幾個基本的函數(shù)圖像

1、幾個基本的函數(shù)圖像幾個基本的函數(shù)圖像 積累初等函數(shù)圖像的積累初等函數(shù)圖像的有關(guān)信息，應(yīng)用此知識所有關(guān)信息，應(yīng)用此知識所具備的知識特性回答一些具備的知識特性回答一些初等數(shù)學的命題的邏輯性初等數(shù)學的命題的邏輯性的正確性問題的正確性問題. 的圖象函數(shù)2.2xxf 的圖象函數(shù)xxf.1 的圖象函數(shù)3.3xxf 的圖象即函數(shù)xxfxxf1.41 的圖象即函數(shù)xxfxxf21.5xyoxyoxyoxyoxyoxyo 的圖象函數(shù)xxf.6 的圖象函數(shù)xxf.1xyo .71,.6,.5.4.30,0.2.1、三象限函數(shù)圖象的位置在第一的冪函數(shù)；當函數(shù)屬于上的增函數(shù)；函數(shù)是函數(shù)是正比例函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；的直

2、線函數(shù)圖象過點；定義域為的固有性質(zhì)：函數(shù)nxyRxxfn 的圖象函數(shù)2.2xxfxyo .5,00,.4.30,0.2.12、二象限函數(shù)圖象的位置在第一單調(diào)遞增的函數(shù)；上是在區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間；軸對稱圖象關(guān)于，函數(shù)是偶函數(shù)；的拋物線函數(shù)圖象過點；定義域為的固有性質(zhì)：函數(shù)yRxxf .000,00,3.6.5,.4.30,0.2.123處沒有極值處沒有極值，在，在處的導數(shù)等于處的導數(shù)等于在在有有函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的導數(shù)；、三象限、三象限函數(shù)圖象的位置在第一函數(shù)圖象的位置在第一上是單調(diào)遞增的函數(shù)；上是單調(diào)遞增的函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間；稱稱，圖象關(guān)于原點中心對，圖象關(guān)于原點中心對函數(shù)

3、是奇函數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)；的拋物線的拋物線函數(shù)圖象過點函數(shù)圖象過點；定義域為定義域為的固有性質(zhì)：的固有性質(zhì)：函數(shù)函數(shù)xxfxxfRxxf 的圖象函數(shù)3.3xxfyox .5,00,.4.320,0.20.11、三象限、三象限函數(shù)圖象的位置在第一函數(shù)圖象的位置在第一單調(diào)遞減的函數(shù)；單調(diào)遞減的函數(shù)；上是上是，函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間；稱稱，圖象關(guān)于原點中心對，圖象關(guān)于原點中心對函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)；離心率為離心率為，軸軸軸和軸和的雙曲線，漸近線是的雙曲線，漸近線是函數(shù)圖象不過點函數(shù)圖象不過點；定義域為定義域為的固有性質(zhì)：的固有性質(zhì)：函數(shù)函數(shù)eyxxxxxf 的圖象即函數(shù)xxfxxf1.41xyo362

4、 bka 0a0b0k263akb 00 xxkyy00 xx00 yy0yy 0 xx 311xy1y3x0k可知有可知有31131332xxxxxy311xy27127225xxxxxy1821822126xxxxxy411241182423xxxxxy4112xy182xy271xy00 xxkyyaxcbxy等價于0k ,00 xx0,x,0 x ,00 xx,0 x0,x0k0k有關(guān)的函數(shù)，定義域為函數(shù)在區(qū)間當時，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間00 xxkyy上單調(diào)遞減；當時，上單調(diào)遞增.注：不能說函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù).函數(shù)的值域為 .,000yyyyy即即.

