角平分線輔助線專題練習(xí)

1、角平分線專題1、 軸對(duì)稱性：內(nèi)容：角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。思路和方法：邊角等 造全等，也就是在角的兩邊上取相等的線段 構(gòu)造全等三角形 基本結(jié)構(gòu)：如圖，2、 角平分線的性質(zhì)定理：注意兩點(diǎn)（1）距離相等 （2）一對(duì)全等三角形3、 定義：帶來(lái)角相等。4、 補(bǔ)充性質(zhì)：如圖，在ABC中，AD平分BAC，則有AB:AC=BD:DC針對(duì)性例題：例題1：如圖，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求證：DCAC例題2：如圖，在ABC中，A等于60°，BE平分ABC，CD平分ACB求證：DH=EH例題3：如圖1，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，BACD

2、E圖1求證：AD=DC：思路一：利用“角平分線的對(duì)稱性”來(lái)構(gòu)造因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是其對(duì)稱軸，因此，題中若有角平分線，一般可以利用其對(duì)稱性來(lái)構(gòu)成全等三角形證法1：如圖1，在BC上取BE=AB，連結(jié)DE，BD平分ABC，ABD=DBE，又BD=BD，ABDEBD（SAS），A=DBE，AD=DE，又A+C=1800，DEB+DEC=1800，C=DEC，DE=DC，BACDEF圖2則AD=DC證法2：如圖2，過(guò)A作BD的垂線分別交BC、BD于E、F，連結(jié)DE，由BD平分ABC，易得ABFEBF，則AB=BE，BD平分ABC，BD=BD，ABDEBD（SAS），AD=ED，BAD=DEB，

3、又BAD+C=1800，BACDE圖3BED+CED=1800，C=DEC，則DE=DC，AD=DC說(shuō)明：證法1，2，都可以看作將ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的證法3：如圖3，延長(zhǎng)BA至E，使BE=BC，連結(jié)DE， BD平分ABC，CBD=DBE，又BD=BD，CBDEBD（SAS），C=E，CD=DE，又BAD+C=1800，DAB+DAE=1800，E=DAE，DE=DA，則AD=DC說(shuō)明：證法3是CBD沿角平分線BD折向BA而構(gòu)成全等三角形的思路二：利用“角平分線的性質(zhì)”來(lái)構(gòu)造由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線而

4、構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形證法4：如圖4，從D分別作BC、BA的垂線，垂足為E、F，BD平分ABC，DE=DF，又BAD+C=1800，BAD+FAD=1800，F(xiàn)AD=C，F(xiàn)ADECD（AAS），則AD=DCBACDFE圖4例題4 已知：如圖5，在ABC中，C=90°,AC=BC,AD平分CAB.求證：AC+CD=AB證明：在AB上截取AE=AC，AD平分CAB，CAD= DAB，AD=AD，CADEAD，DEA=90°，C=90°，AC=BC，B=45°，B=BDE=45°DE=BE，AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=A

5、B.例題5已知：如圖6，在RtABC中，C=90°，沿過(guò)B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合，當(dāng)A滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)D恰為AB中點(diǎn)？寫出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB中點(diǎn). 解：當(dāng)A=30°時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn).A=30°，C=90°(已知)，CBA=60°(直角三角形兩銳角互余).又BECBED(已知)，CBE=DBE=30°，且EDB=C=90°(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，DBE=A(等量代換).BE=AE(等角對(duì)等邊)，又EDB=90°，即EDAB，D是AB的中點(diǎn)(三

6、線合一).角平分線定理使用中的幾種輔助線作法一、已知角平分線，構(gòu)造三角形例題、如圖所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：證明：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角的平分線所在的直線， 所以AD為BAC的對(duì)稱軸，又因?yàn)锽EAD于F，所以點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于AD對(duì)稱，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因?yàn)锳BFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一個(gè)點(diǎn)到角的一邊的距離，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作另一邊的垂線段如圖所示，1=2，

7、P為BN上的一點(diǎn)，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求證：BAPBCP=180°。證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E。因?yàn)镻EAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因?yàn)锳BBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因?yàn)镻EAB，PDBC，所以PEB=PDB=90°.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因?yàn)锽APEAP=180°，所以BAPBCP=180°。三、已知角平分線和其上面的一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段例題、如圖所示，在A

8、BC中，PB、PC分別是ABC的外角的平分線，求證：1=2證明：過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，PGAC于點(diǎn)G，PFBC于點(diǎn)F因?yàn)镻在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可證PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線，所以1=2。與三角形的角平分線有關(guān)的結(jié)論的探究三角形的內(nèi)角和等于1800，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。應(yīng)用以上定理和推論可以探究與三角形的角平分線有關(guān)的結(jié)論。從結(jié)論的探究過(guò)程中，希望同學(xué)們能從中得到有益的啟示：在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去探索新的結(jié)論，學(xué)會(huì)探究，從而不斷地提高自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的能力，提高數(shù)

