面 直平行六面體 底面為矩形 長(zhǎng)方體 底面為正方形 正四棱柱 側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等 正方體2. 棱錐棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3球球的性質(zhì)：球心與截面圓心的連線垂直于截面；（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）球與多面體的

2、組合體：球與正四面體，球與長(zhǎng)方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.注：球的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題解決.球面積、體積公式：（其中R為球的半徑）平行垂直基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)平行關(guān)系平面幾何知識(shí)線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系平面幾何知識(shí)線線垂直線面垂直面面垂直判定性質(zhì)判定推論性質(zhì)判定判定性質(zhì)判定面面垂直定義1.2.3.4.5.平行與垂直關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化異面直線所成的角，線面角，二面角的求法1求異面直線所成的角：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時(shí)平移至某一特殊位置。常用中位線平移法 二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或

3、其補(bǔ)角）。常需要證明線線平行；三計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出異面直線所成的角；2求直線與平面所成的角：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理的應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補(bǔ)角）（常需證明線面垂直）；三計(jì)算：常通過(guò)解直角三角形，求出線面角。3求二面角的平面角解題步驟：一找：根據(jù)二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角； 二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）； 三計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出二面角的平面角。二、典型例題考點(diǎn)一：三視圖2 2 側(cè)(左)視圖 2 2 2 正(

4、主)視圖 1一空間幾何體的三視圖如圖1所示,則該幾何體的體積為_(kāi).俯視圖 第1題2.若某空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積是_.第2題 第3題3一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，則這個(gè)幾何體的體積為 .4若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖4所示，則此幾何體的體積是 .3正視圖俯視圖112左視圖a 第4題 第5題5如圖5是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則 .6已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖6，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是 .2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖 第6題 第7題7.若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 8.設(shè)某幾何體的

5、三視圖如圖8（尺寸的長(zhǎng)度單位為m），則該幾何體的體積為_(kāi)m3。 俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322第7題 第8題9一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為_(kāi).圖910.一個(gè)三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖10所示（單位cm），則該三棱柱的表面積為_(kāi).俯視圖正視圖 圖1011. 如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為_(kāi).圖圖11 圖12 圖1312. 如圖12，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓，那么

6、幾何體的側(cè)面積為_(kāi). 13.已知某幾何體的俯視圖是如圖13所示的邊長(zhǎng)為的正方形，主視圖與左視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，則其表面積是_.14.如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖14所示(單位長(zhǎng)度: ), 則此幾何體的表面積是_.圖1415一個(gè)棱錐的三視圖如圖圖9-3-7，則該棱錐的全面積（單位：）_. 正視圖 左視圖 俯視圖圖1516圖16是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是_.俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322圖16 圖1717.如圖17，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為_(kāi).18.若一個(gè)底面為正三角

7、形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如圖9-3-14所示，則這個(gè)棱柱的體積為_(kāi).圖18考點(diǎn)二 體積、表面積、距離、角注：體積表面積 異面直線所成角 線面角1. 將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了_.2. 在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與此正四面體的表面積的比值為_(kāi).3設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么它的體積為_(kāi).4正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小原來(lái)的，則它的體積是原來(lái)的_.5已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面周長(zhǎng)為6，則它的體積是 .6.平行六面體的體積為30，則四面體的體積等于 .7如圖7，在正方體中，分別是，中點(diǎn)，求異面直線與所成角

8、的角_.8. 如圖8所示，已知正四棱錐SABCD側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為_(kāi). 第8題 第7題9.正方體中,異面直線和所成的角的度數(shù)是_.10如圖9-1-3，在長(zhǎng)方體中，已知，則異面直線與所成的角是_，異面直線與所成的角的度數(shù)是_ 圖13 11. 如圖9-1-4，在空間四邊形中， ,分別是AB、CD的中點(diǎn)，則 與所成角的大小為_(kāi).12. 正方體中，與平面所成的角為 .13如圖13在正三棱柱中，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi).14. 如圖9-3-6，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為_(kāi).A1CBAB1C1

9、D1DO 圖9-3-6 圖9-3-1 圖715如圖9-3-1，已知為等腰直角三角形,為空間一點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，則與平面所成的角為 16如圖7，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AB C1D1的距離為_(kāi).17.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是_.18長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=， ，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是_.19.已知點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若，則兩點(diǎn)間的球面距離是 .20. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，

10、則直線OP與直線AM所成的角是_.21ABC的頂點(diǎn)B在平面a內(nèi)， A、C在a的同一側(cè)，AB、BC與a所成的角分別是30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，則AC與a所成的角為_(kāi).22矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為_(kāi).23已知點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若，則兩點(diǎn)間的球面距離是 .24正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為23，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為_(kāi) .25.已知是球表面上的點(diǎn)，則球表面積等于_.26已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi).27.

11、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為_(kāi).考點(diǎn)四 平行與垂直的證明1. 正方體，E為棱的中點(diǎn)() 求證：；() 求證：平面；（）求三棱錐的體積2.已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：() C1O面；(2)面3如圖，矩形所在平面，、分別是和的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求證：；（）若，求證：平面.4. 如圖（1），ABCD為非直角梯形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為上下底AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且?，F(xiàn)將梯形AEFD沿EF折起，得到圖（2）（1）若折起后形成的空間圖形滿足，求證：；EBCFDA圖（2）（2）若折起后形成的空間圖形滿足四點(diǎn)共面，求證：平面；ABCDEF圖（1）AFEBCDMN5如

12、圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I) 證明平面AMD平面CDE；(II) 證明平面CDE；6在四棱錐PABCD中,側(cè)面PCD是正三角形,PDABCOM且與底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中ADC60°,M是PA的中點(diǎn)，O是DC中點(diǎn).（1）求證：OM / 平面PCB；（2）求證:PACD；（3）求證:平面PAB平面COM.7如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.（1）證明PA/平面EDB；（2

13、）證明PB平面EFD8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BB1，DD1上，且AEA1B，AFA1D(1)求證：A1C面AEF；(2)求二面角A-EF-B的大?。?3)點(diǎn)B1到面AEF的距離.考點(diǎn)五 異面直線所成的角，線面角，二面角1. 如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求證：（1）平面PAC平面PBD；（2） 求PC與平面PBD所成的角；2.如圖所示，已知正四棱錐SABCD側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為 _.3 正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面邊長(zhǎng)為1，

14、側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是_.4. 若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2cm，體積為4cm3，則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是_.5. 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，平面ABCD，且PAAB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面AEC；（3）若，求三棱錐EACD的體積；（4）求二面角EACD的大小. 考點(diǎn)六 線面、面面關(guān)系判斷題1已知直線l、m、平面、，且l，m，給出下列四個(gè)命題：（1），則lm（2）若lm，則（3）若，則lm（4）若lm，則其中正確的是_.2. 是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個(gè)命題： 其中真命題的編號(hào)是_（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）。3. 為一條直線，為三個(gè)互不重合的平面，給出下面三個(gè)命題：；其中正確的命題有_.4. 對(duì)于平面和共面的直線、 (1)若則(2)若則(3)若則