5、例題：求函數(shù) 32xxxf的定義域和值域.解：函數(shù) 32xxxf即函數(shù)32xxy31131332xxxxxy311xy函數(shù)的定義域函數(shù)的值域3xRx1yRy如圖所示函數(shù)圖象的對稱中心為M（3，1）. ；拋物線的焦點坐標，正半軸上焦點在即函數(shù)上是單調(diào)遞增的函數(shù)函數(shù)在區(qū)間；，圖象僅在第一象限函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；軸上方的半個拋物線是，即函數(shù)圖象過點；定義域為的固有性質(zhì)：函數(shù)0,4120.5.,0.4.300,0.2,0.1222Fxpxyxyyxxyyxxf 的圖象即函數(shù)xxfxxf21.5xyo0,41,41221,122,022FPPPpxyxyy， .000.6;.5,00,.40,.30,0

6、.2,.1minfyxaaxyyxRxxf但是有處的導數(shù)不存在，函數(shù)在、二象限函數(shù)圖象的位置在第一上是單調(diào)遞增的函數(shù)；在區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間；是偶函數(shù)，則有若函數(shù)軸對稱，圖象關(guān)于函數(shù)是偶函數(shù)；的折線函數(shù)圖象過點；即，定義域為的固有性質(zhì)：函數(shù)xyo 的圖象函數(shù)xxf.6 .7導數(shù)值不存在的圖象在尖的地方函數(shù)xfy .008數(shù)不一定等于函數(shù)有極值是其導函數(shù)不一定有極值；，的導數(shù)等于函數(shù)xfy xyo 在第一象限內(nèi)的圖象冪函數(shù)nxxf.72x3x1x21x0 x1x 一、三象限；是奇函數(shù)圖象在第冪函數(shù)一、二象限；是偶函數(shù)圖象在第冪函數(shù)nnxxfiixxfi 象限；的函數(shù)圖象不經(jīng)過第四冪

7、函數(shù)nxxfiii .的增大趨勢中函數(shù)nxxfn11xyo 在第一象限內(nèi)的圖象冪函數(shù)nxxf.72x3x1x21x0 x1x .000000 xxnnnxxfvn時函數(shù)定義域當上是減函數(shù)；，時在區(qū)間當上是增函數(shù)；，時在區(qū)間當冪函數(shù) ；恒過定點函數(shù)1,1nxxfiv .的增大趨勢中函數(shù)nxxfn11冪函數(shù)的概念及性質(zhì)冪函數(shù)：形如 nxxf的函數(shù)（n為實數(shù)）稱為冪函數(shù).冪函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）.冪函數(shù)的圖象一定過定點（1，1），定義域、奇偶性由n的值而確定，分式中的分母不等于零，偶次方根的被開方式不小于零；（2）.冪函數(shù)在第一象限的圖象可顯示出它的主要性質(zhì).當n0時，函數(shù)圖象過點（0，0)和（1

8、，1），在區(qū)間, 0為單調(diào)遞增的函數(shù)；當n0時，函數(shù)的圖象不過點（0，0），, 0過（1，1），在區(qū)間為單調(diào)遞減的函數(shù)；（冪函數(shù)的自變量x在底數(shù)的位置上）冪函數(shù)的概念及性質(zhì) nxxfnxy , 0 , 00 ,0 xRx, 01.冪函數(shù)的函數(shù)圖象一定可有函數(shù)圖象在第一象限是上升的，函數(shù)在區(qū)間3.當n0時，函數(shù)的定義域為即可有函數(shù)圖象在第一象限是下降的，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)；2.當n0時，函數(shù)的定義域為全體實數(shù)集R；即區(qū)間（1，1）；過定點,上是單調(diào)遞增的函數(shù)；4.對于實數(shù)n的不同，在同一坐標系中，可以得到n的增大與每個冪函數(shù)圖象的相對位置的關(guān)系.xyo .10,.8的圖象在第一、二象限

9、的圖象在第一、二象限且且指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)aaaxfxx3x2x21x1x2 .的增大趨勢的增大趨勢中中函數(shù)函數(shù)aaxfxx21x31x311 ；，的的函函數(shù)數(shù)圖圖象象恒恒過過點點且且指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)象象限限；的的函函數(shù)數(shù)圖圖象象在在第第一一、二二且且指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)恒恒成成立立，有有恒恒成成立立即即有有，的的值值域域是是函函數(shù)數(shù)；即即有有，是是的的定定義義域域且且函函數(shù)數(shù)1010,10,;00,0;10,aaaxfivaaaxfiiiayaxfiiRxaaaxfixxxxx 上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；，時函數(shù)在時函數(shù)在當當上是減函數(shù)；上是減函數(shù)；，在在時函數(shù)時函數(shù)當當?shù)暮瘮?shù)的函數(shù)函數(shù)函數(shù)-110