9、學(xué)學(xué)習(xí)水平。探究一：在中，A，B的平分線交于點(diǎn)P，試探究BPC與A的關(guān)系？探究：因?yàn)锽PC在BPC中，由三角形的內(nèi)角和定理，有：而由BP，CP分別是ABC和ACB的角平分線知：PBC=，PCB=所以而在在中，所以故有結(jié)論一：在中，A，B的平分線交于點(diǎn)P，則有。探究二：在中，BP是ABC的平分線，CP是ABC的外角ACE的平分線，試探究：BPC與A的關(guān)系？ 探究：由CP是ABC的外角ACE的平分線，所以有：BPC=PCEBPC又BP是ABC的平分線，CP是ACE的平線所以：PBC=，PCE=所以BPC=故有結(jié)論二：在中，BP是ABC的平分線，CP是ABC的外角ACE的平分線，則有：。探究三：在中

10、，BP， CP分別是ABC的兩個(gè)外角的平分線，試探究：BPC與A的關(guān)系？探究：因?yàn)锽PC在BPC中，由三角形的內(nèi)角和定理，有：由BP， CP分別是ABC的兩個(gè)外角的平分線，有：PBC=，PCB=而ABC+CBE=1800，ACB+BCF=1800，所以ABC+CBE+ACB+BCF=3600所以EBC+FCB=3600（ACB+ABC）所以故有結(jié)論三：在中，BP， CP分別是ABC的兩個(gè)外角的平分線，則有。線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 水平測(cè)試一、選擇題1.下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（ ）A.三角形任意兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)到這個(gè)三角形的三邊的距離都相等B.三角形任意

11、兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)必在第三個(gè)角的平分線上C.三角形兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等D.三角形的任意兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部2.若一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上，則這個(gè)三角形是（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不能確定3.如圖所示，在中，的中垂線交斜邊于，則圖中有多少個(gè)角等于（）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)4.等腰兩腰，的垂直平分線交于點(diǎn)，下列各式不正確的是（）AB平分CD5.已知中，的垂直平分線交于，和的周長(zhǎng)分別是60cm和38cm，則的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng)分別是（）A24cm和12cm B16cm和22cm C20cm和16cmD22cm和16cm6

12、.將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，BC，BD為折痕，則CBD的度數(shù)為（）A60°B75°C90°D95°7.若三條角平分線的交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等，則該三角形一定為（）A等腰三角形，但不一定是等邊三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形8. 如圖，ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB，DFAC，E、F為垂足，在以下結(jié)論中：ADEADF；BDECDF；ABDACD；AE=AF；BE=CF；BD=CD其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）ABCDEFA1B2C3D49.已知點(diǎn)在的平分線上，cm，那么點(diǎn)到邊，的距離分別是（）A5cm，cmB4cm，5cm C

13、5cm，5cmD5cm，10cm10.如圖，ABC中，C=90º，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分線，DE=BD，且DE=1.5cm，則AC等于（）A3cmB7.5cmC6cmD4.5cmBCDEA二、填空題1.已知線段AB和它外一點(diǎn)P，若PA=PB，則點(diǎn)P在AB的_；若點(diǎn)P在AB的_，則PA=PB2.如圖，中，是的垂直平分線交于，則CA3. 如圖，垂直平分線段于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)是 4.如圖所示，在中，是的垂直平分線，則的長(zhǎng)度為5.在銳角三角形中，兩邊的垂直平分線相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是6.中，平分，交于，若，則到的距離是7.的三邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm、5

14、cm，若為三內(nèi)角平分線交點(diǎn)，則點(diǎn)到斜邊的距離等于8.如圖，已知平分，平分，且過(guò)點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)是9.如圖，是的平分線，于，則的長(zhǎng)是10.如圖，中，平分交于，于，且，則的周長(zhǎng)是三、解答題1.如圖所示，直線，表示兩條相互交叉的公路點(diǎn)，表示兩個(gè)蔬菜基地現(xiàn)要建立一個(gè)蔬菜批發(fā)市場(chǎng)，要求它到兩個(gè)基地的距離相等，并且到公路，的距離相等，請(qǐng)你作圖說(shuō)明此批發(fā)市場(chǎng)應(yīng)建在什么地方？2. 如圖中，的垂直平分線交于，求證：3.用三角尺畫角平分線：如圖，AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，再分別過(guò)M、N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則這條射線即為角平分線請(qǐng)解釋這種做法的道理你還能舉出哪些作角

15、平分線的方法，并說(shuō)明這種做法的道理4.如圖所示，已知是的角平分線，垂足分別是，求證：垂直平分四、探索題1.如圖，在中，是的平分線，請(qǐng)你猜想圖中哪兩條線段之和等于第三條線段，并證明你的猜想的正確性（證明你的猜想需要用題中所有的條件）2.如圖所示，在等腰中，（1）請(qǐng)你作出兩腰的垂直平分線（2）若邊的垂直平分線與，分別交于點(diǎn)，邊上的垂直平分線與，分別相交于點(diǎn)，則是什么形狀？你能證明嗎？（3）連結(jié)，DG與BC有什么關(guān)系？（4）若，試求的周長(zhǎng)答案：一、1D；2C；3D；4D；5D；6C；7D；8B；9C；10D二、1. 垂直平分線上；垂直平分線上；2.15；3.；4.；5.；6.7；7.1cm；8.26