10、1, 0,aaaaaxfvx（1）.函數(shù)的定義域為 值域為, 00yRy即函數(shù)圖象在x軸的上方，圖象和x軸一定不相交，圖象過第一、二象限；（2）.函數(shù)圖象一定過定點（0，1）; 時，當1.3a函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)在即區(qū)間,上是增函數(shù). （自變量x增大時函數(shù)值y同時增大）. 時，當10.4 a函數(shù)圖象是下降的，函數(shù)在即區(qū)間,上是減函數(shù). （自變量x增大時函數(shù)值y同時減?。? 全體實數(shù)集R全體實數(shù)集R(5)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 與與 的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱.（6）對于多個指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)在同一坐標系中的圖象我們可以總結(jié)出底數(shù)a的增大與函數(shù)圖象的相對位置的關(guān)系.xay xay1xay xy

11、o .10,log.9的圖象在第四、一象限的圖象在第四、一象限且且對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)aaxxfax3logx2logx21log .log的增大趨勢的增大趨勢中中函數(shù)函數(shù)axxfax31log1 ；，的的函函數(shù)數(shù)圖圖象象恒恒過過點點且且函函數(shù)數(shù)象象限限；的的函函數(shù)數(shù)圖圖象象在在第第四四、一一且且函函數(shù)數(shù)的的值值域域是是且且函函數(shù)數(shù)；即即有有，定定義義域域是是的的且且函函數(shù)數(shù)0110,log10,log;10,log;010,logaaxxfivaaxxfiiiRaaxxfiiRxaaxxfiaaaa 上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；，時函數(shù)在時函數(shù)在當當上是減函數(shù)；上是減函數(shù)；，在在時函數(shù)時函數(shù)當當函數(shù)

12、函數(shù)-1101, 0,logaaaaxxfva對數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)： xxfalog）且（10aa有性質(zhì)：（1）定義域為，0值域為全體實數(shù)R，即，（2）函數(shù)圖象一定過定點（1，0）；（3）函數(shù)圖象在y軸的右側(cè)， 在第 一、四象限；（4）當0a1時，函數(shù)為區(qū)間，0上的單調(diào)遞減的函數(shù)；（5）當a1時，函數(shù)為區(qū)間，0上的單調(diào)遞增的函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（6）兩函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱；（7）兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線y = x對稱，這樣的兩個函數(shù)互為反函數(shù)；（8）由10aa且 xxfalog）且（10aa在同一坐標系內(nèi)作的函數(shù)圖象，可以看到a的增大與它們的相對位置的關(guān)系.的函數(shù) xxgxxfaa1l

13、oglog與 xaaxxxf與log xxfalog對數(shù)函數(shù)的底數(shù)的增大趨勢 .100.6;.5,00,.402,.31,0.2,.12minfyxayyxRxfaxx但是有但是有處的導數(shù)不存在，處的導數(shù)不存在，函數(shù)在函數(shù)在、二象限、二象限函數(shù)圖象的位置在第一函數(shù)圖象的位置在第一上是單調(diào)遞增的函數(shù)；上是單調(diào)遞增的函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)，上是單調(diào)遞減的函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間；是偶函數(shù)，則有是偶函數(shù)，則有若函數(shù)若函數(shù)軸對稱軸對稱，圖象關(guān)于，圖象關(guān)于函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)；的折曲線的折曲線函數(shù)圖象過點函數(shù)圖象過點；即即，定義域為定義域為的固有性質(zhì)：的固有性質(zhì)：函數(shù)函數(shù) .008數(shù)

14、不一定等于函數(shù)有極值是其導函數(shù)不一定有極值；，的導數(shù)等于函數(shù)xfy 的圖象函數(shù)xxf2.11xyo1 .7導數(shù)值不存在的圖象在尖的地方函數(shù)xfy .100.6;.5,00,.4021,.31,0.2,.121maxfyxayyxRxfaxx但是有但是有處的導數(shù)不存在，處的導數(shù)不存在，函數(shù)在函數(shù)在、二象限、二象限函數(shù)圖象的位置在第一函數(shù)圖象的位置在第一上是單調(diào)遞減的函數(shù)；上是單調(diào)遞減的函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，上是單調(diào)遞增的函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間；是偶函數(shù)，則有是偶函數(shù)，則有若函數(shù)若函數(shù)軸對稱軸對稱，圖象關(guān)于，圖象關(guān)于函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)；的折曲線的折曲線函數(shù)圖象過點函數(shù)圖象

15、過點；即即，定義域為定義域為的固有性質(zhì)：的固有性質(zhì)：函數(shù)函數(shù) .008數(shù)不一定等于函數(shù)有極值是其導函數(shù)不一定有極值；，的導數(shù)等于函數(shù)xfy xyo 的圖象即函數(shù)xxxfxf-221.121 .7導數(shù)值不存在的圖象在尖的地方函數(shù)xfy 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)1lg.2xxf 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxflg.1 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)1lg.3xxf 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxflg.4 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxflg.5xyoxyoxyxyoxyoxyo 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)1lg.6xxf1111112o112 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxflg.1xyo1 .0log0loglog.7222偶函數(shù)偶函

16、數(shù)的圖象的圖象即即函數(shù)函數(shù)xxxxxfxxfxyo1-1 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxflg.5xyo1o-1 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfsin.12 ，即即弦函數(shù)的值域是弦函數(shù)的值域是1,11.2yyyy 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfcos.13y-122xo1322232523 ;,.1xR即即定義域定義域有的性質(zhì)：有的性質(zhì)：正弦余弦函數(shù)的共同具正弦余弦函數(shù)的共同具 ；的最小正周期是的最小正周期是與與函數(shù)函數(shù)2cossin.3Txxfxxf；恒成立恒成立與與有有1cos11sin1xx 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfsin.12y-122xo1322232523 ;2sin.5kxxxf的對稱軸方程

17、是的對稱軸方程是正弦函數(shù)正弦函數(shù) ;0.4sin1xxxf中點中點點，即單調(diào)遞增區(qū)間的點，即單調(diào)遞增區(qū)間的基本五點作圖法的第一基本五點作圖法的第一的性質(zhì)：的性質(zhì)：正弦函數(shù)正弦函數(shù) ；的對稱中心為的對稱中心為函數(shù)函數(shù)0,sin.6kxxf ；時函數(shù)是減函數(shù)時函數(shù)是減函數(shù)當當，時函數(shù)是增函數(shù)時函數(shù)是增函數(shù)當當232222222.7kxkkxk 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfsin.12 ;122sin.8maxxfkxxxf函數(shù)有最大值函數(shù)有最大值時時當當正弦函數(shù)正弦函數(shù) .cossin.10 xxfxxf的導數(shù)是的導數(shù)是正弦函數(shù)正弦函數(shù)y-122xo1322232523 ;122sin.9maxxf

18、kxxxf函數(shù)有最大值函數(shù)有最大值時時當當正弦函數(shù)正弦函數(shù) ;cos.5kxxxf的對稱軸方程是的對稱軸方程是余弦函數(shù)余弦函數(shù) ;0.4cos1xxxf中點中點點，即單調(diào)遞增區(qū)間的點，即單調(diào)遞增區(qū)間的基本五點作圖法的第一基本五點作圖法的第一的性質(zhì)：的性質(zhì)：余弦函數(shù)余弦函數(shù) ；的對稱中心為的對稱中心為函數(shù)函數(shù)0,2cos.6kxxf ；時函數(shù)是增函數(shù)時函數(shù)是增函數(shù)當當，時函數(shù)是減函數(shù)時函數(shù)是減函數(shù)當當22222.7kxkkxk22 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfcos.13xo1322232523y-1 ;12cos.8maxxfkxxxf函數(shù)有最大值函數(shù)有最大值時時當當正弦函數(shù)正弦函數(shù) .sinc