16、；9.；10.三、1.解：分別作的平分線和線段的垂直平分線，則射線與直線的交點(diǎn)即為批發(fā)市場(chǎng)應(yīng)建的地方2.證明：連接的垂直平分線交于，又，Rt中，有，3.解：OM=ON，OP=OP，RtOMPRtONP(HL)，MOP=NOP，射線OP是AOB的平分線4.證明：是的角平分線，（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）（等角對(duì)等邊）（垂直定義），（等角的余角相等）（等角對(duì)等邊），在的中垂線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）即是的中垂線四、1.解：猜想結(jié)論：，過(guò)作于E平分，2.解：（1）如圖所示（2）是等邊三角形證明：，DGFE垂直平分線，同理可證是等邊三角形（3）因?yàn)辄c(diǎn)D、G

17、分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以DG是中位線，則（4），的周長(zhǎng)為：又的周長(zhǎng)為選做題1.中，的垂直平分線交于，交于，于，求的長(zhǎng)解：連結(jié)是的垂直平分線，1342AFBDEC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）（等邊對(duì)等角）又，（等角對(duì)等邊）（勾股定理），在中，（所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）（勾股定理），2.如圖，P是AB的中點(diǎn)，PD平分ADC求證：CP平分DCB證明：過(guò)點(diǎn)P作PEDC，垂足于E，ADECBP2143，PD平分ADC，P為AB的中點(diǎn)，P點(diǎn)在DCB的平分線上CP平分DCB3. 分別是銳角三角形ABC的，的平分線，于，于，試說(shuō)明：（1）；（2）提示：由于是角平分線，且，所以延長(zhǎng)交

18、于，則有是等腰三角形，從而是的中點(diǎn)，且，同理是的中點(diǎn)，且，所以，且備用題1如果三角形內(nèi)的一點(diǎn)到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是（ ）CA.是三條邊中垂線的交點(diǎn)B.是三角形三條邊的中線的交點(diǎn)C.是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)D.是三角形三條邊上的高的交點(diǎn)CABEF2.如圖，ABC中，CAB=120º，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，則EAF等于（）CA40ºB50ºC60ºD80º 3.如果的邊的垂直平分線經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且，則中必有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（）DABCD4.如圖，Rt，平分，于，則下列結(jié)論中不正確的是（）BAB平分C平分D5.等

19、腰三角形內(nèi)有一點(diǎn)到底邊的兩端點(diǎn)距離相等，則連結(jié)頂點(diǎn)和的直線一定把底邊垂直平分5.如圖，在中，垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，求的度數(shù)解：設(shè)，則，而，6.如圖所示，是的平分線，于，于，且求證：證明：是的平分線，（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）又，7.如圖，已知在中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，交于求證：平分證明：是的中點(diǎn)，又，又，RtRt（），平分角平分線性質(zhì)定理之應(yīng)用三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計(jì)算或證明中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說(shuō)明一、由角平分線的性質(zhì)聯(lián)想兩線段相等EMDFCBA圖1例1 如圖1，ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相

20、交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF證明 連結(jié)DB，DCD在A的平分線上，DE=DFD在BC的垂直平分線上，BD=DC又BED=CFD=90°，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分線的軸對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形例2 如圖2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求證：A+C=180°證明 延長(zhǎng)BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD與CBD中，BF=BC ABD=CBD BD=BDFBDCBD，F(xiàn)DCBA圖2C=F，DF=CD=AD，F(xiàn)=DAF，A+C=BAD+DAF=180°三、過(guò)角平分線上一點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角

21、形例3 已知：如圖3，ABC的平分線BF與ACB的平分線CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求證：BD+CE=DEEFCBDA圖3證明：BF是ABC的平分線 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、實(shí)際生活中的應(yīng)用例4 如圖4，有三條公路、兩兩相交，要選擇一地點(diǎn)建一座加油站，是加油站到三條公路的距離相等，應(yīng)如何選擇建加油站的地址？這樣的位置有幾種選擇？圖4解析：分別作ABC兩內(nèi)角的平分線，它們相交于一點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知，這個(gè)點(diǎn)到三條公路的距離相等；或者分別作ABC相鄰兩外角的平分線，它們的交點(diǎn)到

22、三條公路的距離也相等，這樣點(diǎn)共有三個(gè)，所以建加油站的位置共有4種選擇 角平分線攜“截長(zhǎng)補(bǔ)短”顯精彩 角的平分線具有其特有的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問(wèn)題的一種特殊方法，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請(qǐng)看幾例.例1 如圖1-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖1-1分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖1-2在FCE與BCE中，

23、FCEBCE（SAS）,2=1.圖1-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例2 已知，如圖2-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.圖2-1分析：證兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖2-2

24、1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-22-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,圖3-1RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°例3 已知：如圖3-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補(bǔ)短法）圖3-2延長(zhǎng)AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖3-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.圖3-3方法二（截長(zhǎng)法）在AB上截取AF=AC，如圖3-3在AFD與ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DB