19、os.10 xxfxxf的導數(shù)是的導數(shù)是正弦函數(shù)正弦函數(shù) ;12cos.9maxxfkxxxf函數(shù)有最大值函數(shù)有最大值時時當當正弦函數(shù)正弦函數(shù)22 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfcos.13xo1322232523y-1 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfsin.1222 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxfcos.13xyo1-132223252322xyo1-1322232523y22xo322232523 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxftan.14 ;2.1kxx定義域定義域性質(zhì)性質(zhì) ；值域是值域是性質(zhì)性質(zhì)Ryy.2 是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)xxftan.3 ;2.1kxx定義域定義域函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的

20、性質(zhì) ；值域是值域是Ryy.2 是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；函數(shù)函數(shù)xxftan.3 ；的單調(diào)區(qū)間是的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)函數(shù)2,2tan.7kkxxf ；的最小正周期是的最小正周期是函數(shù)函數(shù)Txxftan.4 ；有對稱中心是有對稱中心是函數(shù)函數(shù)0,tan.5kxxf ；有漸近線有漸近線函數(shù)函數(shù)2tan.6kxxxf 的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)xxftan.14 的函數(shù)圖象大致為：的函數(shù)圖象大致為：也就是函數(shù)也就是函數(shù)即函數(shù)即函數(shù)函數(shù)函數(shù)8121326421522xxfxxxfxxxf-8xyo1-13-62 的函數(shù)圖象大致為：的函數(shù)圖象大致為：函數(shù)函數(shù)xxf116xyo1-1-11 .1*是假命題上是單調(diào)遞減的

21、函數(shù)”在其定義域“函數(shù)xxfy 圖：的圖象的大致形狀如右數(shù)的性質(zhì)信息可以作出函綜合以上函數(shù)xxxf1yxo122-2-2-1-1 .2121221.17xxxxxxxf，即有即有，的值域為的值域為函數(shù)函數(shù)上凸函數(shù)上凸函數(shù)下凸函數(shù)下凸函數(shù) 0.17kxkxxg圖：圖：的圖象的大致形狀如右的圖象的大致形狀如右數(shù)數(shù)的性質(zhì)信息可以作出函的性質(zhì)信息可以作出函綜合以上函數(shù)綜合以上函數(shù)k2kk2kxyo 為非零正實數(shù)，為非零正實數(shù)，這里的這里的的圖像的圖像對于函數(shù)對于函數(shù)kxkxxgy,.18 上是單調(diào)遞增的函數(shù)；上是單調(diào)遞增的函數(shù)；，在區(qū)間在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)；上是單調(diào)遞增的函數(shù)；，在區(qū)間在區(qū)間；，過

22、點過點的圖象的圖象函數(shù)函數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；這里函數(shù)這里函數(shù)或或即定義域為即定義域為，函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為00003,0,2;00001kkxkxxgykxkxxgyxxx 03203201401414.1922222xxxxxfxxxxxxxfxxxf即函數(shù)即函數(shù)即函數(shù)即函數(shù)的函數(shù)圖像的函數(shù)圖像函數(shù)函數(shù) .3-2-0323-2032014014.21014.122222，頂點，頂點由為偶函數(shù)；，可知函數(shù)圖像過點由函數(shù)信息分析：xxxxxfxxxxxxxfxxxf3-2，頂點oxy1234123-1-2-3-4-1-2-3-43-2- ，頂點10，點14- ，點14，點2x2-x 的圖像函數(shù)即函數(shù)函數(shù)134132.1922xxxfxxfxxxf ；，過點函數(shù)分析函數(shù)的可顯條件3-032.12xxxf ；，和過的，過的函數(shù)0103-13.3xxxf ；，頂點信息函數(shù)4-1-41.22 xxf .000.4成立即成立，恒有，函數(shù)的值域為xfy 的圖像函數(shù)即函數(shù)函數(shù)134132.1922xxxfxxfxxxf ；，過點函數(shù)分析函數(shù)的可顯條件3-032.12xxxf ；，和過的，過的函數(shù)0103-13.3xxxf ；，頂點信息頂點信息函數(shù)函數(shù)4141.22- xxf .000.4成立即成立，恒有，函數(shù)